Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Variables de estado

Convertir la Función de Transferencia en variables de estado.

Para convertir una función de transferencia en ecuaciones de estado, primero convertimos la función de transferencia a una ecuación diferencial por
multiplicación cruzada y aplicación de la transformada inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales iguales a cero.

Una vez con la ecuación diferencial del sistema, procedemos a diseñar la matriz en espacio de estados del sistema. Un ejemplo ilustra este proceso.

Ejemplo 1

Encuentre la representación del sistema en espacio- estado para el sistema cuya función de transferencia que se muestra en la Figura (1):

null
Figura 1

Paso 1. Encuentra la ecuación diferencial asociada a la función de transferencia:

null

La multiplicación cruzada genera lo siguiente:

null
La ecuación diferencial correspondiente se encuentra tomando la transformada inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales cero:

null

Paso 2. Seleccionar las variables de estado. Al elegir las variables de estado como  derivadas sucesivas, obtenemos:

null

Utilizando esta notación, podemos reescribir la ecuación (1) como:

null

Paso 3. Diferenciando ambos lados de estas últimas ecuaciones, debemos encontrar _x1 y _x2. Luego usamos la ecuación (2) para encontrar x3. Procediendo de esta manera obtenemos las ecuaciones de estado. Como la salida es c = x1, las ecuaciones de estado y la ecuación de salida son:

null

Paso 4. Al expresar estas últimas ecuaciones en forma de matriz de vectores, obtenemos la representación del sistema en espacio de estados:

null

Función de transferencia con polinomio en s en el numerador

La función de transferencia del ejemplo anterior tiene un término constante en el numerador. Si una función de transferencia tiene un polinomio en función de s en el numerador que es de orden menor que el polinomio en el denominador, como se muestra en la Figura 2(a), el numerador y el denominador se pueden manejar por separado. Primero, separar la función de transferencia en dos funciones de transferencia en cascada, como se muestra en la Figura 2(b). En la primera función de transferencia se procede como en el ejercicio anterior. Por lo tanto, la variable de fase x1 es la salida, y el resto de las variables de fase son las variables internas del primer bloque, como se muestra en la Figura 2(b).

null
Figura 2

La primera etapa del diagrama de bloques de la Figura 2, sabemos como tratarla, ya que es el mismo caso que el del ejemplo 1. La segunda función de transferencia con solo el numerador genera:

null

Donde, después de tomar la transformada inversa de Laplace con cero condiciones iniciales, obtenemos:

null

Pero los términos derivados de la ecuación anterior son las definiciones de las variables de fase obtenidas en el primer bloque. Por lo tanto, al escribir los términos en orden inverso para ajustarse a una ecuación de salida, obtenemos:

null

Por lo tanto, el segundo bloque simplemente forma una combinación lineal específica del estado variables desarrolladas en el primer bloque. Desde otra perspectiva, el denominador de la función de transferencia produce las ecuaciones de estado, mientras que el numerador produce la ecuación de salida. El siguiente ejemplo demuestra el proceso.

Ejemplo 2

Encuentre la representación en el espacio de estado de la función de transferencia que se muestra en la Figura 3(a).

null
Figura 3

Paso 1. Separar el sistema en dos bloques en cascada, como se muestra en la Figura 3(b).
El primer bloque contiene el denominador y el segundo bloque contiene el numerador.

Paso 2. Determinar las ecuaciones de estado para el primer bloque, el que contiene el denominador. Notamos que se trata del ejemplo 1, multiplicado por 1/24. Por lo tanto, las ecuaciones de estado son las mismas, excepto que la matriz de entrada de este sistema es 1/24 que la del Ejemplo 1.

Paso 3. Introducir el efecto del bloque con el numerador. El segundo bloque de la Figura 3(b) genera:

null

Tomando la transformada inversa de Laplace con cero condiciones iniciales, obtenemos:

null

Pero:

null

Por lo tanto:

null

Así podemos observar que el último bloque de la Figura 3(b) «recoge» los estados y genera la ecuación de salida. En forma matricial obtenemos:

null

Aunque el segundo bloque de la Figura 3(b) muestra diferenciación, este bloque se implementó sin diferenciación debido a la partición que se aplicó a la función de transferencia. El último bloque simplemente recolectó derivados que ya estaban formados por el primer bloque.

