Ejemplo de funciones de carga y corriente de un circuito RLC

Una compañía de dispositivos electrónicos realiza pruebas para mejorar la calidad de sus productos, y quiere determinar la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuando L=0.5 H, R=10 Ω, C=0.001 F, E(t)=150 V, q(0)=1 C, i(0)=0 A, Cuáles son las funciones de carga y de corriente del circuito? (1era parte)

Respuesta:

Las funciones de carga y de corriente del circuito están compuestas por la respuesta natural (homogénea) y la respuesta forzada (particular o permanente):

Para estudiar la respuesta homogénea, consideramos el circuito RLC de la Figura 1. Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor:

Figura 1

Dónde:

Al aplicar LVK al circuito de la Figura 1, obtenemos:

En el tiempo t=0 s, la ecuación (1) se puede escribir como:

De donde:

Para eliminar la integral de la ecuación (1) derivamos con respecto a la variable t:

Ordenamos la ecuación (2) para obtener la forma estándar:

Sustituyendo valores en la ecuación (3) obtenemos:

Con la ecuación (4) formamos un polinomio D en función de una variable p:

El polinomio de la ecuación (5) es denominado ecuación característica. Hallamos las raíces de la ecuación (5):

Estas raíces generan soluciones sinusoidales que decrecen exponencialmente de la forma: Para cada par de raíces complejas conjugadas simples del tipo  aparecerá en la solución un término de la forma:

Por tanto:

En el estado permanente el capacitor se comporta como un corto, por lo que:

Por tanto:

Para hallar el valor de las constantes, utilizamos las condiciones iniciales:

Donde U_(t) es la función escalón unitario. Una vez determinada la expresión para la corriente, debemos considerar el circuito de la Figura 2  para hallar el voltaje V_c en el capacitor:

Figura 2.

Al aplicar LVK al circuito de la Figura 2, obtenemos:

Necesitamos la derivada de la corriente:

Despejamos V_c de la ecuación (7):

En definitiva:

A continuación  las gráficas para i_c(t) y V_c(t):

Gráfica 1

Análisis: En la gráfica 1, el voltaje en el capacitor oscila alrededor de 150 V, luego esa oscilación, que es el comportamiento natural del sistema, desaparece, y sólo queda la respuesta en estado estable, que es cuando el voltaje del capacitor es igual al voltaje de la fuente.

Gráfica 2

Análisis: En la gráfica 2, la corriente en el capacitor oscila en su etapa de transición (respuesta natural). Podemos ver que al principio es cero como lo señala la condición inicial. Luego de oscilar se estabiliza en cero, que es cuando el capacitor se ha cargado y actúa como un circuito abierto.

2DA PARTE

• Una compañía de dispositivos electrónicos realiza pruebas para mejorar la calidad de sus productos, y en un circuito sencillo la resistencia es 20 Ω y la inductancia es de 0.25 H, C=1/300 F. Si E(t)=0 V, q(0)=4 C, i(0)=0, el interruptor se cierra, encontrar:
  1. Las funciones q(t), i(t).
  2. i, q después de 2 segundos

Respuesta: Ejercicio RCL 2da parte

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Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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