Función de Transferencia de un Sistema Eléctrico – Ejemplo.

Definición: La función de Transferencia H_(s) de un sistema eléctrico es el cociente de la transformada de Laplace de la salida Y_(s) y la entrada X_(s) cuando las condiciones iniciales son nulas:

Para un repaso de Transformada de Laplace recomiendo ver: La Transformada de Laplace

La función de transferencia H_(s) de un circuito está dada por una función racional dependiente de la variable compleja s, en la que el numerador es un polinomio denominado N_(s) y el denominador es un polinomio denominado D_(s):

Las raíces de N_(s) se denominan ceros (Z_i) de la función de transferencia:

Las raíces de D_(s) se denominan polos (P_i) de la función de transferencia:

Cuando se habla del orden de la función de transferencia, se habla del número de polos de dicha función.

Generalmente, el principal interés del ingeniero en el uso de esta herramienta es determinar la salida y_(t) del sistema cuando es sometido a una entrada x_(t) específica. La entrada de prueba más frecuente es la función escalón unitario, mejor conocida como u_(t).

Podemos hallar y_(t) a partir de las ecuaciones anteriores, despejando, sustituyendo y descomponiendo en fracciones simples. Suponiendo condiciones iniciales nulas, podemos decir que la salida Y_(s) es:

Vemos entonces que Y_(s) se expresa como el factor entre una respuesta natural N_(s)/D_(s) y una respuesta forzada X_(s), factor que puede expresarse como la suma de fracciones simples como preparación para retornar al dominio del tiempo mediante la antitransformada de Laplace:

Para consultar el proceso de antitransformada de Laplace recomiendo ver: La antitransformada de Laplace

Cuando las condiciones iniciales son nulas, Y_(s) es conocida como respuesta a estado nulo (ZSR) del circuito. Entonces:

Una vez aplicada la antitransformada a Y_(s), obtenemos la respuesta y_(t) en el dominio del tiempo:

Un ejemplo muy común en sistemas eléctricos de antitransformada se puede consultar en el siguiente link: Ejemplo de antitransformada de Laplace

Propiedades de la función de transferencia de un sistema eléctrico.

1. Si el sistema es un circuito lineal en reposo (condiciones iniciales nulas) podemos definir una función de transferencia H_(s) para variables de entrada y salida que son tensiones y/0 corrientes.

2. Las funciones de transferencia pueden ser adimensionales. Si tanto la entrada como la salida son tensiones, se denomina función de transferencia de tensión. Si tanto la entrada como la salida son corrientes, se denomina función de transferencia de corriente. Si la variable de entrada es corriente y la variable de salida es tensión, la función de transferencia se denomina transimpedancia. Si la variable de entrada es tensión y la variable de salida es corriente, la función de transferencia se denomina transadmitancia.

3. Se puede demostrar que un circuito formado solo por resistencias y condensadores (circuito RC) tiene todos los polos de su función de transferencia en el semieje real (σ) negativo:

En el dominio del tiempo, un sistema con un polo en el eje real negativo responde  como se ilustra en la siguiente figura cuando se le aplica una entrada escalón unitario:

Veamos el siguiente ejemplo. Considere el siguiente circuito de interés:

Para ver el procedimiento de análisis completo visitar el link: Modelo matemático y función de transferencia de un circuito RC

4. Lo mismo se puede demostrar de un circuito formado solo por resistencias e inductores (circuito RL):

Para ver un ejemplo de este caso ver: Función de transferencia de un circuito RL – Carga de inductor

5. Si no existen fuentes controladas, la presencia de las oscilaciones (polos fuera del eje real – polos complejos) necesita de la presencia de los dos elementos reactivos: condensador e inductor (circuito LC). También se puede sintetizar el comportamiento inductivo mediante fuentes controladas y condensadores:

En el dominio del tiempo, un sistema con dos polos en el plano negativo responde  como se ilustra en la siguiente figura cuando se le aplica una entrada escalón unitario:

Ejemplos:

1. Determinar la función de transferencia V_o(jω)/Y_i(jω)) del siguiente circuito de la Figura 1. Traza el diagrama de Bode de la FT:

Respuesta: FT de circuito eléctrico

2. Hallar la función de transferencia E_o(s)/E_i(s) del Sistema Eléctrico mostrado en la Figura 42.

Respuesta: FT de circuito eléctrico

Te recomiendo además: Función de transferencia de sistema eléctrico – Problemas resueltos – Catálogo 5

SIGUIENTE:

• Teorema de Thevenin con fuentes dependientes
• El teorema de Norton – Análisis de circuitos
• Principio de superposición – Análisis de circuitos
• Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores
• Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico
• La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico.
• Ejercicio de cálculo de corriente y voltaje mediante fasores.
• Análisis fasorial de circuitos eléctricos de corriente alterna (CA) – Nodos y Mallas
• Circuitos de primer orden – Circuitos RC y RL
• La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL
• Modelo matemático de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab
• El capacitor – Un circuito abierto para CD
• El Inductor – Un cortocircuito para CD
• Método de Mallas – Análisis de circuitos
• Ejemplo de Función de Transferencia de un circuito LC
• Función de transferencia de sistema eléctrico – Problemas resueltos – Catálogo 5

Fuente:

1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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