Sistemas de segundo orden – Sistemas de control

La forma estándar de la función de transferencia de un sistema de 2do orden es: Dónde: La ganancia estática k , el coeficiente de amortiguamiento ζ, y la frecuencia natural ω_n, son los parámetros de un sistema de segundo orden. En comparación con la simplicidad de un sistema de primer orden (Sistemas de primer orden), un sistema de segundo orden exhibe una amplia gama de respuestas que deben analizarse y  describirse. Mientras que variar el parámetro de un sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta.

INTRODUCCIÓN: ¿De dónde proviene la ecuación (1)?

El diagrama de bloques de la Figura 1 representa a un sistema de segundo orden de tipo cero. Físicamente, este diagrama puede ser el modelo de un motor DC, el modelo de una red eléctrica o de un mecanismo con resorte, amortiguador y masa. Por ello, el sistema de segundo orden es de gran interés académico, industrial y tecnológico, de los más importantes para el estudio.

Figura 1.

Los sistemas de segundo orden son esenciales en el diseño de sistemas de control. En consecuencia, es de gran utilidad entender que el modelo de la Figura 1 suele provenir de un sistema realimentado como el de la Figura 2:

Figura 2.

El sistema de la Figura 2 se puede ver como un sistema de control básico. Una planta de segundo orden de tipo 1, con un polo en s=-2ζω_n, en serie con un controlador proporcional, y realimentación unitaria. Para diseñar un sistema de control, por excelencia se utiliza principalmente la entrada escalón unitario como señal de prueba. Es así porque a partir de ella, derivando podemos hallar la respuesta al impulso unitario, e integrando, la respuesta a la rampa unitaria. El comportamiento del sistema de control ante una entrada escalón unitario depende de estos tres factores: la ganancia k , el coeficiente de amortiguamiento ζ, y la frecuencia natural ω_n. Con solo conocer el valor del coeficiente de amortiguamiento ζ, podemos determinar la forma de la respuesta del sistema. Por otra parte, en ocasiones podremos cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control con sólo variar el valor de la ganancia k, como veremos en el caso siguiente, cuya respuesta aparece más adelante: Ejemplo 1:

1. Para la planta de la Figura 88, diseñar un sistema de control  que cumpla con los siguientes requerimientos ante una entrada escalón unitario:  una salida c_(t) con Sobrepaso máximo (M_p) igual al 5%, tiempo de establecimiento (t_s) de 2.1 segundos, y error en estado estable a la entrada escalón unitario (e_p) menor o igual al 50%:

La función de transferencia estándar (1) se deriva tanto del diagrama de bloques de la Figura 1, como del de la Figura 2, diseñada en función de estos parámetros (ganancia, frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento) que están ligados al comportamiento físico de la respuesta y a la situación de sus polos en el plano “s”.

TIPOS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN: según ubicación de los polos.

Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos. La ecuación (1) tiene dos polos: Las raíces del polinomio del denominador de la ecuación (1) son los polos del sistema. A continuación se muestra la clasificación general de la respuesta de sistemas de segundo orden a la entrada escalón unitario,  determinada por la posición de sus polos en el plano “s”:

• Subamortiguado (polos complejos conjugados con parte real negativa)
• Críticamente amortiguado (polos reales puros – negativos e iguales – llamado polo doble)
• Sobreamortiguado (polos reales puros – negativos y diferentes)
•  Oscilatorio (polos imaginarios puros)
• Inestable (polos complejos conjugados con parte real positiva)

El tipo “Subamortiguado” es el más utilizado para el diseño de sistemas de control. Por ello analizamos el caso Subamortiguado en primer lugar y con mayor énfasis que en el resto de los casos.

TIPOS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN: según el valor deζ (factor de amortiguamiento)

Como se dijo anteriormente, con solo conocer el valor del coeficiente de amortiguamiento ζ, podemos determinar la forma de la respuesta del sistema:

• Subamortiguado (0<ζ<1)
• Críticamente amortiguado (ζ=1)
• Sobreamortiguado (1<ζ)
•  Oscilatorio (ζ=0)
• Inestable (ζ<0)

La siguiente figura es un resumen del tipo de sistema y la forma de la salida del sistema de segundo orden para una entrada escalón unitario, de acuerdo al valor del coeficiente de amortiguamiento y la ubicación de los polos:

Figura 3.

