Mes: mayo 2020

El primer paso para determinar la respuesta natural del circuito RCL, consiste en deducir la ecuación diferencial que debe cumplir la tensión v_(t). de la figura siguiente:

Figura 1

Se elige determinar la tensión primero, ya que es la misma para cada componente. Después, es posible encontrar la corriente de rama utilizando la relación de corriente-tensión para el elemento de cada rama.

Se obtiene fácilmente la ecuación diferencial para la tensión sumando las corrientes que se alejan del nudo superior, donde cada corriente se expresa como una función de la tensión desconocida v_(t):

Si diferenciamos con respecto a t, eliminamos la integral de la ecuación:

Ahora ordenamos la ecuación en su forma estándar:

Esta es la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes.

Al resolver esta ecuación diferencial de segundo orden encontramos que la respuesta natural del circuito RLC en paralelo es de la forma:

Donde s₁ y s₂ son las raíces de la ecuación característica.

Las raíces de la ecuación característica (s₁ y s₂) están determinadas por los parámetros del circuito RLC. Las condiciones iniciales determinan los valores de A₁ y A₂. Hay que tener en cuenta que la ecuación (1) habría que cambiarla si s₁ y s₂ son iguales.

El comportamiento de v_(t) depende del valor de s₁ y s₂. En consecuencia, el primer paso en la determinación de la respuesta natural corresponde a determinar las raíces de la ecuación característica:

Dónde:

Existen tres posibles resultados. Primero, si , ambas raíces serán reales y distintas. Aquí se dice que la respuesta de la tensión será sobre-amortiguada. Segundo, si , tanto s₁ como s₂ serán complejas, y además, conjugadas entre sí. En esta situación se dice que la respuesta de la tensión será sub-amortiguada. El tercer caso es que . En este caso, s₁ y s₂ serán reales e iguales. En este caso, la respuesta de la tensión será amortiguada críticamente.

Ejemplo:

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Es posible encontrar la respuesta al escalón de un circuito RC de primer orden analizando el circuito de la figura:

Para esto, calculamos el equivalente Norton de la red conectado al condensador. Sumando las corrientes que se alejan del nudo superior se obtiene la ecuación diferencial:

Si la ecuación anterior la dividimos por C obtenemos:

Al resolver esta ecuación, vemos que:

La constante de tiempo para el circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:

Así, en términos de la constante de tiempo:

La respuesta natural de un circuito RC es una caída exponencial de la corriente inicial. La constante de tiempo RC es un parámetro que regula la velocidad a la que decrece la corriente. La corriente en el condensador se determina directamente mediante:

Donde V₀ es el valor inicial del condensador.

Ejemplos:

Siguiente:

• Respuesta natural de un circuito RC – Definición y ejemplos
• Respuesta natural de un circuito RL – Definición y ejemplos
• Respuesta al escalón unitario de un circuito RL – Definición y ejemplos
• Circuitos y sistemas de segundo orden
• Circuito RLC en serie – análisis y ejemplos – circuito de segundo orden
• La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL
• Ejemplo de Función de Transferencia de un circuito LC
• Modelo matemático y función de transferencia de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab
• El capacitor – Un circuito abierto para CD
• El Capacitor – Preliminares
• Circuitos con condensadores en serie o en paralelo – Equivalencia, ejemplos
• Circuitos con inductores en serie o en paralelo – Equivalencias, ejemplos
• Problemas con condensadores en serie y en paralelo
• Problemas con inductores en serie y en paralelo
• Inductancia Mutua – Definición
• Problemas de circuitos con inductores

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Para empezar el análisis de la respueta al escalón del circuito RL se considera el circuito de primer orden siguiente:

Vamos a expresar la tensión en la bobina después de cerrarse el interruptor en términos de la corriente. Usamos el análisis de circuitos para obtener la ecuación diferencial que describe al circuito en términos de la variable de interés y luego se usa el cálculo elemental para resolver la ecuación. Después de cerrarse el interruptor, para t≥0  la LVK impone:

Resolver esta ecuación arroja el siguiente resultado:

Cuando la energía inicial de la bobina es cero,  I_o=0, la ecuación anterior queda reducida a:

Esta ecuación indica que después de que el interruptor se ha cerrado, la corriente aumenta desde 0 hasta un valor final de V_s/R. Es decir, al principio el inductor actúa como un circuito abierto, y luego se estabiliza como un corto circuito. 

