Método gráfico de convolución – tiempo continuo

Para calcular la convolución entre x_(t) y v_(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución.

El principal procedimiento es graficar x_(τ) y v_(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x_(τ)v_(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x_(t) o v_(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v_(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x_(τ) y v_(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

Paso 1. Graficar  x_(τ) y v_(-τ) como funciones de τ. La función v_(-τ) es igual a v_(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

Paso 2. Graficar v_(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v_(t-τ) es igual que v_(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x_(τ)v_(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x_(τ)v_(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

Paso 4. En la gráfica anterior, v_(t-τ)  se desplaza hacia la derecha y se solapa con el pulso rectangular de x_(τ) que va desde τ=0 a τ=1. Los límites de integración son desde τ=0 hasta τ=t. Al llegar la gráfica de v_(t-τ) hasta 1 (t=1), dicha gráfica se encuentra con el pulso rectangular de x_(τ) que va desde τ=1 a τ=2. En ese instante, v_(t-τ) se encuentra entre dos regiones, por ello es necesario desarrollar dos integrales, como veremos más adelante. Por último, la parte inferior de v_(t-τ) (t-1) supera el valor de 1, y solo hay solapamiento a partir de allí, y  los límites de integración son desde τ=t-1 hasta τ=2.

Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x_(t)*v_(t):

Método de convolución con Matlab

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
2. b) ¿Y para que el valor máximo esté en t=6? Dibuje el resultado en este nuevo caso.

Para ver solución visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

SIGUIENTE: Convolución de señales discretas en Matlab

Fuentes:

1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
2. Oppenheim – Señales y Sistemas
3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
4. Amplificador Operacional
5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
6. DINAMICA CIRCUITOS
7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
10. Control Systems Engineering, Nise

Puedes consultar también:

• Convolución – Problemas resueltos – Catálogo 11
• Sumatoria de Convolución
• Ecuaciones diferenciales en tiempo discreto
• Convolución de señales discretas en Matlab
• Convolución en el tiempo continuo – Ejemplos
• Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab
• Método gráfico de convolución de señales continuas
• Autofunciones de sistemas LTI analógicos

• Señales elementales en el tiempo continuo – Ejemplos y Simulación en Matlab
• Señales de tiempo continuo – Definición
• Señales de tiempo discreto – muestreo en matlab
• Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución

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