Análisis de sistemas de control, Convolución - respuesta al impulso

La respuesta al impulso, la salida y la integral de Convolución de un sistema LIT

Sea T la salida de un sistema LIT (lineal e invariante en el tiempo) continuo en el tiempo, la respuesta al impulso h(t) de este sistema se define como la salida del sistema a la entrada impulso  (delta de Dirac):

null

Propiedad de muestreo del impulso

Para comprender la función de la función impulso en el análisis de señales es menester estudiar primero su propiedad de muestreo. Se puede demostrar que cualquier entrada x(t) se puede representar como:

null

La ecuación (2) es una de las aplicaciones más importantes de la función impulso. Hace posible representar cualquier función continua x(t)  en el tiempo como una sucesión continua de impulsos.

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De esta manera, la ecuación (2) representa a x(t)  como la suma (integral) de una serie de impulsos continuos, donde la magnitud de cada impulso es igual al valor de la función en este instante (propiedad de muestreo). Se utiliza entonces la función impulso para muestrear la función x(t). Además, las propiedades de la función impulso que aparecen en la Tabla 1, serán muy utilizadas en el procesamiento de señales y el análisis de sistemas lineales:

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TABLA 1

Respuesta de un sistema a cualquier entrada

Haciendo uso de las ecuaciones (1) y (2), podemos ahora derivar una expresión para la salida de un sistema a cualquier entrada arbitraria. Puesto que el sistema es lineal, la respuesta y(t) del sistema a cualquier entrada arbitraria x(t) puede expresarse como:

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Ya vimos que la respuesta al impulso se define como:

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Sustituyendo este desplazamiento en la ecuación (3) obtenemos que:

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La ecuación (4) pone de manifiesto que, por medio de la respuesta al impulso, se puede obtener la salida y(t) de un sistema para cualquier entrada x(t). En otras palabras, la respuesta al impulso caracteriza completamente al sistema….De hecho, la función de transferencia del sistema es igual a la transformada de Laplace de la respuesta al impulso..Nota importante: Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LIT, y(t) = h(t).

La ecuación (4) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LIT en términos de su respuesta al impulso, y también se puede representar simbólicamente como:

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Respuesta al impulso a partir de la respuesta al escalón unitario

Nota importante: Existen varios métodos para obtener la respuesta al impulso de un sistema. Por su simplicidad, uno de los que se utiliza con mayor frecuencia es obtener dicha respuesta a partir de la respuesta al escalón unitario u(t), ya que, como reza la propiedad 4 de la Tabla 1:

nullEjemplo:

Supóngase que la respuesta de un sistema al escalón unitario (step), es yu(t):

nullEntonces h(t):

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Operación de la integral de convolución

Antes de aplicar la ecuación (4) para obtener la salida de un sistema mediante la integral de convolución, se debe decidir que es más fácil obtener….h(t-τ) ó x(t-τ)  . Porque:

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Una vez decidido sobre este asunto (supóngase que se decide por la primera opción), la integral de convolución involucra cuatro pasos:

  1. La respuesta al impulso h(τ) se invierte en el tiempo (se refleja en el origen) para obtener h(-τ). Después se desplaza en t para formar h(t-τ), la cual es una función de τ  con parámetro t;
  2. Las señales x(τ) y h(t-τ) se multiplican entre sí para todos los valores de  con la t fija para algún valor;
  3. El producto x(τ)h(t-τ) se integra sobre todas las τ para producir un único valor de salida y(t);
  4. Se repiten los pasos 1 al 3 a medida que t varía en el intervalo de [-∞,+∞], para producir la salida completa y(t).

Ejemplo:

  1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

null

Determinar:

  1. La salida y(t) por ambos métodos:

Solución:

null

  1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

null

Determinar:

  1. La salida y(t):

nullSolución:

null

  1. Las funciones de respuesta al impulso h(t) y la entrada x(t) de un sistema, están dadas por:

null

Determinar:

  1. La salida y(t) por métodos analíticos y por método gráfico:

Solución:

Podemos expresar las funciones de la siguiente manera:

null

Analíticamente:

null

Gráficamente:

null

null

  1. Considere un sistema LIT cuya respuesta a la entrada escalón está dada por:

null

Determinar la salida y(t) para la siguiente entrada:

nullSolución:

Podemos expresar x(t) como:

null

Puesto que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la salida y(t)  se obtiene directamente como:

null

null

5. La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

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null

null

Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

6. Para las siguientes respuestas al impulso, determinar la salida.

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Fuente:

  • Nota 7 Respuesta Impulsiva Sistema Continuo
  • Shaum – Señales y Sistemas

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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4 comentarios en “La respuesta al impulso, la salida y la integral de Convolución de un sistema LIT”

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