La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).
- a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
- b) ¿Y para que el valor máximo esté en t=6? Dibuje el resultado en este nuevo caso.
La salida y1(t) puede ser determinada mediante la siguiente convolución:
La función x1(t) es un pulso triangular de 4 segundos de ancho, 2 unidades de altura, centrado en t=2s, que puede representarse de la manera siguiente:
La gráfica para x1(t) en el tiempo 0≤t<4 en Matlab se obtiene mediante:
>> t=0:0.1:4;
>> x1=2*tripuls(t-2,4);
>> plot(t,x1)
Por su parte, h(t) es un pulso rectangular unitario de ancho a. El objetivo es darle diferentes valores al parámetro a para aplicar la ecuación (1) y determinar el valor de a para el cual el valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=3s.
La gráfica de h(t) para a=1, que denominaremos h1(t), se obtiene mediante:
>> t=0:0.1:4;
>> h1=rectpuls(t,2);
>> plot(t,h1)
Nota: para evitar la inclinación de la línea que cierra el pulso rectangular de la figura anterior, simplemente aumentamos el muestreo, es decir, por ejemplo, asignamos al tiempo t=0:0.01:4 en vez de t=0:0.1:4. De esta manera aumenta la precisión, pero la amplitud de la convolución también cambia, más no así su posición y su ancho de banda. Esto sucede porque la convolución es en realidad una sumatoria, y al aumentar el número de muestras, aumenta también la cantidad de términos que se suman.
La convolución de x1(t) y h1(t), genera la salida y11(t) para a=1. Continuando con los comandos en Matlab utilizados para generar las gráficas anteriores, y11(t) se puede obtener en mediante:
>> y11=conv(x1,h1)
>> t=0:0.1:8;
>> plot(t,y11)
En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t) está aproximadamente en t=2,5s.
La gráfica para h2(t), es decir a=2, se obtiene mediante:
>> t=0:0.1:4;
>> h2=rectpuls(t,4);
>> plot(t,h2)
La convolución de x1(t) y h2(t), genera la salida y12(t) para a=2. y12(t) y su gráfica, se obtiene mediante:
>> y12=conv(x1,h2);
>> t=0:0.1:8;
>> plot(t,y12)
En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t) está aproximadamente en t=3s.
La gráfica para h3(t), es decir a=3, se obtiene mediante:
>> t=0:0.1:4;
>> h3=rectpuls(t,6);
>> plot(t,h3)
La convolución de x1(t) y h3(t), genera la salida y13(t) para a=3. y13(t) y su gráfica, se obtiene mediante:
>> y13=conv(x1,h3);
>> t=0:0.1:8;
>> plot(t,y13)
En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t) está aproximadamente en t=3.5s.
La gráfica para h4(t), es decir a=4, se obtiene mediante:
>> t=0:0.1:4;
>> h4=rectpuls(t,8);
>> plot(t,h4)
La convolución de x1(t) y h4(t), genera la salida y14(t) para a=4. y14(t) y su gráfica, se obtiene mediante:
>> y14=conv(x1,h4);
>> t=0:0.1:8;
>> plot(t,y14)
En la gráfica anterior se observa que el valor máximo de y1(t) está aproximadamente en t=4s.
Conclusión:
El valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=3s cuando el valor de a es 2 (a=2).
Utilizando el mismo procedimiento, podemos determinar que asignando un valor para a=8, el valor máximo de la salida y1(t) se localiza en el instante t=6s.
t=0:0.1:8;
h5=rectpuls(t,16);
plot(t,h5)
y15=conv(x1,h5);
t=0:0.1:12;
plot(t,y15)
Método gráfico
¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
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