Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Máxima transferencia de potencia – Análisis de circuitos eléctricos

Vamos a ver la transferencia de potencia en términos de dos tipos básicos de sistemas. El
primero se basa en la eficiencia de la transferencia de potencia. Los sistemas de las compañías eléctricas son un buen ejemplo de este tipo, porque están relacionadas con la generación, transmisión y distribución de grandes cantidades de potencia eléctrica. Por tanto, si el sistema es poco eficiente, gran parte de la potencia generada se pierde en los procesos de transmisión y distribución.

El segundo se basa en la cantidad de potencia transferida. Los sistemas de comunicación e instrumentación son ejemplos en la transmisión de información o datos, a través de señales eléctricas, la potencia disponible para el transmisor o detector es limitada; con lo cual, es preferible transmitir tanta potencia como sea posible al receptor o carga.

Para analizar el tema de la máxima transferencia de potencia recomiendo leer las dos guías siguientes:

  1. Redes -Tema 3
  2. Redes E – Problemas – The y Nort

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Divisor de tensión y división de corriente

A partir de un sólo suministro de tensión, se pueden surtir varios puntos con diferentes niveles de tensión. La fórmula “divisor de tensión” permite calcular rápidamente el voltaje en cualquiera de esos puntos donde la única fuente tenga influencia.

Igualmente, cuando dos resistencias están conectadas en paralelo a una fuente de corriente, se pude calcular rápidamente la corriente en cada rama mediante la fórmula de “divisor de corriente“.

Conexiones en serie y en paralelo, circuito equivalente.

Dos elementos están conectados en serie cuando comparten un nudo en común al que no hay conectado ningún otro elemento. En consecuencia, por dos elementos conectados en serie pasa la misma corriente.

Gráficamente:

null

Dos elementos están conectados en paralelo cuando están conectados entre el mismo par de nudos. En consecuencia, por dos elementos conectados en paralelo tienen la misma tensión entre sus terminales.

Gráficamente:

null

Dos circuitos son equivalentes cuando tienen las mismas características i-v para un par de terminales determinados.

Gráficamente:

null

null

null

Divisor de Tensión.

En un divisor de tensión, la tensión de la fuente se divide entre sus resistencias de forma proporcional a la resistencia de cada una:

null

Ejemplo:

null

Solución:

null

Divisor de Corriente.

En un divisor de corriente la corriente total se divide entre sus resistencias de forma inversamente proporcional a la resistencia de cada una:

null

Ejemplo:

null

Solución:

null

null

 

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Ingeniería Eléctrica, Sistemas trifásicos

Potencia de un sistema trifásico balanceado

Para analizar el consumo de Potencia en un sistema trifásico balanceado, es conveniente iniciar por la potencia absorbida por la carga. En el caso de una carga conectada en Y (estrella) como en la Figura 1:

null

Figura 1: Conexión Y-Y balanceada.

Las tensiones de fase de la carga (que en el caso de la Figura 1 son las mismas que las tensiones de fase del generador) son:

null

Donde el factor null es necesario porque Vp se ha definido como el voltaje RMS de la tensión de fase. Suponga que la impedancia Zyen notación fasorial” es:

null

Si la impedancia Zy es inductiva, las corrientes de fase se atrasan respecto a las tensiones de fase respectivas en Θ. Así:

null

La potencia instantánea total P en la carga es la suma de las potencias instantáneas en las tres fases; es decir:

null

Donde Vp y Ip son magnitudes. De este modo, la potencia instantánea total en un sistema trifásico balanceado es constante; no cambia con el tiempo, como sí lo hace la potencia instantánea de cada fase. Esto es así independientemente de que la carga esté conectada en Y o en Δ. Esta es una poderosa justificación para utilizar un sistema trifásico para generar y distribuir potencia eléctrica.