Sistema de 2do orden Sub-amortiguado

Dada la función de transferencia de un sistema de control: ya hemos visto que un sistema de segundo orden Sub-amortiguado es aquel cuyo coeficiente de amortiguamiento tiene valores entre cero y uno (0<ζ<1) y tiene dos polos complejos conjugados s₁ y s₂, localizados como lo indican las X en el plano transformado “s” siguiente:

Figura 4.

Este sistema, sometido a una entrada escalón unitario, en el dominio del tiempo presenta una salida c_(t) con el siguiente comportamiento genérico:

Figura 5.

La ganancia estática k en este caso, es el valor de la salida en estado estable. Es decir:

Por cuestiones prácticas nos interesa expresar los polos como dos números complejos de la siguiente forma genérica:

Figura 6.

dónde:

A continuación vamos a obtener una relación muy útil para el proceso de diseño de controladores. Podemos ver en la Figura 6 que se forma el ángulo Φ en el triángulo señalado por líneas discontinuas. Se puede demostrar que:

Es decir, que si conocemos el valor de los polos complejos conjugados de un sistema de segundo orden, además de saber directamente que es un sistema subamortiguado, podemos determinar mediante la relación anterior el factor de amortiguamiento de dicho sistema. Y viceversa. Si nos dan el valor de ζ, podemos obtener el valor de Φ, y utilizar este valor para obtener la ubicación de los polos, un hecho relevante cuando se diseña un controlador. Ejemplo 2: Supongamos que una planta tiene la siguiente función de transferencia:

Al simular la respuesta de este sistema a la entrada escalón unitario obtenemos la siguiente curva: >> G=tf([1],[1 2 2]); >>step(G)

Figura 7

La curva de salida se corresponde con el de un sistema de segundo orden subamortiguado. Podemos conocer los valores de los parámetros de importancia mediante: >> damp(G)

Podemos corroborar estos valores mediante las ecuaciones formuladas:

k=0.5

Respuesta del sistema de 2do orden subamortiguado en el tiempo.

Sabemos que la transformada de Laplace del escalón unitario es 1/s. Por lo tanto la expresión para la salida C_(s) en el dominio transformado es:

Podemos determinar la ecuación de la salida c_(t) en el dominio del tiempo, aplicando la anti-transformada de Laplace a C_(s):

La siguiente gráfica muestra cada uno de los componentes de la salida c_(t):

Figura 8.

La Figura 8 muestra los factores que se suman y se multiplican para generar la salida c_(t) (interesante es tener presente que se trata la respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden subamortiguado). La salida es oscilatoria amortiguada. La frecuencia de dicha señal oscilatoria es ahora ω_d (frecuencia amortiguada). La oscilación está amortiguada por el término exponencial decreciente. Ejemplo 3. Aplicando una entrada escalón unitario y aplicando el procedimiento descrito anteriormente para la planta del ejemplo dos, vemos que:

Especificaciones de respuesta transitoria para un sistema de control de 2do grado subamortiguado

Especificaciones de diseño. Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Para diseñar un sistema de control, lo primero es conocer las condiciones que debe cumplir ante una entrada escalón unitario. Si se espera que la salida del sistema se comporte como la de un sistema segundo orden subamortiguado, las especificaciones de diseño son las siguientes:

1. Sobrepaso máximo (M_p): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medida a partir de la unidad. Según otra bibliografía, es también la cantidad en que la forma de la curva de salida sobrepasa el valor final de la salida, expresada en porcentaje.
2. Tiempo de retardo (T_d): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance la mitad del valor final por primera vez.
3. Tiempo de asentamiento (T_s): es el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.
4. Tiempo de levantamiento (T_r): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final. En otras palabras, para que vaya de 0.1 del valor final al 0.9 del valor final. Un segundo criterio define este tiempo como aquel en el que se alcanza por primera vez el valor en estado estable (criterio del 100%).
5. Tiempo pico (T_p ó Tmáx):es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance el pico del levantamiento máximo.

En especial, los requerimientos para el diseño de un sistema de seguimiento (servosistema) se especifican en base a estos conceptos.

Fórmulas para las especificaciones de un Sistema de 2do orden Sub-amortiguado

A continuación se presentan fórmulas que pueden ayudar a determinar analíticamente las especificaciones de un sistema de segundo orden sub-amortiguado para el que se conoce la forma estándar de la función de transferencia, ecuación (1).

• Sobrepaso máximo (M_p). Consideran como la salida del sistema:

donde c(t_(p)) es el valor de la salida en el tiempo pico, mientras c(∞) es el valor de la salida en estado estable. 

