Mes: agosto 2020
Potencia en los elementos pasivos de un circuito – Potencia Compleja
Anteriormente se concluyó que en un circuito en régimen sinusoidal tenemos tres potencias: activa (P), reactiva (Q) y aparente (S):
Donde U e I son valores eficaces y φ es el ángulo de fase entre U e I. Vamos a determinar cómo se desarrolla cada una de estas potencias en cada uno de los elementos pasivos de una red eléctrica.
- Resistencia:
La Figura 1 muestra el circuito y la relación tensión-corriente para una red resistiva:
Ya que la corriente en una resistencia está en fase con el voltaje (φ=0), la potencia absorbida por la resistencia es:
2. Inductor:
La Figura 2 muestra el circuito y la relación tensión-corriente para una red inductiva:
Ya que la corriente en una bobina está retrasada 90° con respecto al voltaje (φ=90° , desfasaje positivo), la potencia absorbida por la bobina es:
3. Condensador:
La Figura 3 muestra el circuito y la relación tensión-corriente para una red capacitiva:
Ya que la corriente en un capacitor está adelantada 90° con respecto al voltaje (φ=90° , desfasaje negativo), la potencia absorbida por el condensador es:
Potencia compleja.
A menudo, en ingeniería eléctrica, es de gran utilidad combinar las potencias activa y reactiva de un elemento en una única magnitud compleja, denominada potencia compleja. Considerando el dipolo receptor de la Figura 4:
sabemos que las expresiones para u(t) e i(t) son:
Si consideramos la tensión como referencia, las expresiones fasoriales para u(t) e i(t) son:
Definimos la potencia compleja S absorbida por el dipolo receptor como:
Al expresar la anterior ecuación en forma rectangular obtenemos que la potencia compleja S se puede expresar como:
Notar que la potencia compleja es un vector. El módulo de la potencia compleja es igual a la potencia aparente:
Ejemplo 1:
En relación al circuito de la Figura 5, la tensión del generador u(t) está dada por la siguiente ecuación:
Calcular a) la intensidad instantánea; b) la potencia instantánea desarrollada por el generador; c) la potencia compleja entregada por el generador; d) la potencia compleja de cada elemento pasivo; e) comprobar el balance de potencias en el circuito, es decir, que la potencia compleja suministrada por el generador es igual a la suma de las potencias complejas desarrolladas en los receptores.
Figura 5
Respuesta:
- la intensidad instantánea.
- la potencia instantánea desarrollada por el generador.
La potencia instantánea p(t) se compone de una potencia media de valor 300 W y una potencia fluctuante cuya expresión es:
- la potencia compleja entregada por el generador.
En notación rectangular, podemos expresar la potencia compleja entregada por el generador como:
De donde podemos deducir que las potencias activa (Pg), reactiva (Qg) y aparente (Sg) generada por el generador son:
- la potencia compleja de cada elemento pasivo.
- comprobar el balance de potencias en el circuito.
Se ha visto que la potencia compleja generada por la fuente de tensión es:
Por otra parte, la potencia compleja absorbida Sabs por los elementos pasivos del sistema es:
Se cumple entonces que:
Ejemplo 2:
Se desea medir la potencia absorbida por un receptor inductivo de impedancia Z utilizando tres amperímetros como se indica en la Figura 6. El amperímetro A1 mide la corriente total absorbida por la red. Calcular a) potencia activa absorbida por la impedancia de carga Z si las lecturas de los amperímetros han sido: A1=40; A2=22; A3=30. b) el valor de la impedancia compleja Z<φ.
Figura 6
Respuesta:
a) potencia activa absorbida por la impedancia de carga Z
Aplicando Kirchhoff sabemos que:
Por lo tanto:
Luego:
De donde:
b) el valor de la impedancia compleja Z<φ
De donde:
Fuente:
- Jesús Fraile, Circuitos Eléctricos, páginas 197-209.