La potencia promedio por fase Pp entonces es P/3:

null

La potencia reactiva por fase Qp es:

null

La potencia aparente Sp por fase es:

null

Se coloca el módulo de Sp para resaltar una vez más que la potencia aparente es el módulo de la potencia compleja por fase Sp la cual es:

null

Dónde:

null

La potencia promedio total es la suma de las potencias promedio en las fases:

null

En una carga conectada en Y, IL=Ip, pero null, mientras que en una carga conectada en Δ, null mientras que VL=Vp. Así, la ecuación (1) se aplica tanto a cargas conectadas en Y como conectadas en Δ. De igual forma, la potencia reactiva total es:

null

Y la potencia compleja total es:

null

Dónde:

null

es la impedancia de carga por fase (podría llamarse también Zy como en la Figura 1). De la ecuación (2) se obtiene que:

null

Ejemplo 1:

Considere el circuito trifásico de la Figura 2:

null

Figura 2. Circuito para el ejemplo 1.

Es suficiente considerar una fase ya que el sistema está balanceado. Entonces:

null

Demostración (suponiendo secuencia abc):

null

null

Así, en la fuente, la potencia absorbida es:

null

Entonces, la potencia real promedio absorbida (entregada por la fuente) es de -2087 W y la potencia reactiva de -834.6 VAR.

En la carga la potencia compleja absorbida es:

null

Entonces, la potencia real promedio absorbida por la carga es de  1392 W y la potencia reactiva absorbida es de 1113 VAR.

En la línea la potencia compleja absorbida es:

null

Se puede demostrar fácilmente que:

null

Ejemplo 2:

Dos cargas balanceadas se conectan a una línea de 240 kV rms a 60 Hz, como se muestra en la Figura 3.

null

La carga 1 toma 30 kW, con un factor de potencia fp atrasado de 0.6, mientras que la carga 2 toma 45 kVAR con un factor de potencia atrasado de 0.8. Suponiendo la secuencia abc, determinar las potencias compleja, real y reactiva absorbidas por las cargas combinadas; b) las corrientes de línea y c) la capacidad nominal en kVAR de los tres capacitores conectados en paralelo con la carga que elevarán el factor de potencia a atrasado de 0.9 y la capacitancia de cada capacitor.

Solución:

a. En cuanto a la carga 1, dado que:

nullPor lo tanto:nullLuego:

null

null

De esta manera, la potencia compleja (en negritas, lo que indica que es un vector) debida a la carga 1 es:null

En cuanto a la carga 2:

nullLuego:

nullPor lo tanto:

null

De esta manera, la potencia compleja debida a la carga 2 es:

null

La potencia compleja total absorbida por la carga es:

null

La cual indica que la carga tiene un factor de potencia:

null

b. Puesto que:

null

Se aplica esto a cada carga:

null

Dado que en la carga 1 el factor de potencia está en atraso, la corriente está en atraso con respecto al voltaje. Por tanto:

null

Carga 2:

null

Dado que en la carga 2 el factor de potencia está en atraso, la corriente está en atraso con respecto al voltaje. Por tanto:

null

Tomando en cuenta que el sistema está equilibrado y que, por tanto, las corrientes tienen entre sí los mismos desfases que los voltajes de fase de la fuente o de la carga, las corrientes de línea total son:

null

c. La potencia reactiva necesaria para aumentar el factor de potencia a 0.9 atrasado puede determinarse en la ecuación siguiente:

nullDónde:

null

Por tanto:

null

Esta potencia reactiva es para el banco de capacitores en su totalidad. Para cada capacitor toca:

null

La capacitancia requerida es:

null

Ver también: Problema de examen de circuito trifásico

Fuente:

  1. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta (Capt. 12)
  2. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  3. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Sistemas trifásicos

Circuitos trifásicos Y-Y. Conexión estrella-estrella balanceada.

Un sistema Y-Y balanceado también conocido como Conexión Estrella-Estrella balanceada, es un sistema trifásico con fuente balanceada conectada en Y y carga balanceada conectada en Y.