• Tiempo pico (T_p):

• Factor de amortiguamiento (ζ):

Es muy útil contar además con la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ en función del sobrepaso M_p dado en porcentajes:

• Tiempo de asentamiento (T_s)

• Tiempo de levantamiento (T_r)

• Tiempo de retardo (T_d)

(interesante es recordar que estos parámetros sólo aplican para la respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden subamortiguado) Ejemplo 4: Calculamos estos parámetros M_p, t_r, t_p y t_s para la planta del ejemplo 2:

>> stepinfo(G)

La respuesta transitoria de un sistema de control en la práctica siempre exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Esto ocurre porque los sistemas tienen componentes que almacenan energía y no pueden responder de manera inmediata a los cambios en la entrada. La respuesta transitoria a una entrada escalón depende de las condiciones iniciales. Es por ello que en la práctica se acostumbra considerar que el sistema está inicialmente en reposo de modo tal que las condiciones iniciales (la salida y sus derivadas) son iguales a cero.

Efecto de añadir un cero a un sistema de 2do orden Subamortiguado.

Un cero adicional hace al sistema más rápido y oscilatorio, tanto más cuanto más se acerque al origen. Para mayor información visita:

• Efecto de añadir un Zero – Diseño de Sistema de control

Compensación del sistema

Establecer la ganancia es el primer paso encaminado a ajustar el sistema para un desempeño satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prácticos el solo ajuste de la ganancia  tal vez no proporcione una alteración suficiente del comportamiento del sistema para cumplir las especificaciones dadas. En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema. Este nuevo diseño a adición de un dispositivo apropiado se denomina compensación. Para mayor información visita:

• Diseño de sistema de control por medio del Lugar Geométrico de Raíces
• Compensación en adelanto
• Compensación en adelanto – Problemas resueltos – Catálogo 17

Efecto de añadir un polo a un sistema de 2do orden Subamortiguado.

Un polo adicional (de valor negativo) hace al sistema más lento, tanto más cuanto más e acerque al origen.

Sistema reducido equivalente

Un sistema de orden mayor a dos, de función de transferencia G_1(s), se puede reducir a un sistema reducido equivalente con función de transferencia G_2(s), si teniendo el segundo menor número de polos y/o ceros que el primero, la respuesta temporal de ambos es similar. El objetivo de este procedimiento es despreciar los efectos sobre el comportamiento del sistema de unos polos y/o ceros frente a los que se consideren dominantes. Para reducir, se deben cumplir las siguientes reglas:

• Nunca despreciar (simplificar) el efecto de un polo inestable;
• Despreciar los polos y/o ceros relativamente más alejados del origen;
• Simplificar parejas de polos-ceros relativamente cercanos entre sí;
• Los sistemas real y reducido equivalentes deben tener la misma ganancia estática.

Sistema de 2do orden Oscilatorio: No amortiguado

Un sistema de segundo orden no amortiguado es aquel cuyo coeficiente de amortiguamiento es igual a cero (ζ=0). Este sistema tiene dos polos imaginarios puros. Sometido a una entrada escalón unitario presenta el siguiente comportamiento genérico: La frecuencia de dicha salida oscilatoria es ω_n, es decir, la frecuencia natural o no amortiguada del sistema. Cuanto más lejos están los polos del origen, mayor es la frecuencia natural.

Sistema de segundo orden críticamente amortiguado

Un sistema de segundo orden con amortiguamiento crítico es aquel cuyo coeficiente de amortiguamient0 es igual a uno (ζ=1).Este sistema tiene dos polos reales negativos e iguales y su valor es igual a –ω_n. Sometido a una entrada escalón unitario presenta el siguiente comportamiento genérico: En este caso como se puede ver en la Figura anterior, la salida c_(t) es el producto de una exponencial decreciente y una recta. Representa la respuesta más rápida posible del sistema sin que haya oscilación.

Sistema de segundo orden con sobre-amortiguamiento

Un sistema de segundo orden con sobre amortiguamiento es aquel cuyo coeficiente de amortiguamient0 es mayor que uno (ζ>1).Este sistema tiene dos polos reales negativos y distintos: La respuesta de este sistema está dominada por el polo más lento, el polo s₁ de acuerdo con la siguiente figura que muestra el comportamiento genérico del sistema sometido a una entrada escalón unitario: Es decir, s₂, el polo más rápido, se puede despreciar. En este caso, la salida c_(t) es la combinación lineal de dos exponenciales.

