Estabilidad vía Nyquist Diagrama – El criterio de Nyquist

El criterio de Nyquist puede decirnos si el sistema es estable o inestable al determinar cuántos polos del sistema a lazo cerrado de la Figura 1, se encuentran en el semiplano derecho:

Figura 1

Considere el contorno A definido en el plano s de la figura 2:

Figura 2

Si un contorno, A, que rodea todo el semiplano derecho del lugar de raíces del sistema determinado por la ecuación característica 1+ G(s)H(s), se mapea a través de G(s)H(s), entonces el número de polos del sistema a lazo cerrado, Z, en el semiplano derecho es igual al número de polos del sistema a lazo abierto, P, que están en el semiplano derecho menos el número de revoluciones en sentido antihorario, N, alrededor de -1+j0 del mapa; es decir, Z:

En consecuencia, para lograr estabilidad, Z debe ser igual a cero.

Ejemplo:

Step 1. Find the open-loop transfer function G_(s)H_(s) of the system.

Consider the closed-loop control system as follows:

The system characteristic equation is as follows:

The factor form of this characteristic equation is:

To determine the previous factor form:

Where the open-loop transfer function G_(s)H_(s) of the system is:

Step 2. Use Command Window of Matlab to draw the Nyquist Diagram, applying the following commands:

>> s=tf(‘s’);

>> G=10/(s^3+2*s^2+5*s);

>> nyquist(G);

We can see at the previous Diagram that for:

To reach stability, Z must be equal to zero:

Recalling that the poles of 1+ G(s)H(s), are the same as the poles of G(s)H(s), the open-loop system, we can determine P, the number of open-loop poles enclosed by the contour A from:

A detour around the poles on the contour is required:

In the Nyquist Diagram obtained for the system of Task 2, the point -1+j0 is highlighted in red:

We can see that N=0, so:

However, the Nyquist diagram intersects the real axis at -1+j0. Hence, according to the Nyquist Criteria, the system is marginally stable.

Fuentes:

1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
2. Control Systems Engineering, Nise
3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

Revisión literaria hecha por:

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