En definitiva, la representación completa en espacio de estados del sistema es:

null

Una vez más, podemos producir un diagrama de bloques equivalente que represente  nuestro modelo de espacio de estado:

null

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Análisis de sistemas de control, Dinámica de sistemas, Función de Transferencia, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Mass-spring-damper Problems solved. Catalog 1

The transfer function of a Mass-Spring-Damper System. 

In this PDF guide, the Transfer Function of the exercises that are most commonly used in the mass-spring-damper system classes that are in turn part of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks with DC motor, is determined. electronic systems in mechatronics, etc. It is a good resource to also learn how to obtain the block diagram of the system, or the representation in state variables. Request via email – WhatsApp. Payment is provided by PayPal, Credit or debit card. Cost: € 21.5

Below, the statements of problems solved in this guide.

  1. Given the System of Figure 1, find the transfer function X(s)/U(s).

null

2. Given the System of Figure 2, find the transfer function X(s)/Y(s) .

null

3. Given the System of Figure 3, find the transfer function X2(s)/U(s) using its model in the frequency domain and linear algebra.

null

4. Given the System of Figure 4, find the transfer function Y2(s)/U(s):

null

5. Given the System of Figure 5, find the transfer function X2(s)/U(s). Illustrate the use of free-body diagrams.

null

6. Given the System of Figure 6, find the transfer functions X1(s)/U(s) and X2(s)/U(s).

null

7. Given the System of Figure 7, find the transfer function X(s)/U(s). Check the same result using the combination of state-space representation and block diagrams. Take u(t) as the input and x(t) as the output.

null

8. Given the System of Figure 8, find its state-space representation, taking x1(t) as the output and u(t) as the input. Build the block diagram of the system and determine the transfer function  X1(s)/U(s).

null

9.Given the System of Figure 9, find the transfer function X2(s)/U(s). Consider k1= k2=6 N/m, b1= b2= b3=2 N-s/m, m1= m2= m3=4 Kg. Illustrate the use of Matlab and linear algebra.

null

10. Given the System of Figure 10, find the transfer functions Y1(s)/U(s) and Y2(s)/U(s). Consider k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (The same exercise is solved with state variables in the exercise 11)

null

11. Find the state-space representation of the system of the previous exercise, Figure 10, taking y2(t) as the output and u(t) as the input. Transform the state-space representation obtained in the transfer function Y2(s)/U(s). Consider k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.

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Mass-spring-damper system. Problems solved. Catalog 1

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Transformada de Fourier

The Fourier Transform – Definition and properties.

The Fourier Transform is a valuable instrument to analyze non-periodic functions. In this way, it complements the Fourier Series, which allows analyzing systems where periodic functions are involved.

That is, through the Fourier Series we can represent a periodic signal in terms of its sinusoidal components, each component with a particular frequency. The Fourier Transform allows you to do the same with non-periodic signals.

Definition

Fourier reasoned that an aperiodic signal can be considered as a periodic signal with an infinite period. More precisely, in the Fourier Series representation of a periodic signal, as the period increases, the fundamental frequency decreases and the harmonically related components become closer to the frequency. As the period becomes infinite, the frequency components form a continuum and the sum of the Fourier series becomes an integral.

Let f be a real function defined in the continuous domain, say f(t) defined in the t domain. Then, The Fourier Transform (FT) is defined as:

null

It is said that a signal f(t) has a Fourier Transform if the integral of equation (1) converges (that is, it exists). The integral converges if f(t) «behaves well» and is fully integrable; this last condition means that:

null

All real signals behave well, and therefore satisfy the previous condition. That is, most of the real signals have FT. However, the following is an example of a signal that does not have FT:

null

The signal of equation (3) is well known as a CD signal or constant signal. And it has no FT because it is not a real signal, that is, no signal that is different from zero all the time can be physically possible. If we substitute this signal in equation (1) we could verify that this integral does not converge just by observing that the area under the constant signal is infinite, so that integral does not have a finite value. Later, however, we will show that a constant signal does have FT in a generalized sense.