ANTERIOR:
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- El Alternador – Generación de ondas sinusoidales
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Potencia en un circuito eléctrico en régimen sinusoidal
Nos interesa determinar la potencia eléctrica instantánea consumida por la red de la Figura 1:
Figura 1
De Generación de ondas sinusoidales sabemos que en ingeniería eléctrica las formas de onda más utilizada para el voltaje y la corriente son:
Donde U e I son los valores eficaces de u(t) e i(t) respectivamente. La Figura 2 muestra la relación y significado de estas relaciones:
Figura 2
Las ecuaciones (1) para u(t) e i(t) asignan al voltaje como el origen de fases, por lo que el ángulo φ es el ángulo de desfase entre la corriente y el voltaje. Si el ángulo φ es positivo, la corriente está retrasada con respecto al voltaje, y se dice por convención que el desfase es positivo (carga inductiva). Por el contrario, si el ángulo φ es negativo, la corriente adelanta a la tensión, y se dice que el desfase es negativo (carga capacitiva).
La potencia instantánea p(t) absorbida por el dipolo de la Figura 1 se determina mediante:
Sustituyendo y operando con identidades trigonométricas, obtenemos la siguiente expresión para la potencia instantánea consumida:
Diseño de Controlador PD utilizando sisotool de Matlab
Para determinar los valores de las constantes Kp y Td de un controlador PD, utilizaremos Matlab. Considere un Sistema con una planta inestable con función de transferencia Gp(s):
Usando el enfoque del LGR diseñar un control proporcional-derivativo (determinar los valores de Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema en lazo cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada ωn sea 0.5 rad/seg.
Respuesta:
- Para describir cualitativamente el comportamiento de la planta, la incorporamos a un sistema de control elemental (realimentación unitaria) como el que se muestra en el siguiente diagrama de bloques, Figura 1:
Luego, observamos el Lugar Geométrico de sus Raíces (LGR) mediante el siguiente comando en Matlab (para un repaso de LGR ver:):
>> G=tf([1],[10000 0 -11772])
>> rlocus(G)
>> grid
Podemos ver en la Figura 2 que para ganancias cercanas a 1, el sistema tiene raíces ubicadas en el lado derecho del plano s, por lo tanto se trata de un sistema inestable (para un repaso de estabilidad ver:Estabilidad). Podemos además solicitar a Matlab las raíces de nuestra planta para la ganancia exactamente igual a 1 mediante:
>> pole(G)
ans = 1.0850 -1.0850
Para alcanzar las especificaciones solicitadas (factor de amortiguamiento ζ=0.7 y frecuencia natural no amortiguada ωn =0.5 rad/seg.), introducimos en la función de transferencia directa un controlador PD, Figura 3:
La justificación de aplicar un controlador PD es que las especificaciones involucran a la respuesta transitoria, etapa en la cual la aplicación del controlador PD es ideal, según se concluye en la teoría. Analíticamente ya se demostró en Controlador PD que los valores de las constantes son Kp =14272 y Td =0.49 s. En esta oportunidad vamos a determinar estos valores utilizando el Matlab Control System Toolbox, en especial el comando sisotool:
>> sisotool(G)
Esta herramienta ofrece una interface gráfica que facilita el diseño del controlador de acuerdo con los requerimientos solicitados (Graphical Tuning, Root Locus Design). En la Figura 4 podemos observar las dos pantallas iniciales:
Figura 4
Hacemos click derecho sobre el LGR, seleccionamos las pestañas según la Figura 5:
Al asignar el valor del parámetro ζ, obtenemos la siguiente gráfica:
Aplicamos el mismo procedimiento para asignar el valor de ωn:
Al asignar los valores solicitados en las ventanas para cada parámetro, obtenemos la siguiente gráfica:
En la Figura 8 el punto donde se interceptan las curvas negras señalan el lugar geométrico donde se cumplen ambas especificaciones.
Como ya sabemos, agregar un controlador PD es agregar un cero y una ganancia (ver Controlador PD). Ello lo podemos hacer utilizando el menú del LGR:
Procedemos agregar un cero al eje real del plano s:
Ahora arrastramos el cero a lo largo del eje real, utilizando click derecho, hasta que el LGR (líneas azules) coincida con el punto de intercepción de las líneas negras:
Ahora, arrastramos los polos hasta el punto de intercepción de las curvas negras y el LGR:
En el borde inferior izquierdo, mientras ubicamos los polos en el lugar correcto del LGR, podemos ver como evolucionan los valores de los parámetros damping y frecuencia natural;
Seleccionamos la pestaña “compensator editor” para ver los cambios en el controlador:
Vemos que los valores del compensador se asemejan a los obtenidos de manera analítica:
En la misma ventana del “compensator editor” seleccionamos la pestaña “Analysis Plots”:
De manera automática obtenemos la gráfica de respuesta del sistema a la entrada escalón unitario:
A la gráfica de la Figura 16 se le puede pedir otros valores de importancia en la respuesta transitoria del sistema, como por ejemplo el sobreimpulso:
Otro Ejemplo
Utilice MATLAB y su “Control System Toobox“, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:
- Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
- Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
- En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
- En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
- Right-click en el espacio en blanco del LGR y seleccione Design Requirements/New . . .
- Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
- Right-click en el espacio en blanco del LGR y seleccione Design Requirements/New . . .
- Elija Settling time y click OK.
- Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
- Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
- Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
- Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
- Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
- Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
- Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.
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- Efecto de añadir un Zero – Diseño de Sistema de control (English version)
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- Análisis de respuesta transitoria – Problemas resueltos – Catálogo 9
Fuente:
- Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
- Control Systems Engineering, Nise
- 4 PD, PI, PID
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Error en estado estable para sistemas de control de realimentación no unitaria
En numerosos casos, los sistemas de control no tienen realimentación unitaria. El recorrido de realimentación puede estar constituido por una ganancia diferente de cero, o una función de transferencia específica. Es por ello que debemos considerar el caso de un sistema de control general con realimentación no unitaria. Considere el sistema de la Figura 1:
Figura 1
La función de transferencia a lazo cerrado del sistema de la Figura 1 es:
La función de transferencia entre la señal de error e(t) y la señal de entrada r(t) es:
Dado que:
El error en estado estable ess del sistema es:
El error en estado estable ess del sistema para el escalón unitario es:
La constante de error de posición estática Kp se define utilizando la función de transferencia a lazo abierto G(s)H(s), mediante :
Por ende, el error en estado estable ess del sistema para el escalón unitario, en términos de la constante de error de posición estática Kp es:
Ejemplo
El diagrama de bloques de un sistema se muestra en la Figura 2:
Figura 2
Calcular el error del sistema en régimen permanente ante una entrada escalón unitario y el error en régimen permanente ante una entrada rampa.
Respuesta:
Para calcular el error del sistema e(∞) en régimen permanente ante una entrada escalón, utilizamos la fórmula siguiente:
Donde Kp es la constante de error de posición estática:
De donde:
Este resultado es el esperado ya que el sistema representado por la función de transferencia directa G(s) es un sistema tipo 1. Revisar clasificación de los sistemas en: Error en estado estable de un sistema de control
Para calcular el error del sistema e(∞) en régimen permanente ante una entrada rampa, utilizamos la fórmula siguiente:
Donde Kv es la constante de error de velocidad estática:
De donde:
Te puede interesar:
- Ejemplo 2 – Error en estado estable de un sistema de control con realimentación no unitariaEstabilidad de un sistema de controlPID – Acciones básicas de sistemas de control
Fuentes:
- Control Systems Engineering, NiseSistemas de Control Automatico Benjamin C KuoModern_Control_Engineering, Ogata 4t
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Generador de tensiones trifásicas
La Figura 1 muestra el esquema básico de la generación de tensiones trifásicas, donde existe un imán N-S fijo y dentro de él un cilindro (rotor) que se mueve a la velocidad angular ω rad/seg dentro de un campo magnético uniforme B teslas (T). Este rotor tiene arrollado sobre él tres juegos de bobinas, constituidos por los devanados AA’, BB’ y CC’, que están separados entre sí 120° en el espacio (A, B y C representan puntas de flecha o dirección de salida de corriente de las bobinas, mientras que A’, B’ y C’ representan partes posteriores de flecha o entradas de corriente de las bobinas…inicio y fin de un corte transversal a las bobinas, visto en una dimensión).