Para comprender el funcionamiento del sistema trifásico Y-Y, conviene antes echar un vistazo al artículo anterior, funcionamiento de un generador trifásico en: Generador de tensiones trifásicas

Con el fin de disminuir la cantidad de conductores que unen el generador con la carga de la Figura 5:

null

Se utiliza un único conductor de retorno en lugar de tres. El resultado se muestra en la Figura 3.7:

null

El sistema de la Figura 3.7 constituye una red trifásica estrella-estrella (Y-Y) de cuatro conductores. Los tres conductores externos se denominan conductores de fase, mientras que el conductor de retorno se llama conductor neutro. Por convención internacional los conductores A, B y C de fase son llamados R, S y T respectivamente. El neutro se designa con la letra N.

Las tensiones medidas entre cada conductor de fase y el neutro se denominan tensiones de fase URN, USN y UTN. Cada una de estas tensiones tiene el mismo módulo UF pero están desfasadas entre sí 120°. Es decir, dependiendo de aquella fase que asignemos como referencia, las demás tensiones estarán desfasadas de la referencia en 120°. Si tomamos a R como la referencia, y una secuencia de fase positiva, entonces podemos expresar cada tensión de fase como un fasor mediante:

null

Por lo general el punto neutro del generador se toma como potencial de referencia por lo que se supone conectado a tierra, por lo que:

null

Las tensiones de líneas son aquellas medidas entre dos conductores de fase. Se denominan URS, UST y UTR. Para determinar la expresión para las tensiones de línea, utilizamos el diagrama fasorial de las tensiones de fase previamente definidas, Figura 8:

null

En el diagrama fasorial de la Figura 8 podemos ver que:

null

El módulo de cada tensión de línea es null. De acuerdo con la Figura 8, la expresión fasorial para cada tensión de línea es:

null

Podemos notar en las ecuaciones anteriores que el conjunto de las tensiones de línea pueden considerarse como otro sistema trifásico métrico que, simplemente, está adelantado 30° con respecto al sistema conformado por las tensiones de fase. En España, las tensiones simples están normalizadas en 230V, por lo que las tensiones de línea tienen un módulo de 400V.

Si la carga está equilibrada, la corriente de retorno es cero. Es decir, si:

null

Entonces:null

En este caso no es necesario el conductor de retorno, es superfluo. Suprimiendo el conductor neutro, se obtiene un sistema estrella-estrella a tres hilos, Figura 10:

null

Dado que la corriente de retorno es cero, se deduce que las tensiones en los puntos N y N’ son iguales, aunque estén físicamente separados:

null

Este resultado es fundamental a la hora de analizar circuitos trifásicos, ya que va a facilitar enormemente la cantidad de cálculos necesarios para describir completamente el sistema, utilizando una sola fase y su correspondiente circuito equivalente monofásico (Figura 3.15): 

null

En la Figura 11 se representa el esquema de la instalación eléctrica de una pequeña industria. A través de los transformadores de la zona, la empresa suministradora aporta la fuente generadora. Inmediatamente después de la entrada del cable de 4 hilos al edificio se colocan unos fusibles en todas las fases de la red para protegerla contra los cortocircuitos. Entre las diferentes fases y el hilo neutro se distribuyen las cargas de alumbrado del tipo monofásico. Se debe procurar distribuir estas cargas en las diferentes fases, para alcanzar un sistema equilibrado. Los motores trifásicos se conectan a las tres fases y constituyen por sí mismos, cargas equilibradas ya que solicitan un módulo de corriente idéntico para las tres fases:

null

Se puede observar que las tensiones de línea se adelantan a las tensiones de fase correspondientes en 30°, como se puede observar en la Figura 3:

null

Figura 3

Ejemplo 1:
  1. En la red trifásica a tres hilos de la Figura siguiente, la tensión de línea del generador (o del principio de la línea) es de 380 V. Por simplicidad, por lo general, no se dibujan los generadores de tensión de la red de alimentación). La carga está equilibrada y tiene una impedancia ZL por fase de:

null

Los tres conductores de la línea tienen una impedancia Zl de:

null

La secuencia o sucesión de fases es positiva o directa (RST). Se pide Calcular a) el módulo de la corriente de línea, el módulo de la tensión de fase de la carga y b) el módulo de la tensión de línea de la carga, para el circuito de la Figura siguiente:

null

Respuesta:

