El conocimiento de la respuesta natural del circuito RLC es un requisito necesario para la comprensión de numerosos estudios en el campo de la ingeniería eléctrica.
Para analizar este circuito debemos considerar dos casos: Circuito RCL sin fuente y con fuente. Consideramos el primer caso:
Circuito RLC sin fuente
Consideremos el circuito RLC que se presenta en la Figura 1.
Figura 1
Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor. Tal energía está representada por la tención inicial del capacitor Vo y la corriente inicial del inductor Io:
Al aplicar la LTK a lo largo de la malla del circuito de la Figura 1 obtenemos:
Para eliminar la integral de la ecuación (1), derivamos con respecto al tiempo y ordenamos pa obtener la ecuación diferencial en forma estándar:
Para resolver la ecuación (2) necesitamos dos condiciones iniciales. Ya tenemos los valores iniciales de la corriente y del voltaje. En este ejemplo, debemos calcular el valor inicial de la derivada primera de la corriente en el tiempo t=0 s, lo cual lo podemos hacer utilizando la ecuación (1):
De donde:
Ejemplo de aplicación
Una compañía de dispositivos electrónicos realiza pruebas para mejorar la calidad de sus productos, y quiere determinar la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuando L=0.5 H, R=10 Ω, C=0.001 F, E(t)=150 V, q(0)=1 C, i(0)=0 A, Cuáles son las funciones de carga y de corriente del circuito? (1era parte)
Respuesta:
Las funciones de carga y de corriente del circuito están compuestas por la respuesta natural (homogénea) y la respuesta forzada (particular o permanente):
Para estudiar la respuesta homogénea, consideramos el circuito RLC de la Figura 1. Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor:
Figura 1
Dónde:
Al aplicar LVK al circuito de la Figura 1, obtenemos:
En el tiempo t=0 s, la ecuación (1) se puede escribir como:
De donde:
Para eliminar la integral de la ecuación (1) derivamos con respecto a la variable t:
Ordenamos la ecuación (2) para obtener la forma estándar:
Sustituyendo valores en la ecuación (3) obtenemos:
Con la ecuación (4) formamos un polinomio D en función de una variable p:
El polinomio de la ecuación (5) es denominado ecuación característica. Hallamos las raíces de la ecuación (5):
Estas raíces generan soluciones sinusoidales que decrecen exponencialmente de la forma: Para cada par de raíces complejas conjugadas simples del tipo 
aparecerá en la solución un término de la forma:
Por tanto:
En el estado permanente el capacitor se comporta como un corto, por lo que:
Por tanto:
Para hallar el valor de las constantes, utilizamos las condiciones iniciales:
Donde U(t) es la función escalón unitario. Una vez determinada la expresión para la corriente, debemos considerar el circuito de la Figura 2 para hallar el voltaje Vc en el capacitor:
Figura 2.
Al aplicar LVK al circuito de la Figura 2, obtenemos:
Necesitamos la derivada de la corriente:
Despejamos Vc de la ecuación (7):
En definitiva:
A continuación las gráficas para ic(t) y Vc(t):
Gráfica 1
Análisis: En la gráfica 1, el voltaje en el capacitor oscila alrededor de 150 V, luego esa oscilación, que es el comportamiento natural del sistema, desaparece, y sólo queda la respuesta en estado estable, que es cuando el voltaje del capacitor es igual al voltaje de la fuente.
Gráfica 2
Análisis: En la gráfica 2, la corriente en el capacitor oscila en su etapa de transición (respuesta natural). Podemos ver que al principio es cero como lo señala la condición inicial. Luego de oscilar se estabiliza en cero, que es cuando el capacitor se ha cargado y actúa como un circuito abierto.
2DA PARTE
- Una compañía de dispositivos electrónicos realiza pruebas para mejorar la calidad de sus productos, y en un circuito sencillo la resistencia es 20 Ω y la inductancia es de 0.25 H, C=1/300 F. Si E(t)=0 V, q(0)=4 C, i(0)=0, el interruptor se cierra, encontrar:
- Las funciones q(t), i(t).
- i, q después de 2 segundos
Respuesta: Ejercicio RCL 2da parte
Para más teoría y ejemplos ver la siguiente guía: Circuitos y sistemas de segundo orden página 7-21.
Para poner en práctica el conocimiento te recomiendo ver:
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- Circuitos y sistemas de segundo orden
- Circuito RLC en serie – análisis y ejemplos – circuito de segundo orden
- La respuesta natural de un circuito RLC en paralelo – definición y ejemplos
Fuente:
- Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta (capítulo 8)
- Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
- Análisis de Redes – Van Valkenburg,
- Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
- Análisis en estado permanente de un circuito RLC
Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch
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