Las tres bobinas tienen el mismo número de espiras y giran a la misma velocidad angular ω. En consecuencia, la f.e.m (fuerza electromotriz) inducida en cada devanado tiene el mismo valor pico, la misma forma de onda sinusoidal y la misma frecuencia. Cada onda está desfasada 120° una de la otra en el tiempo. Suponiendo que en el tiempo t=0, la tensión en la bobina AA’ es máxima, la Figura 2 muestra la tres tensiones trifásicas en el tiempo:
Las expresiones instantáneas para cada tensión son las siguientes:
Donde U es el valor eficaz de la tensión U(t). Cada devanado donde se produce tensión sinusoidal se denomina Fase. En consecuencia, este mecanismo se conoce popularmente como Generador Trifásico. La representación fasorial de las tensiones, corrientes, y demás parámetros posibles en un circuito trifásico, aporta información cualitativa que permite entender mejor como funciona dicho circuito. En este caso, las tensiones de un generador trifásico se representan mediante el siguiente diagrama fasorial:
Si a esta altura tiene alguna duda sobre la generación de tensión sinusoidal, recomiendo ver primero: El Alternador – Generación de ondas sinusoidales
Por medio de las Figuras 2 y 3 podemos ver que al sumar los tres vectores, o las tres tensiones instantáneas, obtenemos cero como respuesta. Es decir:
Observación 1: estas últimas ecuaciones son válidas por el hecho de que la velocidad angular ω de todas las tensiones es igual. Por ello, es importante que al utilizar estas ecuaciones en el análisis de circuitos polifásicos, el ingeniero primero constate que todas las fases tengan la misma velocidad angular.
Observación 1: el orden en que se suceden los valores máximos de las tensiones de fase en un generador trifásico, se denomina secuencia de fases. En el rotor de la Figura 1, la secuencia de fases es ABC. Pero, puede presentarse el caso en que la secuencia de fases sea ACB. Por ello, es importante que al utilizar estas ecuaciones en el análisis de circuitos trifásicos, el ingeniero primero determine cuál es la secuencia de fase del generador.
Este asunto de la secuencia de fase también se maneja de la siguiente manera: la secuencia ABC se conoce como secuencia directa o positiva; la secuencia ACB se conoce como secuencia indirecta o negativa. Esta convención se ilustra en la Figura 4, donde es importante notar la dirección de la velocidad angular ω para determinar el orden en que un observador ve las fases:
La Figura 5 muestra el circuito que representa al generador trifásico. Se trata de tres generadores de tensión con los valores de las Figuras 2 y 3, de tal forma que cada uno de ellos alimenta a sendas impedancias de carga: Za, Zb y Zc. Este circuito en el que cada fase está unida a un receptor, independiente de las demás, se denomina circuito trifásico independiente:
Si se cumple la igualdad de las cargas en el circuito de la Figura 5, entonces, el sistema está equilibrado. Es decir, si:
Donde Z es el módulo de la impedancia, y Ø es la fase de la carga, la Figura 6 muestra el diagrama fasorial del sistema trifásico equilibrado:
En un sistema trifásico equilibrado se cumple también que:
El resultado es fundamental a la hora de analizar circuitos trifásicos, ya que va a facilitar enormemente la cantidad de cálculos necesarios para describir completamente el sistema, utilizando una sola fase y su correspondiente circuito equivalente monofásico. Veremos de inmediato de lo que estamos hablando en el análisis del Circuito Trifásico en Estrella, tema de nuestro próximo artículo.
Con el fin de disminuir la cantidad de conductores que unen el generador con la carga de la Figura 5, se utiliza un único conductor de retorno en lugar de tres. El resultado se muestra en la Figura 3.7:
SIGUIENTE: Circuito Trifásico Y-Y balanceado. Conexión Estrella-Estrella balanceada.
Fuente:
- Jesús Fraile, Circuitos Eléctricos, páginas 280-291.
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El Alternador – Generación de ondas sinusoidales – Análisis
La Figura 1 muestra el esquema básico del mecanismo para generar una onda sinusoidal, mecanismo conocido como alternador (generador de corriente alterna – CA). Una espira de superficie S (m2) girando sobre un eje a una velocidad angular constante ω rad/seg dentro de un campo magnético uniforme B teslas (T) producido por un imán (o un electroimán) . El movimiento de la espira puede ser producido por un mecanismo exterior como por ejemplo la turbina de una central eléctrica, o puede moverse el imán en vez de la espira, algo que ha resultado ser más práctico en el caso de los vehículos automotores.