The Fourier Transform Pair

We can define two integrals called the Fourier Transform pair:

null

For the TF of f(t) to exist, it must be fulfilled that:

null

F(ω) is the transform of the spectrum of f(t). From here we see that f(t) is being analyzed in a finite number of frequency components with infinitesimal amplitude equal to:

null

Fourier Transform Considerations

1. In general F(ω) is a complex function, which transforms a given signal into its exponential components;

2. F(ω) is called the Direct Fourier Transform of f(t), and represents the relative amplitudes of several frequency components, so F(ω) is the representation of f(t) in the frequency domain:

null

3. The time representation of f(t) specifies a function at each time value, while F(ω) specifies the relative amplitudes of the frequency components of the signal, for each frequency value.

4. Thus, F(ω) is a complex function with the following form

null

F(ω) is a complex function that can be represented graphically by the magnitude null and phase Θ(ω) versus frequency. In this way, the graph of null is called Continuous Spectrum of Amplitude of f(t), and the graph of Θ(ω) is called Continuous Spectrum of Phase of f(t). The spectrum is said to be a continuous spectrum, since both the amplitude and the phase of F(ω) are continuous functions of the frequency ω. This graphic representation of both spectra is known as the Frequency Spectrum. Note the difference between this continuous spectrum and the discrete spectrum generated by the Fourier Series

5. In many cases F(ω) is real or imaginary pure. Therefore, only one graph is needed since:

null

Fourier Transform Properties

The relationship between a signal and its Fourier Transform will be denoted as follows:

null

The following is a summary of the most prominent properties of the TF:

null

null

null

null

null

null

null

Sources:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Fourier

La Transformada de Fourier – Definición y propiedades.

La Transformada de Fourier es un instrumento de gran valor para analizar las funciones no periódicas. Complementa de esta manera a la Serie de Fourier, que permite analizar sistemas donde están involucradas las funciones periódicas.

Es decir, mediante la Serie de Fourier podemos representar una señal periódica en términos de sus componentes sinusoidales, cada componente con una frecuencia en particular. La Transformada de Fourier permite hacer esto mismo con señales no periódicas.

Definición

Fourier razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con un periodo infinito. De manera más precisa, en la representación en Serie de Fourier de una señal periódica, conforme el período se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas a la frecuencia. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de frecuencia forman un continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una integral.

Sea f una función real definida en el dominio continuo, dígase f(t) definida en el dominio t. Entonces, la Transformada de Fourier (TF) se define como:

null

Se dice que una señal f(t) tiene Transformada de Fourier si la integral de la ecuación (1) converge (es decir, existe). La integral converge si f(t)  “se comporta bien” y si es completamente integrable; esta última condición significa que:

null

Todas las señales reales se comportan bien, y por tanto satisfacen la condición anterior. Es decir, la mayoría de las señales reales tiene TF. Sin embargo, el siguiente es un ejemplo de una señal que no tiene TF:

null

La señal de la ecuación (3) es bien conocida como señal de CD o señal constante. Y no tiene TF porque no es una señal real, es decir, ninguna señal que es diferente de cero todo el tiempo puede ser físicamente posible. Si sustituimos esta señal en la ecuación (1) podríamos comprobar que esta integral no converge sólo con observar que el área bajo la señal constante es infinita, por lo que dicha integral no tiene un valor finito. Más adelante, sin embargo, mostraremos que una señal constante si tiene TF en un sentido generalizado.

El par de Transformada de Fourier

Podemos definir dos integrales que se llaman el par de Transforma de Fourier:

null

Para que exista la TF de f(t), se debe cumplir que:

null

F(ω) es la transformada del espectro de f(t). De aquí vemos que f(t) está siendo analizada en un número finito de componentes de frecuencia con amplitud infinitesimal igual a:

null

Para ver más: La transformada de Fourier

Consideraciones sobre la Transformada de Fourier

1. En general F(ω)  es una función compleja, que transforma una señal dada en sus componentes exponenciales;

2. F(ω) se llama la Transformada de Fourier directa de f(t), y representa las amplitudes relativas de varias componentes de frecuencia, así F(ω)  es la representación de f(t) en el dominio de la frecuencia:

null

3. La representación en el tiempo de f(t) especifica una función a cada valor del tiempo, mientras que F(ω)  especifica las amplitudes relativas de las componentes de frecuencia de la señal, para cada valor de frecuencia.

