Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Variables de estado

Convertir la Función de Transferencia en variables de estado.

Para convertir una función de transferencia en ecuaciones de estado, primero convertimos la función de transferencia a una ecuación diferencial por
multiplicación cruzada y aplicación de la transformada inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales iguales a cero.

Una vez con la ecuación diferencial del sistema, procedemos a diseñar la matriz en espacio de estados del sistema. Un ejemplo ilustra este proceso.

Ejemplo 1

Encuentre la representación del sistema en espacio- estado para el sistema cuya función de transferencia que se muestra en la Figura (1):

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Figura 1

Paso 1. Encuentra la ecuación diferencial asociada a la función de transferencia:

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La multiplicación cruzada genera lo siguiente:

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La ecuación diferencial correspondiente se encuentra tomando la transformada inversa de Laplace, suponiendo condiciones iniciales cero:

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Paso 2. Seleccionar las variables de estado. Al elegir las variables de estado como  derivadas sucesivas, obtenemos:

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Utilizando esta notación, podemos reescribir la ecuación (1) como:

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Paso 3. Diferenciando ambos lados de estas últimas ecuaciones, debemos encontrar _x1 y _x2. Luego usamos la ecuación (2) para encontrar x3. Procediendo de esta manera obtenemos las ecuaciones de estado. Como la salida es c = x1, las ecuaciones de estado y la ecuación de salida son:

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Paso 4. Al expresar estas últimas ecuaciones en forma de matriz de vectores, obtenemos la representación del sistema en espacio de estados:

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Función de transferencia con polinomio en s en el numerador

La función de transferencia del ejemplo anterior tiene un término constante en el numerador. Si una función de transferencia tiene un polinomio en función de s en el numerador que es de orden menor que el polinomio en el denominador, como se muestra en la Figura 2(a), el numerador y el denominador se pueden manejar por separado. Primero, separar la función de transferencia en dos funciones de transferencia en cascada, como se muestra en la Figura 2(b). En la primera función de transferencia se procede como en el ejercicio anterior. Por lo tanto, la variable de fase x1 es la salida, y el resto de las variables de fase son las variables internas del primer bloque, como se muestra en la Figura 2(b).

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Figura 2

La primera etapa del diagrama de bloques de la Figura 2, sabemos como tratarla, ya que es el mismo caso que el del ejemplo 1. La segunda función de transferencia con solo el numerador genera:

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Donde, después de tomar la transformada inversa de Laplace con cero condiciones iniciales, obtenemos:

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Pero los términos derivados de la ecuación anterior son las definiciones de las variables de fase obtenidas en el primer bloque. Por lo tanto, al escribir los términos en orden inverso para ajustarse a una ecuación de salida, obtenemos:

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Por lo tanto, el segundo bloque simplemente forma una combinación lineal específica del estado variables desarrolladas en el primer bloque. Desde otra perspectiva, el denominador de la función de transferencia produce las ecuaciones de estado, mientras que el numerador produce la ecuación de salida. El siguiente ejemplo demuestra el proceso.

Ejemplo 2

Encuentre la representación en el espacio de estado de la función de transferencia que se muestra en la Figura 3(a).

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Figura 3

Paso 1. Separar el sistema en dos bloques en cascada, como se muestra en la Figura 3(b).
El primer bloque contiene el denominador y el segundo bloque contiene el numerador.

Paso 2. Determinar las ecuaciones de estado para el primer bloque, el que contiene el denominador. Notamos que se trata del ejemplo 1, multiplicado por 1/24. Por lo tanto, las ecuaciones de estado son las mismas, excepto que la matriz de entrada de este sistema es 1/24 que la del Ejemplo 1.

Paso 3. Introducir el efecto del bloque con el numerador. El segundo bloque de la Figura 3(b) genera:

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Tomando la transformada inversa de Laplace con cero condiciones iniciales, obtenemos:

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Pero:

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Por lo tanto:

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Así podemos observar que el último bloque de la Figura 3(b) “recoge” los estados y genera la ecuación de salida. En forma matricial obtenemos:

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Aunque el segundo bloque de la Figura 3(b) muestra diferenciación, este bloque se implementó sin diferenciación debido a la partición que se aplicó a la función de transferencia. El último bloque simplemente recolectó derivados que ya estaban formados por el primer bloque.

En definitiva, la representación completa en espacio de estados del sistema es:

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Una vez más, podemos producir un diagrama de bloques equivalente que represente  nuestro modelo de espacio de estado:

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Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

Revisión literaria hecha por:

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