Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Función de Transferencia de un Sistema Eléctrico – Ejemplo.

Definición: La función de Transferencia H(s) de un sistema eléctrico es el cociente de la transformada de Laplace de la salida Y(s) y la entrada X(s) cuando las condiciones iniciales son nulas:

null

null

Para un repaso de Transformada de Laplace recomiendo ver: La Transformada de Laplace

La función de transferencia H(s) de un circuito está dada por una función racional dependiente de la variable compleja s, en la que el numerador es un polinomio denominado N(s) y el denominador es un polinomio denominado D(s):

nullLas raíces de N(s) se denominan ceros (Zi) de la función de transferencia:

null

Las raíces de D(s) se denominan polos (Pi) de la función de transferencia:

null

Cuando se habla del orden de la función de transferencia, se habla del número de polos de dicha función.

Generalmente, el principal interés del ingeniero en el uso de esta herramienta es determinar la salida y(t) del sistema cuando es sometido a una entrada x(t) específica. La entrada de prueba más frecuente es la función escalón unitario, mejor conocida como u(t).

Podemos hallar y(t) a partir de las ecuaciones anteriores, despejando, sustituyendo y descomponiendo en fracciones simples. Suponiendo condiciones iniciales nulas, podemos decir que la salida Y(s) es:

null

Vemos entonces que Y(s) se expresa como el factor entre una respuesta natural N(s)/D(s) y una respuesta forzada X(s), factor que puede expresarse como la suma de fracciones simples como preparación para retornar al dominio del tiempo mediante la antitransformada de Laplace:

null

Para consultar el proceso de antitransformada de Laplace recomiendo ver: La antitransformada de Laplace

Cuando las condiciones iniciales son nulas, Y(s) es conocida como respuesta a estado nulo (ZSR) del circuito. Entonces:

null

Una vez aplicada la antitransformada a Y(s), obtenemos la respuesta y(t) en el dominio del tiempo:

null

Un ejemplo muy común en sistemas eléctricos de antitransformada se puede consultar en el siguiente link: Ejemplo de antitransformada de Laplace

Propiedades de la función de transferencia de un sistema eléctrico.

1. Si el sistema es un circuito lineal en reposo (condiciones iniciales nulas) podemos definir una función de transferencia H(s) para variables de entrada y salida que son tensiones y/0 corrientes.

null

2. Las funciones de transferencia pueden ser adimensionales. Si tanto la entrada como la salida son tensiones, se denomina función de transferencia de tensión. Si tanto la entrada como la salida son corrientes, se denomina función de transferencia de corriente. Si la variable de entrada es corriente y la variable de salida es tensión, la función de transferencia se denomina transimpedancia. Si la variable de entrada es tensión y la variable de salida es corriente, la función de transferencia se denomina transadmitancia.

null

3. Se puede demostrar que un circuito formado solo por resistencias y condensadores (circuito RC) tiene todos los polos de su función de transferencia en el semieje real (σ) negativo:

null

En el dominio del tiempo, un sistema con un polo en el eje real negativo responde  como se ilustra en la siguiente figura cuando se le aplica una entrada escalón unitario:

null

null

Veamos el siguiente ejemplo. Considere el siguiente circuito de interés:

null
Suponiendo que R=1, C=1, entonces la función de transferencia del sistema es:

null

Para ver el procedimiento de análisis completo visitar el link: Modelo matemático y función de transferencia de un circuito RC

4. Lo mismo se puede demostrar de un circuito formado solo por resistencias e inductores (circuito RL):

null

Para ver un ejemplo de este caso ver: Función de transferencia de un circuito RL – Carga de inductor

5. Si no existen fuentes controladas, la presencia de las oscilaciones (polos fuera del eje real – polos complejos) necesita de la presencia de los dos elementos reactivos: condensador e inductor (circuito LC). También se puede sintetizar el comportamiento inductivo mediante fuentes controladas y condensadores:

null

En el dominio del tiempo, un sistema con dos polos en el plano negativo responde  como se ilustra en la siguiente figura cuando se le aplica una entrada escalón unitario:

null

Para ver un ejemplo de circuito LC ver: Ejemplo de Función de Transferencia de un circuito LC

Te recomiendo además: Función de transferencia de sistema eléctrico – Problemas resueltos – Catálogo 5

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Señales y Sistemas, Transformada de Laplace

Ejemplo de antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace (o antitransformada) podemos identificar la señal que corresponde en la tabla 1:

null
Tabla 1.

