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Proceso aleatorio y estocástico

Un proceso ergódico debe ser estacionario, dado que sería imposible estimar una f.d.p. variante en el tiempo a partir de una única realización.

Dado que la idea subyacente del procesado de señales estocásticas es conocer algunos detalles acerca de la f.d.p. que define dicho proceso, un problema importante para el procesado de señales estocásticas es cómo estimar dicha f.d.p. a partir de una única realización de dicho proceso. En otras palabras, cuando tenemos datos de un proceso aleatorio sólo hacen referencia a una realización temporal de dicho proceso. Sin embargo, existen infinidad de posibles realizaciones como esa. Debido a que no podemos estudiarlas todas en la práctica, tenemos que estimar o aproximar el valor del proceso aleatorio global a la información que poseemos en nuestros datos.

La suposición que nos permite tomar esta aproximación se llama ergodicidad, que establece que “los promedios temporales convergen al valor que se pretende estimar del conjunto de todas las realizaciones”. Por ello, un proceso ergódico debe ser estacionario, dado que sería imposible estimar una f.d.p. variante en el tiempo a partir de una única realización.

Para el caso de un proceso aleatorio ergódico, se tendrá que cumplir que las características estadísticas de los promedios temporales sean iguales a sus correspondientes promedios de conjunto. Es decir, si al analizar las propiedades de media y función de autocorrelación (en la práctica se considera suficiente con estas dos) de cada una de las funciones muestrales coinciden con las propiedades de los promedios de conjunto (para un tiempo dado), hablaremos de un proceso aleatorio ergódico y de esta forma podremos conocer las características del proceso global a partir de una única realización del proceso aleatorio.

De la teoría sabemos que para que un proceso aleatorio sea estacionario en sentido amplio, se debe cumplir:

  • La media del conjunto debe ser independiente del tiempo:

null

  • La función de autocorrelación de conjunto depende sólo de la diferencia de tiempos de observación:

null

Para el caso de un proceso aleatorio ergódico, se tendrá que cumplir que las características estadísticas de los promedios temporales sean iguales a sus correspondientes promedios de conjunto. Es decir, si al analizar las propiedades de media y función de autocorrelación (en la práctica se considera suficiente con estas dos) de cada una de las funciones muestrales coinciden con las propiedades de los promedios de conjunto (para un tiempo dado), hablaremos de un proceso aleatorio ergódico y de esta forma podremos conocer las características del proceso global a partir de una única realización del proceso aleatorio.

Fuentes:

Practica 2. Procesos aleatorias, propiedades estadísticas, estacionariedad y ergodicidad

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