Módulo de corriente de línea:

  • Al estar la carga equilibrada, podemos suponer que los voltajes en los puntos N y N’ son equivalentes, y utilizar el circuito equivalente monofásico para cualquiera de las tres tensiones. Si seleccionamos la fase R como la referencia, el análisis arrancaría de la siguiente manera:

null

Figura 8

  • En vista de que sabemos el módulo del voltaje de línea del generador, y sabiendo que cada tensión de línea es null, por pura conveniencia fijamos el voltaje de fase del generador como la referencia:

null

  • Aplicando Kirchhoff a la malla de la Figura 8, obtenemos que el módulo de la corriente de línea IR es:

null

nullAsí que:

null

Por lo tanto:

null

Módulo de tensión de fase de la carga:

  1. Aplicando Kirchhoff a la malla de la Figura 8, obtenemos que el módulo de la tensión de fase UR’N’ de la carga es:

null

Módulo de tensión de línea de la carga:

  • En vista de que la tensión de línea esnull:

null

Ejemplo 2:
  1. Calcule las corrientes de línea del sistema Y-Y de tres hilos de la Figura 5:

null

Figura 5

Como el circuito trifásico de la Figura 5 está balanceado, se puede sustituir por un circuito monofásico equivalente como el de la Figura 4. Entonces obtenemos:

null

Ver también: Problema de examen de circuito trifásico

Fuente:

  1. Jesús Fraile, Circuitos Eléctricos, páginas 280-291.
  1. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta (Capt. 12)
  2. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  3. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Análisis de sistemas de control

Introducción a la Automatización Industrial – guía pdf.

La Automatización: es la ciencia que trata de sustituir en un proceso el operador humano por dispositivos mecánicos o electrónicos. Implica la utilización de técnicas y equipos para que un sistema funcione de forma automática.

La siguiente es una guía introductoria para dar un vistazo al contenido de esta ciencia:

Fuente:

Prof. Juan Antonio García – Universidad de Málaga

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Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. 

Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema.. le entrego la respuesta en digital..opcional simulación en Matlab.

Relacionado:

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Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Salida de un sistema de control en Estado Estable

El valor de la salida de un sistema en estado estable se puede determinar utilizando El teorema del valor final, cuando se cuenta con la función de transferencia del sistema, utilizando además una señal de entrada escalón unitario como señal de prueba.

El teorema del valor final se plantea del modo siguiente. Si f(t) y df(t)/dt  se pueden transformar por el método de Laplace; si F(s) es la transformada de Laplace de f(t); y si existe el límite de f(t) cuando el tiempo tiende a infinito, entonces:

null

Ejemplo:

Sea G(s) la función de transferencia de un sistema cualquiera cuya entrada es la señal x(t) y la salida es la señal y(t):

null

¿Cuál es el valor en estado estable y(∞) de la señal de salida y(t) para una entrada x(t) que es la función escalón unitario?

Respuesta:

Si la señal de entrada x(t) del sistema es un escalón unitario, entonces su transformada de Laplace X(s)  es:null

Despejamos la transformada de Laplace de la señal de salida, es decir, Y(s), de la ecuación (1) y sustituimos en ella la ecuación (2):

null

Aplicamos entonces el teorema del valor final para hallar y(∞) a la ecuación (3):

null

Por tanto, cuando ha pasado mucho tiempo y el sistema cuya función de transferencia es G(s) se estabiliza, la salida del sistema es igual a 1. Podemos corroborar este resultado mediante la siguiente simulación en Matlab:

>> G=tf([1],[1 1]);
>> step(G)

null

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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 Estabilidad de un sistema de control
Matemática aplicada - Appd Math, Transformada Z

La Transformada Z – Análisis de sistemas discretos.

