Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Circuito RLC en serie – análisis y ejemplos

El conocimiento de la respuesta natural del circuito RLC es un requisito necesario para la comprensión de numerosos estudios en el campo de la ingeniería eléctrica.

Para analizar este circuito debemos considerar dos casos: Circuito RCL sin fuente y con fuente. Consideramos el primer caso:

Circuito RLC sin fuente

Consideremos el circuito RLC que se presenta en la Figura 1.

null

Figura 1

Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor. Tal energía está representada por la tención inicial del capacitor Vo y la corriente inicial del inductor Io:

null

Al aplicar la LTK a lo largo de la malla del circuito de la Figura 1 obtenemos:

null 

Para eliminar la integral de la ecuación (1), derivamos con respecto al tiempo y ordenamos pa obtener la ecuación diferencial en forma estándar:

null

Para resolver la ecuación (2) necesitamos dos condiciones iniciales. Ya tenemos los valores iniciales de la corriente y del voltaje. En este ejemplo, debemos calcular el valor inicial de la derivada primera de la corriente en el tiempo t=0 s, lo cual lo podemos hacer utilizando la ecuación (1):

nullDe donde:

null

Ejemplo de aplicación

Una compañía de dispositivos electrónicos realiza pruebas para mejorar la calidad de sus productos, y quiere determinar la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuando L=0.5 H, R=10 Ω, C=0.001 F, E(t)=150 V, q(0)=1 C, i(0)=0 A, Cuáles son las funciones de carga y de corriente del circuito? (1era parte)

Respuesta:

Las funciones de carga y de corriente del circuito están compuestas por la respuesta natural (homogénea) y la respuesta forzada (particular o permanente):

null

Para estudiar la respuesta homogénea, consideramos el circuito RLC de la Figura 1. Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor:

null

Figura 1

Dónde:

null

Al aplicar LVK al circuito de la Figura 1, obtenemos:

nullEn el tiempo t=0 s, la ecuación (1) se puede escribir como:

nullDe donde:

null

Para eliminar la integral de la ecuación (1) derivamos con respecto a la variable t:

null

Ordenamos la ecuación (2) para obtener la forma estándar:

null

Sustituyendo valores en la ecuación (3) obtenemos:

null

Con la ecuación (4) formamos un polinomio D en función de una variable p:

null

El polinomio de la ecuación (5) es denominado ecuación característica. Hallamos las raíces de la ecuación (5):

null

Estas raíces generan soluciones sinusoidales que decrecen exponencialmente de la forma: Para cada par de raíces complejas conjugadas simples del tipo null  aparecerá en la solución un término de la forma:

nullPor tanto:

null

En el estado permanente el capacitor se comporta como un corto, por lo que:

nullPor tanto:

null

Para hallar el valor de las constantes, utilizamos las condiciones iniciales:

null

Donde U(t) es la función escalón unitario. Una vez determinada la expresión para la corriente, debemos considerar el circuito de la Figura 2  para hallar el voltaje Vc en el capacitor:

Circuito RLC.png

Figura 2.

Al aplicar LVK al circuito de la Figura 2, obtenemos:

null

Necesitamos la derivada de la corriente:

null

Despejamos Vc de la ecuación (7):

null

En definitiva:

null

A continuación  las gráficas para ic(t) y Vc(t):

nullGráfica 1

Análisis: En la gráfica 1, el voltaje en el capacitor oscila alrededor de 150 V, luego esa oscilación, que es el comportamiento natural del sistema, desaparece, y sólo queda la respuesta en estado estable, que es cuando el voltaje del capacitor es igual al voltaje de la fuente.

null

Gráfica 2

Análisis: En la gráfica 2, la corriente en el capacitor oscila en su etapa de transición (respuesta natural). Podemos ver que al principio es cero como lo señala la condición inicial. Luego de oscilar se estabiliza en cero, que es cuando el capacitor se ha cargado y actúa como un circuito abierto.

2DA PARTE
  • Una compañía de dispositivos electrónicos realiza pruebas para mejorar la calidad de sus productos, y en un circuito sencillo la resistencia es 20 Ω y la inductancia es de 0.25 H, C=1/300 F. Si E(t)=0 V, q(0)=4 C, i(0)=0, el interruptor se cierra, encontrar:
    1. Las funciones q(t), i(t).
    2. i, q después de 2 segundos

Respuesta: Ejercicio RCL 2da parte

Para más teoría y ejemplos ver la siguiente guía: Circuitos y sistemas de segundo orden página 7-21.

Te puede interesar también:

Fuente:

  1. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta (capítulo 8)
  2. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  3. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  5. Análisis en estado permanente de un circuito RLC

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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4 comentarios en “Circuito RLC en serie – análisis y ejemplos”

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