Si la respuesta libre (respuesta natural u homogénes) tiende a cero (circuito estrictamente estable), en régimen permanente sólo queda la componente forzada. La respuesta forzada a una excitación sinusoidal (o salida en régimen permanente sinusoidal en circuitos estrictamente estables) es la sinusoide de la entrada amplificada y desfasada, como se puede ver en la Figura 1:
Figura 1
Suponga un sistema con función de transferencia H(s), entrada X(s) y salida Y(s), representado mediante el diagrama de bloques de la Figura 2:
Figura 2
De la Figura 2 sabemos que:
Entonces, ¿Cuál será entonces la respuesta forzada a una excitación exponencial? Razonamos de la siguiente manera analítica:
Por tanto:
Utilizando la ecuación (1) entonces:
Utilizando la técnica de expansión en fracciones simples vemos que:
Vemos en la ecuación anterior que la respuesta forzada Yf(s) es:
Al hacer la antitransformada de la respuesta forzada Yf(s), obtenemos que yf(t) es:
La ecuación (2) confirma que la respuesta forzada a una excitación sinusoidal es la sinusoide de la entrada amplificada en H(so) (la función de transferencia evaluada en so).
¿Qué pasa si tomamos valores complejos para K y argumento imaginario puro para la exponencial?
Razonamos de la siguiente manera analítica:
Aplicando el mismo procedimiento obtenemos que en este caso la respuesta forzada yf(t) es:
Dónde:
La ecuación para yf(t) confirma que la respuesta forzada a una excitación sinusoidal es la sinusoide de la entrada amplificada en H(jω) y desfasada en <H(jω).
Estos últimos, el módulo y la fase, son los elementos de un diagrama de Bode de la función de transferencia del sistema. Por lo tanto, conociendo la función de entrada x(t) y disponiendo del diagrama de Bode de la función de transferencia de dicho sistema, podemos obtener la respuesta forzada yf(t) del sistema a la entrada x(t).
Ejemplo:
Disponiendo del siguiente Diagrama de Bode de la función de transferencia de un sistema, así como de la entrada a dicho sistema, determinar la respuesta forzada por esta entrada.
Respuesta:Dónde:
Ya que:Entonces:
Podemos ver en el diagrama de Bode que:
Por lo tanto:
Es decir:
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Fuentes:
- Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
- Control Systems Engineering, Nise
- Sistemas de Control Automatico, Kuo
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