Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:
Para la convolución:
Cualquier entrada x(t) se puede representar como:
A partir de la ecuación (2) podemos pensar intuitivamente en cualquier señal x(t) como una “suma” de impulsos ponderados desplazados, donde el peso en el impulso δ(t-τ) es x(τ)dτ. Con esta interpretación, la ecuación (1) representa la superposición de las respuestas a cada una de estas entradas, y por linealidad, el peso en la respuesta hτ(t) al impulso desplazado también es x(τ)dτ. Definimos hτ(t)=h(t) como la respuesta al impulso unitario .En este caso, la ecuación (1) se vuelve:
La ecuación (3) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) en términos de su respuesta al impulso unitario. La convolución de las señales x(t) y h(t) se representa simbólicamente mediante:
Un sistema LTI está absolutamente caracterizado por su respuesta al impulso unitario .
Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:
La operación de convolución es conmutativa, por lo que:
Si las dos señales x(t) y v(t) son cero para toda t<0:
Sea h(t) la respuesta al impulso de un sistema LTI cuya salida es y(t). Si es la entrada a dicho sistema, y x(t)=0 para t<0, entonces la salida y(t) la viene dada por:
Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LTI, y(t) = h(t).
Método gráfico de la convolución.
Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución. El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.
Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre x(τ) y v(t-τ) se modifica.
Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:
Paso 1. Graficar x(τ) y v(-τ) como funciones de . La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:
Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.
Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).
Paso 4. Suponga que t=a. Continuar desplazando hacia la derecha, hasta pasar t=a. Determinar el intervalo de tiempo para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tiene la misma forma analítica. Integrar el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ, con los límites de integración τ=a hasta τ=t. El resultado es la expresión para x(t)*v(t) entre a≤t<b.
Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:
Paso 5. Desplazar v(t-τ) hacia la derecha hasta pasar t=b. Determinar el siguiente intervalo de tiempo b≤t<c, para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tenga la misma forma analítica. Integre el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ.
Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:
La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):
Método de convolución gráfica y con Matlab.
La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).
- a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab
Fuentes:
- Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
- Oppenheim – Señales y Sistemas
- Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
- Amplificador Operacional
- CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
- DINAMICA CIRCUITOS
- INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
- RESPUESTA EN FRECUENCIA
- TRANSFORMACION DE LAPLACE
- Control Systems Engineering, Nise
- Convolución LTI
Puedes consultar también:
- Convolución – Problemas resueltos – Catálogo 11
- Sumatoria de Convolución
- Ecuaciones diferenciales en tiempo discreto
- Convolución de señales discretas en Matlab
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- La Función de Transferencia
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