El flujo magnético Φ que atraviesa la espira cuando los vectores S y B forman un ángulo θ=ωt, teniendo en cuenta una inducción uniforme en todos los puntos de la superficie de la espira, es:
De acuerdo con la Ley de Faraday, el flujo magnético Φ producirá una f.e.m (fuerza electromotriz) inducida e de valor:
Que por convención se considera como:
La ecuación (1) representa la f.e.m instantánea generada en la bobina y que en el tiempo tiene una forma sinusoidal como se muestra en la Figura 2:
Se puede ver en la Figura 2 que Em es el valor máximo o pico de la cresta, T es el período de la onda y se relaciona con la frecuencia angular ω mediante:
Por conveniencia analítica, muchos centros académicos de Ingeniería Eléctrica prefieren trabajar con la función coseno en vez de trabajar con la función seno, por lo que se prefiere la siguiente versión para la ecuación (1), la f.e.m generada por un alternador:
En la práctica de ingeniería resulta más útil trabajar ángulos en grados. Por lo que la forma de onda más generalmente utilizada en el análisis matemático de estas señales es:
Esta última ecuación se representa en la Figura 3, donde φ se denomina ángulo de fase:
Se denomina diferencia de fase o desfase entre dos ondas sinusoidales de la misma frecuencia, a la diferencia entre sus fases respectivas. Supongamos dos señales u(t) e i(t), voltaje y corriente respectivamente, cuyas expresiones matemáticas son las siguientes:
La señal u(t) presenta un adelanto, mientras que la señal i(t) presenta un retraso. Dichas señales se representan en la Figura 4:
El desfase φ entre las señales u(t) e i(t) es:
El desfase entre dos señales es igual a cero, se dice que las señales están en fase.
Existen dos valores esenciales que se utilizan en el análisis de este tipo de ondas: el valor medio Ymed y el valor eficaz Y. En este caso:
El valor eficaz I de una corriente periódica i(t) por ejemplo, es el valor de una corriente contínua que en un mismo período T generaría la misma cantidad de energía disipada al pasar por una resistencia R. Notar que, utilizando las relaciones estudiadas hasta ahora, la expresión matemática para la i(t) de nuestro ejemplo sería:
El generador de la Figura 1 es un generador monofásico porque evidentemente, produce una sola onda alterna. Si el número de bobinas en el rotor se incrementa de una forma especial, el resultado es un generador polifásico que produce más de una onda alterna en cada revolución. Este mecanismo polifásico fue inventado en 1888 por el ingeniero croata-americano Nikola Tesla (1856-1943). Consistía en un motor asíncrono polifásico cuya patente fue adquirida por el empresario George Westinghouse (1846-1914) para presentar dicho invento en la Exposición Mundial de Chicago en 1893, en la forma de un generador bifásico que suministraba dos tensiones desfasadas en 90°.
A continuación se estudian los sistema trifásicos, que destacan por ser los más utilizados en generación de potencia eléctrica, transporte y distribución de energía eléctrica:
SIGUIENTE: Generador de tensiones trifásicas
Fuente:
- Jesús Fraile, Circuitos Eléctricos, páginas 144-147.
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Open loop and closed loop transfer function – examples
To understand the concept of Transfer Function in open loop, or on the contrary, closed loop, we use a block diagram of a closed loop system, Figure 1:
Figure 1
Where G (s) is the transfer function of the plant and H (s) is the transfer function of the sensor. The sensor generates a signal B (s) that is fed back to the summing point, where it is compared with the reference signal R (s), generating a signal called the error signal E(s). Applying block algebra to Figure 1 we can clearly see that the output signal C (s) can be obtained by multiplying E (s) by G (s):
That is to say:
The function G (s) of equation (1) is known as the direct path transfer function (quotient between the output and the error signal):
Again applying block algebra to Figure 1 we can see that the feedback signal B (s) can be obtained by multiplying C (s) by H (s), that is:
That is:
The product G(s)H (s) from equation (2) is known as the open-loop transfer function (quotient between the feedback signal and the error signal):
Important notes:
- If the transfer function H (s) of the feedback path (FT of the sensor) is equal to one, H(s)=1, only in this case, the closed-loop transfer function is equal to the transfer function direct path;
- The direct path transfer function G (s) is also known simply as the Direct Transfer Function.
That is, if the system is represented by the DB in Figure 2:
Figure 2
Then the direct transfer function G(s) is also the open-loop function.
Once again, applying block algebra to Figure 1 we can see that the output signal C (s) can be obtained by multiplying G (s) by E (s), that is:
Solving for C (s), we obtain that:
From where:
The function C (s) / R (s) of equation (3) is known as the closed-loop transfer function (quotient between the output signal and the input signal):
Important note: Equation (3) allows us to obtain the Laplace transform of the output for any input, once we know what the closed-loop transfer function is, by:
Example:
I suggest to visit: Effect of adding a zero to a control system
Source:
- Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 65-66.
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Función de transferencia a lazo abierto y lazo cerrado – ejemplos
Para entender el concepto de Función de Transferencia a lazo abierto, o por el contrario, a lazo cerrado, utilizamos un diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado, Figura 1:
Figura 1
Donde G(s) es la función de transferencia de la planta y H(s) es la función de transferencia del sensor. El sensor genera una señal B(s) que se realimenta al punto de suma, donde se compara con la señal de referencia R(s), generando una señal denominada señal de error E(s). Aplicando álgebra de bloques a la Figura 1 podemos ver claramente que la señal de salida C(s) se puede obtener multiplicando E(s) por G(s):
Es decir:
A la función G(s) de la ecuación (1) se le conoce como Función de transferencia de trayectoria directa (cociente entre la salida y la señal de error):
Nuevamente aplicando álgebra de bloques a la Figura 1 podemos ver que la señal de realimentación B(s) se puede obtener multiplicando C(s) por H(s), es decir, E(s)G(s) por H(s):
O sea:
El producto G(s)H(s) de la ecuación (2) se le conoce como Función de transferencia en lazo abierto (cociente entre la señal de realimentación y la señal de error):
Notas importantes:
- Si la función de transferencia H(s) de la trayectoria de realimentación (FT del sensor) es igual a uno, H(s)=1, sólo en este caso, la función de transferencia a lazo cerrado es igual a la función de transferencia de trayectoria directa;
- A la función de transferencia de trayectoria directa G(s) también se le conoce simplemente como Función de transferencia directa.
Es decir, si el sistema está representado por el DB de la Figura 2:
Figura 2
Entonces la función de transferencia directa G(s) es también la función a lazo abierto.
Una vez más, aplicando álgebra de bloques a la Figura 1 podemos ver que la señal de salida C(s) se puede obtener multiplicando G(s) por E(s), es decir:
Despejando C(s) , obtenemos que:
De donde:
A la función C(s)/R(s) de la ecuación (3) se le conoce como Función de transferencia en lazo cerrado (cociente entre la señal de salida y la señal de entrada):
Nota importante: La ecuación (3) nos permite obtener la transformada de Laplace de la salida para cualquier entrada, una vez que sabemos cuál es la función de transferencia a lazo cerrado, mediante:
Ejemplo:
Recomiendo ver: Efecto de añadir un Zero – Diseño de Sistema de control
Fuente:
- Katsuhiko Ogata, Ingeniería de Control Moderno, páginas 65-66.
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Revisión literaria hecha por:
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Effect of adding a zero – example – Control System Design
Effects of the addition of zeros: the addition of a zero to the open loop transfer function has the effect of pulling the rootlocus to the left, with which the system tends to be more stable, and also accelerates the settlement of the response. The effect of such control is to introduce a degree of foresight to the system and speed up the transient response.
To illustrate this effect, let’s look at the following example:
Example 1
Suppose we are in the presence of a system with an unstable plant. An example of such a situation is the following:
Where G (s) is the transfer function of the plant and H (s) is the transfer function of the sensor used to assemble the closed-loop system, as shown in Figure 1:
Figure 1
We know from Block Algebra and Transfer Function theory that the open loop transfer function of this system Gd (s) is:
We also know that the rootlocus is drawn with the open loop transfer function of this system Gd (s), for which we can use the following command in Matlab:
Graph 1
Analysis: In graph 1 we can see that the system is unstable for all positive values of gain K. That is, if we move through the blue and green curves, varying the value of K, as in graph 2, where K1 = 0.143; K2 = 3.66 and K1 = 30.5, respectively, we see that the poles of the system are located on the right side of the s-plane, and therefore it is an unstable system:
Let’s apply the principle of addition of a zero to the open loop transfer function for this case. We are going to add a zero at s = -0.5 (Figure 2), therefore the Gd (s) of the system is:
Figure 2
Let’s see the effect of adding a zero to the system by:
Graph 3
Analysis: In graph 3 we see that the LGR of the system has shifted to the left and that the system is stable for any positive value of the gain k, that is, that all the poles of the closed-loop system are located on the left side from plane s (Graph 4), an essential condition for the system to be stable:
Graph 4
Source:
Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, pages 442-443.
Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
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