Respuesta al impulso unitario de un sistema de segundo orden

Para una entrada impulso unitario r_(t), la transformada de Laplace correspondiente es R_(s)=1, la respuesta C_(s) impulso unitario del sistema de segundo orden de la ecuación (1) es:

La transformada inversa de Laplace para esta ecuación da la salida c_(t) en el tiempo que, de acuerdo con el valor del coeficiente de amortiguamiento ζ, es:

También se puede obtener la respuesta c_(t) del sistema a la entrada impulso unitario, diferenciando la respuesta al escalón unitario.

Aplicar control PID a Función de Transferencia - 1er grado o 2do grado - Catálogo 14

Este catálogo ofrece la solución analítica completa a prácticas de configuración y diseño de sistemas de control para Función de Transferencia de primer orden o de segundo orden, generalmente aplicando un controlador PID, álgebra de bloques, y la teoría que forma parte de la cátedra de sistemas de control, señales y sistemas, ingeniería industrial, mecatrónica, etc. Además, la solución implica el uso de Matlab y/o Simulink. Cada laboratorio tiene un costo de 14.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal. También el autor ofrece servicio para resolver prácticas y laboratorios a particulares: +34633129287.

Práctica 1

Para la función de transferencia:

• Graficar la respuesta para una entrada de 250 sin control en lazo abierto y sin control en lazo cerrado;
• Graficar la salida aplicando control PID con las siguientes constantes de K_p=60; K_i=400; K_d=10 y con una entrada escalón unitario. Ejecutar ambas: Solución analítica y Solución haciendo uso de la herramienta sisotool de Matlab para configurar el controlador.
• Simular en Simulink

Práctica 2…en construcción

Para la función de transferencia:

Problemas resueltos de Análisis de respuesta transitoria de sistemas lineales - Matlab - Catálogo 9

En esta guía PDF  se analiza la respuesta transitoria de sistemas que forman parte de la cátedra de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas, etc. Cada solución además ofrece un código de Matlab para graficar las señales y/o la simulación de la respuesta. Cada problema tiene un costo de 12.5 euros. La Guía completa tiene un valor de 21.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal. A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

Problema 1.

Para el sistema de la Figura siguiente: 1.a Calcula y justifica el valor de la ganancia estática y la constante de tiempo cuando G_(s) y H_(s): Simular en Matlab. 1.b Analiza el comportamiento (subamortiguado, sobreamortiguado, críticamente amortiguado, inestable, oscilación mantenida) de la salida para los diferentes valores del parámetro a ante la entrada escalón unitario cuando: El parámetro a toma valores reales. Simular en Matlab. 1.c Calcula frecuencia natural no amortiguada, frecuencia natural amortiguada, factor de amortiguamiento, tiempo de crecimiento, tiempo pico, sobre impulso máximo para el caso b. Simular en Matlab

Problema 2. 

Sea el sistema adjunto: Se pide: 2.a Obtener la función de transferencia del sistema, considerando la tensión e_i como la señal de entrada al sistema y la tensión e_o como la señal de salida del sistema. 2.b Calcular, a partir del modelo obtenido, el valor de estabilización del sistema ante entrada escalón unitario. ¿Depende de los valores de las resistencias y del condensador? 2.c Obtener el valor del tiempo en el que la salida del sistema alcanza el 95% de su valor final, suponiendo que los valores de R y C son iguales a 1. Simular en Matlab.

Problema 3. 

Para el sistema adjunto: Se pide: 3.a Obtener la función de transferencia del sistema, considerando la tensión v_i como la señal de entrada al sistema y la tensión v_o como la señal de salida del sistema. 3.b Calcular, a partir del modelo obtenido, el valor de estabilización del sistema ante entrada escalón unitario. ¿Depende del valor de la resistencia R? 3.c Analiza el sistema respecto al parámetro R. Simular en Matlab.

Problema 4 

Se tiene un sistema cuya función de transferencia es: K_a es una ganancia que se ajusta para obtener una respuesta deseada. Determinar el valor de K_a para obtener la respuesta que se observa en la gráfica 3. Esta salida corresponde a la respuesta al escalón unitario. Simular en Matlab.

Método de pago

Anexo 1: Señales típicas para probar sistemas

Anexo 2

Anexo 3

Anexo 4

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• Sistemas de primer orden

Referencias:

1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
2. Oppenheim – Señales y Sistemas
3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
4. 2.1 Respuesta transitoria

Revisión literaria hecha por: Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer Se hacen trabajos, se resuelven ejercicios!! WhatsApp:  +34633129287  Atención Inmediata!!