Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Convolución en el tiempo continuo – ejemplos.

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

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Para la convolución:

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Cualquier entrada x(t) se puede representar como:

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A partir de la ecuación (2) podemos pensar intuitivamente en cualquier señal x(t) como una “suma” de impulsos ponderados desplazados, donde el peso en el impulso δ(t-τ) es x(τ). Con esta interpretación, la ecuación (1) representa la superposición de las respuestas a cada una de estas entradas, y por linealidad, el peso en la respuesta hτ(t) al impulso desplazado también es x(τ). Definimos hτ(t)=h(t)  como la respuesta al impulso unitario .En este caso, la ecuación (1) se vuelve:

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La ecuación (3) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) en términos de su respuesta al impulso unitario. La convolución de las señales x(t) y h(t) se representa simbólicamente mediante:

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Un sistema LTI está absolutamente caracterizado por su respuesta al impulso unitario .

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

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La operación de convolución es conmutativa, por lo que:

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Si las dos señales x(t) y v(t) son cero para toda t<0:

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Sea h(t)  la respuesta al impulso de un sistema LTI cuya salida es y(t).  Si es la entrada a dicho sistema, y x(t)=0 para t<0, entonces la salida y(t) la viene dada por:

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Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LTI, y(t) = h(t).

Método gráfico de la convolución.

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución. El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

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Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de . La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

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Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

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Paso 4. Suponga que t=a. Continuar desplazando  hacia la derecha, hasta pasar t=a. Determinar el intervalo de tiempo  para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tiene la misma forma analítica. Integrar el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ, con los límites de integración τ=a hasta τ=t. El resultado es la expresión para x(t)*v(t)  entre a≤t<b.

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Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

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Paso 5. Desplazar v(t-τ) hacia la derecha hasta pasar t=b. Determinar el siguiente intervalo de tiempo b≤t<c, para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tenga la misma forma analítica. Integre el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ.

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Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

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La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

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Método de convolución gráfica y con Matlab.

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

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Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

Puedes consultar también:

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