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descompondremos la transformada como combinación lineal de términos (descomposición en fracciones simples), cada uno de los cuales aparezca en la tabla 1. En el caso de que en las fracciones simples aparezcan polos complejos, se recomienda aplicar el siguiente procedimiento, en el cual se utiliza la fórmula de Euler para el coseno:

null

Ejemplo

Un ejemplo de F(s) con raíces complejas en el denominador es:

null

Descomponemos en fracciones simples:

null

Calculamos el valor de cada constante k:

null

null

null

null

Sustituimos estos valores en X(s) y aplicamos la antitransformada utilizando la línea en rojo de la Tabla 1, la exponencial. Factorizamos hasta donde sea posible:

null

Debido a que:nullObtenemos:

null

Por tanto:

null

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Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

Puedes consultar también:

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Sistema masa-resorte-amortiguador con engranajes. Problemas resueltos. Catálogo 4

La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador con engranajes que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 5 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

1. Hallar la función de transferencia Θ2(s) /T(s) del Sistema rotacional mostrado en la Figura 34. Utilizar el método que consiste en reflejar el eje de entrada hacia la carga. Considerar k=4 N-m/rad, b=1 N-m-s/rad, J=1 Kg-m2.

null

2. Hallar la función de transferencia Θ2(s) /T(s) del Sistema rotacional mostrado en el ejercicio anterior, Figura 34, reflejando las impedancias desde el eje de salida hacia el eje de entrada. Considerar k=4 N-m/rad, b=1 N-m-s/rad, J=1 Kg-m2.

3. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /Tm(s) del Sistema rotacional mostrado en la Figura 36.

null

4. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /T(s) del Sistema mostrado en la Figura 37. Considerar k=3 N-m/rad, b1=2, b2=0.04  N-m-s/rad, J=1  Kg-m2

null

5. Hallar la función de transferencia Θ2(s) /T(s) del Sistema mostrado en la Figura 38. Considerar k1=3, k2=250 N-m/rad, b=1k N-m-s/rad, J1=3, J2=200, J3=200  Kg-m2

null

6. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema mostrado en la Figura 39 suponiendo que Θ4(t) es la salida y T(t) es la entrada. Dibujar el diagrama de bloques del sistema y hallar la función de transferencia Θ4(s) /T(s). Considerar k=2 N-m/rad, b=16 N-m-s/rad, J=4  Kg-m2

null

7. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /T(s) del Sistema mostrado en la Figura 40. Considerar k=3 N-m/rad, ba=2, bL=4  N-m-s/rad, Ja=1, JL=8 Kg-m2

null

8. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema mostrado en la Figura 41, considerando a Θ4(t) como la salida y a T(t) como la entrada. Hallar la función de transferencia Θ4(s) /T(s). Considerar k1=1, k2=2 N-m/rad, b=8, N-m-s/rad, J1=1, J2=2 Kg-m2

null

9. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /Ei(s) del Sistema mostrado en la Figura 56.

null

10. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 56, suponiendo que ΘL(t) es la salida y que ei(t) es la entrada. Representar el Sistema mediante un diagrama de bloques.Determinar la f. de transferencia ΘL(s) /Ei(s).

11. Hallar la función de transferencia ΘL(s) /Ei(s) del Sistema mostrado en la Figura 61. La curva Torque-Velocidad Angular está dada por Tm(t)= -8ωm(t)+200. Considerar bm=5, bL=800  N-m-s/rad, Jm=1,  JL=400 Kg-m2

null

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En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador con engranajes que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado.

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Teoría Electromagnética

Fuerza magnética sobre una carga móvil.

La fuerza magnética sobre una carga móvil tiene cuatro características esenciales.