La Transformada Z (TZ) es una herramienta que proporciona un método para caracterizar las señales y los sistemas de tiempo discreto por medio de polos y ceros en el dominio Z transformado.

X(z), La Transformada Z, es el equivalente de la Transformada de Laplace para tiempo discreto. Puesto que z es una variable compleja, el dominio Z es un plano complejo.

La transformada Z directa X(z) de una señal x[n] se define como la serie de potencias:

null

Dónde z es el número complejo:

null

La ecuación (1) mapea la señal definida en el dominio del tiempo discreto, a la función definida en el dominio Z, lo que se denota como:

null

La notación para la relación entre ambos dominios es:

null

Como la ecuación (1) es la suma de una serie geométrica, solo existe para aquellos valores del plano complejo para los que la suma no diverge. Esto nos lleva al concepto de región de convergencia (ROC – Region of Convergence).

La ROC de una transformada X(z) es el conjunto de todos los valores de la variable compleja z para los que X(z) es finita:

null

El par transformado no es único hasta que no se añade la información relativa a la ROC. Por ello, las tablas de pares z-transformados incluyen una tercera columna con su información de la ROC.

Ejemplos

Muchos ejercicios consisten en organizar la ecuación para buscar la coincidencia, la equivalencia, entre la ecuación del ejercicio en particular y algunos pares transformados  de uso generalizado que se muestran posteriormente en tablas, al igual que sucede en el caso de la transformada de Laplace. En particular, son muy utilizados los siguientes pares:

  1. Considere la señal x[n]:

null

A partir de la ecuación:

null

Podemos señalar que la transformada Z de x[n] es:

null

Para la convergencia de X(Z) se requiere que:

null

En consecuencia, la región de convergencia es el rango de valores de z para el cual:

null

Que es lo mismo que escribir:

null

Entonces, añadiendo la información relativa a la ROC, la transformada Z de x[n] es:

null

Entonces hablamos del siguiente par transformado:

null

Esta ecuación, al igual que la Transformada de Laplace, se puede caracterizar por sus ceros y polos. En este caso, z=0 es un cero, z=a es un polo. Observar además que si a=1, obtenemos la Transformada Z del escalón unitario. Es decir:

null

Es lo mismo que escribir:

null

Como decíamos antes, estos resultados pueden estar entre los primeros en nuestra tabla de resolución de problemas, porque son muy utilizados a la hora de determinar la Transformada Z de numerosas señales. Veamos el caso siguiente:

2. La transformada Z de una señal en el dominio de tiempo discreto es:

null

La señal correspondiente es:

null

Respuesta:

Usaremos las propiedades de linealidad y de desplazamiento en el tiempo (ver tabla más adelante):

null

Si aplicamos estas propiedades a la opción c, veremos que su transformada Z es:

null

Pero sabemos que:

null

Por lo tanto:

null

El resultado en consecuencia,  la opción c.

Propiedades de la Transformada Z

null

null

Tablas de Pares Transformados

A continuación los pares transformados para las señales discretas más importantes en el área del procesamiento de señales:

null

null

null

Ejemplos:

null

Propiedades de la ROC.
  • La Transformada X(z) junto con la ROC definen de forma inequívoca la secuencia x[n], es decir, sin la información de la ROC, existe indeterminación en el cálculo de la antitransformada.
  • La ROC de cualquier secuencia tiene simetría circular en torno al origen sobre el plano Z, porque la convergencia sólo depende de .
  • La ROC no puede contener polos porque, por definición, la evaluación de X(z) sobre un polo produce divergencia.
  • La ROC de secuencias de duración finita (sin polos) es todo el plano complejo, con algunas excepciones.
  • La ROC de una secuencia (estrictamente) anticausal (con valores nulos en semieje n-positivo) es el interior de una circunferencia.
  • La ROC de una secuencia (estrictamente) causal (con valores nulos en semieje n-negativo) es el exterior de una circunferencia.
  • La ROC de una secuencia bilateral (combinación de causal o estrictamente no causal) puede ser:
    • Una corona circular (si radio parte causal menor que radio parte anticausal)
    • No existir (si radio parte causal mayor que radio parte anticausal y no hay intersección)
Ejemplos

null

null

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Procesamiento de señales
  5. 1. Z_TRANSFORMADA_20_tt
  6. Senales y Sistemas – Shaum

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Circuitos trifásicos – Análisis de circuitos eléctricos

A diferencia de un sistema monofásico, los sistemas trifásicos se producen con un generador que consta de tres fuentes con la misma amplitud y frecuencia, pero desfasadas 120° entre sí. Para ponerlo en perspectiva, mostramos en la Figura 1 un sistema monofásico:

null

Figura 1

El sistema monofásico de la Figura 2 es más frecuente. Está instalado en nuestras casas y apartamentos. Se trata del servicio para proveer electricidad al hogar y que permite conectar aparatos electrodomésticos a un voltaje de 120V o 240V.

null

Figura 2

En la Figura 3, en contraste, se muestra un sistema trifásico de cuatro conductores:

null

Figura 3

Los sistemas trifásicos son muy importantes, y de uso muy extendido a nivel planetario, por las siguientes razones principales:

  1. Casi toda la potencia eléctrica se genera y distribuye en forma trifásica, a una frecuencia de utilización de 60 Hz (ω=377 rad/s) en América, o de 50 Hz (ω=314 rad/s ) en Europa. Cuando se requieren entradas monofásicas o bifásicas, se toman del sistema trifásico en vez de generarlas de manera independiente. Aun cuando se requieren más fases, ellas se obtienen manipulando el sistema trifásico.
  2. La potencia instantánea en un sistema trifásico puede ser constante (no se vuelve negativa y positiva como la misma corriente que tiene forma sinusoidal). Esto permite una transmisión uniforme de potencia y menos vibración de las máquinas trifásicas.
  3. Considerando la cantidad de potencia transmitida, el sistema trifásico es más económico (eficiente) que el sistema monofásico. Esto se manifiesta en la cantidad de alambre (conductor) requerido para conducir la corriente por uno u otro sistema.
  4. Los equipos y motores trifásicos poseen características preferidas de operación y arranque, en comparación con los equipos monofásicos. Encima, la mayoría de los grandes motores son trifásicos porque son esencialmente de autoarranque y no requieren de circuitos adicionales para esto.

En la Figura 4 se puede observar un generador trifásico:

null

Figura 4

Tensiones trifásicas balanceadas.

Para ver tema completo recomiendo Guía introductoria: Sisitemas trifásicos – Teoría de circuitos

Ejemplo de examen: tres pasos. 

Enunciado

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1er paso:

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2do paso:

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3er paso:

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SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Se hacen trabajos, se resuelven ejercicios!!

WhatsApp:  +34633129287  Atención Inmediata!!

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Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contacto: España. +34633129287

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Método gráfico de convolución – tiempo continuo

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución.

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El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

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Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de . La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

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Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

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Paso 4. Suponga que t=a. Continuar desplazando  hacia la derecha, hasta pasar t=a. Determinar el intervalo de tiempo  para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tiene la misma forma analítica. Integrar el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ, con los límites de integración τ=a hasta τ=t. El resultado es la expresión para x(t)*v(t)  entre a≤t<b.

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Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

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Paso 5. Desplazar v(t-τ) hacia la derecha hasta pasar t=b. Determinar el siguiente intervalo de tiempo b≤t<c, para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tenga la misma forma analítica. Integre el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ.

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Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

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La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

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Método de convolución con Matlab

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor
  2. b) ¿Y para que el valor máximo esté en t=6? Dibuje el resultado en este nuevo caso.

Para ver solución visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

Puedes consultar también:

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Convolución en el tiempo continuo – ejemplos.