Constante de tiempo

La expresión para i_(t) incluye un término de la forma exp(-Rt/L). El recíproco de este cociente es la constante de tiempo del circuito:

En términos de la contante de tiempo:

La constante de tiempo del circuito determina la velocidad de crecimiento. Una constante de tiempo después de que se ha cerrado el interruptor, la corriente habrá alcanzado aproximadamente el 63% de su valor final:

La siguiente gráfica refleja este comportamiento:

Con la expresión para i_(t) podemos hallar la tensión en la bobina:

Podemos notar que la tensión en la bobina es cero antes de que se cierre el interruptor. Luego, al cerrar el interruptor, se ubica abruptamente en el valor de V_s – I₍₀₎R. Esto indica que la bobina se opone a un cambio instantáneo en la corriente, y la mantiene en un valor de I₍₀₎ justo después de cerrar el interruptor. Luego decae exponencialmente hasta cero. Cuando la corriente inicial I₍₀₎ =0, la ecuación para v_(t) se simplifica a:

Si la corriente inicial es 0, la tensión en la bobina es V_s. También se espera que la tensión de la bobina se acerque a 0 cuando t aumenta, debido a que la corriente en el circuito se está aproximando al valor constante V_s/R. En la figura siguiente se representa la tensión y la relación entre la constante de tiempo y la tasa inicial a la cual está disminuyendo la tensión en la bobina.

Ejemplo:

• Respuesta natural de un circuito RL – Definición y ejemplos
• Circuitos y sistemas de segundo orden
• Circuito RLC en serie – análisis y ejemplos – circuito de segundo orden
• La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL
• Ejemplo de Función de Transferencia de un circuito LC
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• Circuitos con condensadores en serie o en paralelo – Equivalencia, ejemplos
• Circuitos con inductores en serie o en paralelo – Equivalencias, ejemplos
• Problemas con condensadores en serie y en paralelo
• Problemas con inductores en serie y en paralelo
• Inductancia Mutua – Definición
• Problemas de circuitos con inductores
• Análisis de respuesta transitoria – Problemas resueltos – Catálogo 9

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La respuesta natural de un circuito RL se puede describir a través del siguiente ejemplo:

Suponemos que la fuente de corriente independiente genera una corriente constante I_s, y que el interruptor ha estado cerrado durante largo tiempo (todas las corrientes y tensiones han alcanzado un valor constante). Sólo las corrientes constantes o cd pueden existir en el circuito antes de que se abra el interruptor y, por tanto, la bobina se presenta como un corto circuito (Ldi/dt =0) antes de liberar la energía almacenada.

Antes de abrir el interruptor:

Debido a que la bobina está en corto circuito, la tensión en la rama inductiva es cero y no hay corriente en R₀ ni en R. Por tanto, toda la corriente I_s de la fuente aparece en la rama inductiva.

El cálculo de la respuesta natural requiere encontrar la tensión y la corriente en los terminales de la resistencia después de que se haya abierto el interruptor, esto es, después de desconectarse la fuente y cuando la bobina empieza a liberar energía. Si se deja que t=0 sea el instante en que el interruptor se abre, el problema consistirá en encontrar v_(t) e i_(t)  para t=0.

Para t≥0 el circuito queda reducido a:

Para determinar i_(t), aplicamos la ley de las voltajes de Kirchhoff. La suma de las tensiones alrededor del lazo cerrado produce:

Donde se usa la convención pasiva de signos. La ecuación anterior se conoce como ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que contiene términos que implican la derivada ordinaria de una incógnita, esto es, di/dt. El orden más alto de la ecuación es 1, de ahí el término primer orden.

Resolver esta ecuación arroja el siguiente resultado:

Donde I_o se puede calcular de despejar:

La siguiente gráfica muestra el comportamiento de i_(t):

Constante de tiempo

La expresión para i_(t) incluye un término de la forma exp(-Rt/L). El recíproco de este cociente es la constante de tiempo del circuito:

Mediante la constante de tiempo, podemos determinar importantes parámetros del circuito, como los siguientes:

Resumen del cálculo de la respuesta natural RL.

El cálculo de la respuesta natural de un circuito RL se puede resumir así:

• Se determina la corriente inicial I_o a través de la bobina.
• Se encuentra la constante de tiempo del circuito.
• Se utiliza la ecuación de i_(t) para generar i_(t) a partir de I_o y t.
• El resto de corrientes y tensiones en el circuito se pueden obtener a partir de i_(t).