La primera es que su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga. La segunda es que la magnitud de la fuerza también es proporcional a la magnitud del campo. La tercera es que la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula. Y la cuarta es que los experimentos indican que la fuerza magnética F no tiene la misma dirección que el campo magnético B, sino que es siempre perpendicular tanto a B como a la velocidad de la partícula v. Cuando v y B son paralelas, la fuerza F es cero. La Figura 1 muestra estas relaciones, que se expresan matemáticamente mediante la siguiente ecuación, donde X se entiende por producto vectorial:

null

null
Figura 1

La magnitud de la fuerza F es:

null

Donde  es la magnitud de la carga, v es la velocidad de la carga, B es la magnitud del campo y es el ángulo medido desde la dirección de v hacia la dirección de B, como se muestra en la Figura 1.

La magnitud de F es máxima cuando v y B son perpendiculares, como se ilustra en la Figura 2:

null
Figura 2

Para calcular la dirección de la fuerza magnética sobre una partícula cargada, se utiliza la regla de la mano derecha, según la Figura 3:

null
Figura 3
Movimiento de partícula cargada en un campo magnético.

Cuando una partícula se mueve en un campo magnético, sobre ella actúa una fuerza magnética dada por la siguiente ecuación 1, cuya magnitud es:

null

Donde m es la masa de la partícula y R la órbita circular.

De esta manera se obtiene el radio R de una órbita circular en un campo magnético, y la rapidez angular de la partícula como:

null
La órbita de una partícula cargada en un campo magnético uniforme se puede observar en la Figura 4:

null
Figura 4

Fuente:

Fisica_Universitaria_-_Sears-Zemansky_Vo

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia

Sistema masa-resorte-amortiguador. Sistema Rotacional. Problemas resueltos. Catálogo 3

La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador rotacional que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 5 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

1. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 22.

null

2. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 23.

null

3. Hallar las funciones de transferencia y  del Sistema mostrado en la Figura 24.El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.

null

4. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 24, considerando a como la salida y a  como la entrada. Hallar el diagrama de bloques del sistema y a partir de allí la función de transferencia.

5. Hallar la función de transferencia  del Sistema Motor-Eje Flexible-Carga mostrado en la Figura 26.

null

6. Hallar las funciones de transferencia y  del Sistema mostrado en la Figura 27.

null

7. Hallar las funciones de transferencia y  del Sistema mostrado en la Figura 28.

null

8. Hallar la función de transferencia del Sistema mostrado en la Figura 29.

null

9. Hallar las funciones de transferencia y  del Sistema mostrado en la Figura 30. Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2. El mismo ejercicio se resolverá en el próximo número mediante variables de estado.

null

10. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema del ejercicio anterior, Figura 30, considerando a como la salida y a  como la entrada. Hallar la función de transferencia . Considerar k1=9, k2=3 N-m/rad, b1=8, b2=1 N-m-s/rad, J1=5, J2=3 Kg-m2.

11. Hallar la representación en espacios de estados del Sistema mostrado en la Figura 32, considerando a como la salida y a  como la entrada. Hallar la función de transferencia. Considerar k1= k2=1 N-m/rad, b1= b2=1 N-m/rad, J=1 Kg-m2.

null

12. Hallar Las funciones de transferencia y  del Sistema mostrado en la Figura 33.

null

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Sistema rotacional masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 3.

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia

Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 2

La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador. 

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A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía .

1. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 12.

null

2. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema que se muestra en la Figura 13.

null

3. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s) y X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 14.

null

4. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 15. Considerar k1=1, k2= 15 N/m, b1=4, b2= 16 N-s/m, m1= 8, m2=3  Kg.

null

5. Hallar la función de transferencia X3(s)/U(s)  del Sistema mostrado en la Figura 16. Considerar k1=5, k2= 4. k3= 4  N/m, b1=2, b2= 2, b3= 3  N-s/m, m1= 4, m2=5, m3=5  Kg.

null

6. Hallar la función de transferencia X1(s)/U(s) del Sistema mostrado en la Figura 17. Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1  N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1  Kg. El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número.

null

7. Hallar el modelo en espacio de estados del Sistema del ejercicio anterior Figura 17, tomando a x1(t) como la salida y u(t) como la entrada. Transformar dicho modelo en la función de transferencia X1(s)/U(s). Considerar k1=k2= 1 N/m, b1= b2= b3= 1  N-s/m, m1= 2, m2=1, m3=1  Kg.