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

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Para la convolución:

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Cualquier entrada x(t) se puede representar como:

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A partir de la ecuación (2) podemos pensar intuitivamente en cualquier señal x(t) como una “suma” de impulsos ponderados desplazados, donde el peso en el impulso δ(t-τ) es x(τ). Con esta interpretación, la ecuación (1) representa la superposición de las respuestas a cada una de estas entradas, y por linealidad, el peso en la respuesta hτ(t) al impulso desplazado también es x(τ). Definimos hτ(t)=h(t)  como la respuesta al impulso unitario .En este caso, la ecuación (1) se vuelve:

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La ecuación (3) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LTI (lineal e invariante en el tiempo) en términos de su respuesta al impulso unitario. La convolución de las señales x(t) y h(t) se representa simbólicamente mediante:

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Un sistema LTI está absolutamente caracterizado por su respuesta al impulso unitario .

Dadas dos señales continuas cualquiera x(t) y v(t), la convolución de x(t) y v(t) está definida por:

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La operación de convolución es conmutativa, por lo que:

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Si las dos señales x(t) y v(t) son cero para toda t<0:

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Sea h(t)  la respuesta al impulso de un sistema LTI cuya salida es y(t).  Si es la entrada a dicho sistema, y x(t)=0 para t<0, entonces la salida y(t) la viene dada por:

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Observe la redundancia de decir que, si x(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LTI, y(t) = h(t).

Método gráfico de la convolución.

Para calcular la convolución entre x(t) y v(t) mostrada en la ecuación (5), es de gran utilidad graficar las funciones de la integral de convolución. El principal procedimiento es graficar x(τ) y v(t-τ) como funciones de τ. Luego, determinar donde se traslapan y determinar la forma analítica de x(τ)v(t-τ), e integrar este producto.

Cuando x(t) o v(t) está parcialmente definida, la forma analítica del producto cambia, dependiendo del intervalo de tiempo t. Para determinar la forma apropiada del producto y de los límites de integración, debemos desplazar la gráfica de v(t-τ) de izquierda a derecha, para ver cómo el traslape entre  x(τ) y v(t-τ) se modifica.

Los pasos para desarrollar el método gráfico de la convolución son los siguientes. Simultáneamente, aplicamos el procedimiento al siguiente caso:

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Paso 1. Graficar  x(τ) y v(-τ) como funciones de . La función v(-τ) es igual a v(τ) reflejada sobre el eje vertical. Ambas gráficas aparecen en la siguiente figura:

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Paso 2. Graficar v(t-τ) para un valor cualquiera de t, tal como t<0. Observar que v(t-τ) es igual que v(τ) desplazada de tal forma que el origen de la gráfica se encuentra en τ=t.

Paso 3. De inmediato, se determina el producto x(τ)v(t-τ) y la forma de la curva que produce este producto en la gráfica debido al solapamiento. Esto se hace punto a punto respecto a τ. Se desplaza  hacia la derecha hasta que el producto x(τ)v(t-τ) sea cero o hasta que cambie la expresión analítica (la forma de la curva en la gráfica).

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Paso 4. Suponga que t=a. Continuar desplazando  hacia la derecha, hasta pasar t=a. Determinar el intervalo de tiempo  para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tiene la misma forma analítica. Integrar el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ, con los límites de integración τ=a hasta τ=t. El resultado es la expresión para x(t)*v(t)  entre a≤t<b.

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Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

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Paso 5. Desplazar v(t-τ) hacia la derecha hasta pasar t=b. Determinar el siguiente intervalo de tiempo b≤t<c, para el cual el producto x(τ)v(t-τ) tenga la misma forma analítica. Integre el producto x(τ)v(t-τ) como una función de τ.

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Al aplicar estos criterios al ejemplo obtenemos:

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La siguiente figura muestra el resultado de la convolución de x(t)*v(t):

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Método de convolución gráfica y con Matlab.

La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

Convolución en matlab

  1. a) ¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

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Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

Puedes consultar también:

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

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