Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Método gráfico de convolución – tiempo continuo

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución.

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El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

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Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de τ. La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

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Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

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Paso 4. En la gráfica anterior, v(t-τse desplaza hacia la derecha y se solapa con el pulso rectangular de x(τ) que va desde τ=0 a τ=1. Los límites de integración son desde τ=0 hasta τ=t. Al llegar la gráfica de v(t-τ) hasta 1 (t=1), dicha gráfica se encuentra con el pulso rectangular de x(τ) que va desde τ=1 a τ=2. En ese instante, v(t-τ) se encuentra entre dos regiones, por ello es necesario desarrollar dos integrales, como veremos más adelante. Por último, la parte inferior de v(t-τ) (t-1) supera el valor de 1, y solo hay solapamiento a partir de allí, y  los límites de integración son desde τ=t-1 hasta τ=2.

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Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

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La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

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Método de convolución con Matlab

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
  2. b) ¿Y para que el valor máximo esté en t=6? Dibuje el resultado en este nuevo caso.

Para ver solución visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

SIGUIENTE: Convolución de señales discretas en Matlab

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

Puedes consultar también:

Revisión literaria hecha por:

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10 comentarios en “Método gráfico de convolución – tiempo continuo”

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