Ejemplo:

Respuesta forzada

Para empezar el análisis de la respuesta al escalón se considera el siguiente circuito de primer orden:

Vamos a expresar la tensión en la bobina después de cerrarse el interruptor en términos de la corriente. Usamos el análisis de circuitos para obtener la ecuación diferencial que describe al circuito en términos de la variable de interés y luego se usa el cálculo elemental para resolver la ecuación. Después de cerrarse el interruptor, la LTK impone:

Resolviendo obtenemos:

En términos de la constante de tiempo:

La corriente queda expresada como

En cuanto a V_(t):

Ejemplo:

Siguiente:

• Respuesta al escalón unitario de un circuito RL – Definición y ejemplos
• Circuitos y sistemas de segundo orden
• Circuito RLC en serie – análisis y ejemplos – circuito de segundo orden
• La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL
• Ejemplo de Función de Transferencia de un circuito LC
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• El Capacitor – Preliminares
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• Circuitos con inductores en serie o en paralelo – Equivalencias, ejemplos
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• Problemas con inductores en serie y en paralelo
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La solución de cada ejercicio tiene un costo de 12.5 euros…cada uno. 

Problema 1 de circuito de primer orden RL. Considere el circuito de la Figura 1: 

Se pide determinar lo siguiente:

1. Si L=10 mH, determine la expresión para i_L(t).
2. Suponga que la fuente dependiente se cambia por una que tenga una tensión βi_(t). ¿Es posible obtener una constante de tiempo de 1 ms variando β? Si es así, encuentre el valor de β. En cualquier caso, justifique su respuesta matemáticamente.
3. ¿Se puede conseguir que la respuesta esté no acotada variando β? ¿Para qué valores de β se va a obtener que la respuesta no esté a acotada? En cualquier caso, justifique su respuesta.

Respuesta:

Problema 1. Para adquirir esta solución se facilita pago a través de Paypal o con TC. 12.5 euros.

 

 

 

Problema 2 de circuito de primer orden RL. Considere el circuito de la Figura 2:

Figura 2

Se pide determinar lo siguiente:

1. En el circuito de la figura 2, el interruptor 1 lleva abierto mucho tiempo, mientras que el interruptor 2 permanece cerrado. En t=0 se cierra el interruptor 1 mientras que T milisegundos después se abre el interruptor 2. ¿Qué valor de inductancia L debe tener la bobina para que la constante de tiempo del circuito sea de 10 ms si 0≤t≤T?¿Es un valor de indcutancia factible en la práctica?
2. Suponga ahora que el interruptor 2 se abre cuando han transcurrido T=20 ms. Determine el valor de la corriente i_(t) cuando han transcurrido 10 ms después de que se haya abierto el interruptor 2.
3. ¿Cuál es el valor máximo de la energía almacenada en la bobina?

Respuesta:

Problema 2. Para adquirir esta solución se facilita pago a través de Paypal o con TC. 12.5 euros.

Problema 3 de circuito de primer orden RL. Considere el circuito de la Figura 3: 

Figura 3

Se pide determinar lo siguiente:

1. Calcule el valor C para que la constante de tiempo sea de 100 μs en el intervalo 0≤t≤T  ¿Es un valor de capacidad factible en la práctica? Obtenga la expresión para v_(t) en ese intervalo.
2. Determine la energía entregada a la resistencia R₂ en el intervalo en el intervalo 100 μs≤t≤200 μs.
3. Determine la energía total entregada a la resistencia R₃.

Respuesta:

Problema 3. Para adquirir esta solución se facilita pago a través de Paypal o con TC. 12.5 euros

Problema 4 de circuito de primer orden RL. Considere el circuito de la Figura 4: 

Se pide determinar lo siguiente:

1. En el circuito de la figura 4 se supone que el condensador no tiene energía almacenada para t≤0. Ajuste el valor de C para obtener una constante de tiempo de 100 μs.
2. Obtenga la respuesta al impulso h_(t) para v_out(t) a partir de la respuesta al escalón. Utilice métodos abreviados.
3. Suponga que la tensión de entrada v_int(t) tiene la forma:

Determinar la salida v_out(t).

Respuesta:

Problema 4. Para adquirir esta solución se facilita pago a través de Paypal o con TC. 12.5 euros

Fuente:

1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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