8. Hallar la función de transferencia Yh(s)/fup(s) del Sistema de la Figura 19. Considerar kh=7, ks=8, kave=5  N/m, bf=3, bh= 10  N-s/m, mh=1, mf=2 Kg.

null

9. Hallar las funciones de transferencia X2(s)/U(s) y X3(s)/U(s) del Sistema de la Figura 20. Considerar k1=1, k2=2, k3=3, k4=4 N/m, b1=2,b2= 1,b3= 3 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=3  Kg.

null

9. Hallar la representación en espacio de estados tomando x3(t) como salida y u(t) como entrada, y la función de transferencia X3(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 21. Considerar k=2 N/m, b1=b2=b3=b4=b5=1 N-s/m, m1=2,m2=1,m3=1 Kg.

null

10. Determinar la función de transferencia y el diagrama de bloques del sistema de la figura 22:

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Sistema masa-resorte-amortiguador. Problemas resueltos. Catálogo 1

La función de transferencia de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador. 

En esta guía PDF  se determina la Función de Transferencia de los ejercicios que más se utilizan en las clases de sistemas masa-resorte-amortiguador que forman parte a su vez de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas con motor DC, sistemas electrónicos en mecatrónica, etc. Es un buen recurso para aprender también a obtener el diagrama de bloques del sistema, o la representación en variables de estado. Solicitar vía email – WhatsApp. Se facilita pago por PayPal, Tarjeta de crédito o débito. Costo: 5 €.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

  1. La Figura 1 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador. La salida es el desplazamiento x(t) del sistema, mientras que la entrada es la fuerza u(t) que se ejerce sobre la masa m. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s).

null

2. La Figura 2 muestra un sistema masa-resorte-amortiguador montado sobre un carro. El desplazamiento del carro es y(t) (la entrada) y el desplazamiento del sistema es x(t) (la salida). Considerar que el carro no tiene masa. Hallar la función de transferencia X(s)/Y(s) .

null

3. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema de la Figura 3 utilizando su modelo en frecuencia y algebra lineal.

null

4. Hallar la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema de la Figura 4:

null

5. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 5. Ilustrar el uso de diagramas de cuerpo libre.

null

6. Hallar las funciones de transferencia X1(s)/U(s), X2(s)/U(s), del sistema de la Figura 6.

null

7. Hallar la función de transferencia X(s)/U(s) del sistema presentado en la Figura 7. Comprobar el mismo resultado utilizando la combinación variables de estado – diagrama de bloques. Considerar a x(t) como la salida y a u(t) como la entrada.

null

8. Hallar la representación matricial del sistema de la Figura 8. Considere a x1(t) como la salida, y a u(t) como la entrada. Construya el diagrama de bloques del sistema y determine la función de transferencia X1(s)/U(s).

null

9. Hallar la función de transferencia X2(s)/U(s) del sistema mostrado en la Figura 9. Considerar k1= k2=6 N/m, b1= b2= b3=2 N-s/m, m1= m2= m3=4 Kg. Ilustrar el uso de Matlab para la aplicación del álgebra lineal.

null

10. Hallar las funciones de transferencia Y1(s)/U(s) y Y2(s)/U(s) del Sistema de Suspensión Vehicular de la Figura 10. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg. (El mismo ejercicio se resuelve con variables de estado en el próximo número)

null

11. Hallar la representación en el espacio de estados del sistema del ejercicio anterior, Figura 10, considerando u(t) como la entrada y y2(t) como la salida. Transformar la representación matricial en la función de transferencia Y2(s)/U(s) directamente, utilizando álgebra de matrices. Considerar k1= k2=2 N/m, b=1 N-s/m, m1= m2= 2 Kg.

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Mass-spring-damper system. Problems solved. Catalog 1

In this PDF guide, the Transfer Function of the exercises that are most commonly used in the mass-spring-damper system classes that are in turn part of control systems, signals and systems, analysis of electrical networks with DC motor, is determined. electronic systems in mechatronics, etc. It is a good resource to also learn how to obtain the block diagram of the system, or the representation in state variables. Request via email – WhatsApp. Payment is provided by PayPal, Credit or debit card. