Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Sistemas de segundo orden – Sistemas de control

La forma estándar de la función de transferencia de un sistema de 2do orden es:

null

Dónde:

null

Nota: Si el sistema responde al escalón unitario (step response), podemos suponer k=1 en la ecuación (1). En comparación con la simplicidad de un sistema de primer orden (Sistemas de primer orden), un sistema de segundo orden exhibe una amplia gama de respuestas que deben analizarse y  describirse. Mientras que variar el parámetro de un sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta.

La función de transferencia estándar (1) para un sistema de 2do orden está expresamente diseñada en función de estos parámetros (ganancia, frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento) que están ligados al comportamiento físico de la respuesta y a la situación de sus polos en el plano “s”. Para empezar, con solo conocer el valor del coeficiente de amortiguamiento ζ, podemos determinar la forma de la respuesta del sistema, y el tipo de sistema.

Recordamos que el método más utilizado para estudiar el comportamiento de los sistemas de 2do orden consiste en someter dicho sistema a un conjunto de entradas típicas: el impulso, el escalón unitario, la rampa y una señal alterna sinusoidal (ver Anexo 1).

Tipos de sistemas de segundo orden
  • Subamortiguado (0<ζ<1)
  • Críticamente amortiguado (ζ=1)
  • Sobreamortiguado (1)
  •  Oscilatorio (ζ=0)
  • Inestable (ζ<0)

La siguiente figura es un resumen del tipo de sistema y la forma de la salida del sistema para una entrada escalón unitario, de acuerdo al valor del coeficiente de amortiguamiento:

null

Vamos a describir cada uno de estos tipos de sistemas por separado. En primer lugar, el más interesante en cuanto al diseño de sistemas de control: sistema de 2do orden sub-amortiguado.

Sistema de 2do orden Sub-amortiguado

Un sistema de segundo orden sub-amortiguado es aquel cuyo coeficiente de amortiguamiento tiene valores entre cero y uno (0<ζ<1). Una característica importante es que tiene dos polos complejos conjugados (como se puede ver en el plano s de la Figura siguiente). Este sistema, sometido a una entrada escalón unitario, presenta el siguiente comportamiento genérico:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-64.png

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-65.png

La Figura anterior muestra los factores que se suman y se multiplican para generar la salida c(t) (interesante recordar que es la respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden subamortiguado). La salida es oscilatoria amortiguada. La frecuencia de dicha señal oscilatoria es ahora ωd (frecuencia amortiguada). La oscilación está amortiguada por el término exponencial decreciente. Este sistema, sea eléctrico, mecánico, hidráulico, neumático, es muy cotizado porque permite variar totalmente la forma de la respuesta (ver los 5 parámetros siguientes), y sigue a la entrada (su valor final es igual al de la entrada, que en este caso es 1). 

Este comportamiento también se puede describir analíticamente mediante los parámetros que se definen a continuación:

  1. Sobrepaso máximo (Mp): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medida a partir de la unidad. Según otra bibliografía, es también la cantidad en que la forma de la curva de salida sobrepasa el valor final de la salida, expresada en porcentaje.
  2. Tiempo de retardo (Td): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance la mitad del valor final por primera vez.
  3. Tiempo de asentamiento (Ts): es el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.
  4. Tiempo de levantamiento (Tr): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final. En otras palabras, para que vaya de 0.1 del valor final al 0.9 del valor final.
  5. Tiempo pico (Tp ó Tmáx):es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance el pico del levantamiento máximo.

Por lo general, los requerimientos para el diseño de un sistema de control se especifican en base a estos parámetros (de allí su importancia). Como se puede constatar, se manifiestan durante la respuesta transitoria en la cual la mayoría de los sistemas muestra una conducta oscilatoria antes de alcanzar el estado estable. Para poder comparar varios diseños, se utiliza como función de prueba el escalón unitario, y es práctica común considerar las condiciones iniciales iguales a cero.

Fórmulas para los parámetros de un Sistema de 2do orden Sub-amortiguado

A continuación se presentan fórmulas que pueden ayudar a determinar analíticamente los parámetros de un sistema de segundo orden sub-amortiguado para el que se conoce la forma estándar de la función de transferencia, ecuación (1).

  • Sobrepaso máximo (Mp):

también podemos utilizar:null

donde y(t(p)es el valor de la salida en el tiempo de máximo sobrepaso, mientras y(∞) es el valor de la salida en estado estable, cuando desaparece la respuesta transitoria.

Es muy útil contar además con la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ en función del sobrepaso Mp:

null

  • Tiempo de asentamiento (Ts)

null

null

  • Tiempo de levantamiento (Tr)

El tiempo de levantamiento no se puede expresar en función del factor de amortiguamiento relativo ζ. Se puede utilizar la siguiente relación para la cual es necesario contar con los componentes real e imaginario de la raíz que se corresponde con los valores dados de ωn ζ (Figura 5-9):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-68.png

donde σ es el factor de decorecimiento y ωd es la frecuencia natural amortiguada:

y ß está definida por la Figura 5-9:

  • Tiempo pico (Tp)

null

  • Tiempo de retardo (Td)

null

La respuesta transitoria de un sistema de control en la práctica siempre exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Esto ocurre porque los sistemas tienen componentes que almacenan energía y no pueden responder de manera inmediata a los cambios en la entrada. La respuesta transitoria a una entrada escalón depende de las condiciones iniciales. Es por ello que en la práctica se acostumbra considerar que el sistema está inicialmente en reposo de modo tal que las condiciones iniciales (la salida y sus derivadas) son iguales a cero.

Mientras que variar el parámetro de un Sistema de primer orden (constante de tiempo) simplemente cambia la velocidad de la respuesta, los cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden cambiar la forma total de la respuesta.

Sistema de 2do orden No amortiguado

Un sistema de segundo orden no amortiguado es aquel cuyo coeficiente de amortiguamient0 es igual a cero (ζ=0). Este sistema tiene dos polos imaginarios puros. Sometido a una entrada escalón unitario presenta el siguiente comportamiento genérico:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-66.png
La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-67.png

La frecuencia de dicha salida oscilatoria es ωn, es decir, la frecuencia natural o no amortiguada del sistema. Cuanto más lejos están los polos del origen, mayor es la frecuencia natural.

Sistema de segundo orden con amortiguamiento crítico

Un sistema de segundo orden con amortiguamiento crítico es aquel cuyo coeficiente de amortiguamient0 es igual a uno (ζ=1).Este sistema tiene dos polos reales negativos e iguales y su valor es igual a –ωn.

Sometido a una entrada escalón unitario presenta el siguiente comportamiento genérico:

En este caso como se puede ver en la Figura anterior, la salida c(t) es el producto de una exponencial decreciente y una recta. Representa la respuesta más rápida posible del sistema sin que haya oscilación.

Sistema de segundo orden con sobre-amortiguamiento

Un sistema de segundo orden con sobre amortiguamiento es aquel cuyo coeficiente de amortiguamient0 es mayor que uno (ζ>1).Este sistema tiene dos polos reales negativos y distintos:

La respuesta de este sistema está dominada por el polo más lento, el polo s1 de acuerdo con la siguiente figura que muestra el comportamiento genérico del sistema sometido a una entrada escalón unitario:

Es decir, s2, el polo más rápido, se puede despreciar. En este caso, la salida c(t) es la combinación lineal de dos exponenciales.

Anexo 1: Señales típicas para probar sistemas
Anexo 2
Figura 11. Respuesta transitoria (homogénea) y permanente (particular).
Anexo 3

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-73.png

Anexo 4

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-74.png

Te puede interesar:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. 2.1 Respuesta transitoria

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Se hacen trabajos, se resuelven ejercicios!!

WhatsApp:  +34633129287  Atención Inmediata!!

Twitter: @dademuch

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contacto: España. +34633129287

Caracas, Quito, Guayaquil, Jaén. 

WhatsApp:  +34633129287   

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

13 comentarios en “Sistemas de segundo orden – Sistemas de control”

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s