4. Así, F(ω)  es una función compleja con la siguiente forma:

null

F(ω) es una función compleja que puede ser representada gráficamente por la magnitud null y la fase Θ(ω)  versus la frecuencia. De esta manera, la gráfica de null  se llama Espectro Continuo de Amplitud de f(t), y la gráfica de Θ(ω) se llama Espectro Continuo de Fase de f(t). El espectro se dice que es un espectro continuo, ya que ambos, el de amplitud y el de fase de F(ω) , son funciones continuas de la frecuencia ω. Esta representación gráfica de ambos espectros se conoce como El Espectro de Frecuencia. Notar la diferencia que existe entre este espectro continuo y el espectro discreto generado por la Serie de Fourier.

5. En muchos casos F(ω) es real o imaginario puro. Por lo cual sólo se necesita una sola gráfica ya que:

null

Ejemplo

1. La gráfica de módulo y de fase de la Transformada de Fourier de la función compleja exponencial e-atU(t) para a>0 real, tiene la forma siguiente:

null

Para la deducción de este gráfico, ver:

2. Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal x(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-53.png

3. Considere la señal genérica x(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-54.png

3.1 Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal y(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-56.png

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-55.png

3.2 Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal y(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-57.png

3.3 Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal y(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-58.png

3.4 Obtenga la Transformada de Fourier de tiempo continuo de la señal y(t):

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-59.png

Propiedades de la Transformada de Fourier

La relación entre una señal y su Transformada de Fourier se denotará de la siguiente manera:null

Lo siguiente es un resumen de las propiedades más resaltantes de la TF:

null

null

null

null

null

null

null

Comparación entre la Transformada de Laplace y la Transformada de Fourier

A menudo se argumenta que la Transformada de Laplace es una herramienta excesivamente teórica y poco intuitiva, ya que implica una integración en el plano complejo y convierte una señal de variable real (el tiempo continuo) en una transformada de variable compleja (la variable s). Es decir, para representar la misma información es necesario utilizar dos variables en el dominio de Laplace, la parte real de s y la parte imaginaria de s, en lugar de solo una, tal y como se hace en el dominio temporal. A primera vista, no hay una razón evidente que justifique la necesidad de utilizar dos variables y ello hace que surjan alternativas para comprimir la redundancia que contiene la Transformada de Laplace y volverla a reducir a una sola dimensión. Una de estas alternativas se basa en la función exponencial est, que, como ya sabemos, presenta la propiedad de ser una autofunción de los sistemas LIT analógicos. Es decir, al excitar la entrada de un sistema analógico LIT de respuesta impulsional ℎ(𝑡) con la señal 𝑥(𝑡)= est, el sistema presenta una señal 𝑦(𝑡) a su salida dada por:

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-52.png

Dónde H(s)  es la función de transferencia del sistema. El resultado anterior muestra cómo la señal exponencial que hay en la entrada vuelve a aparecer en la salida acompañada de un factor de escala, dado por la función de transferencia, el cual resume el comportamiento del sistema en función de la variable compleja s.

De entre todas las posibles señales exponenciales, hay una de ellas que es de especial interés para nosotros y que no es otra que la señal exponencial compleja: esto es, e jωt, en donde se ha llevado a cambio el cambio de variable s=𝒋ω . Este cambio es interesante porque la señal exponencial compleja tiene un significado físico más tangible, al poder ser interpretada como un fasor en el plano complejo rotando a una velocidad angular constante ω, cuya proyección en los ejes real e imaginario da lugar a las funciones cos(ω𝒕) y sen(ω𝒕), respectivamente. Estas señales co/sinusoidales son fácilmente generables en un laboratorio y corresponden, haciendo un símil acústico, a tonos de frecuencia pura.

Esto hace que, de todo el plano complejo definido por la variable de Laplace s, en la práctica nos interese restringirnos al caso s=𝒋ω. Esta particularización no solo hace más intuitivo el análisis en el dominio transformado a partir del uso de exponenciales complejas, sino que, además, reduce la Transformada de Laplace a una nueva transformada de una sola variable, ω.

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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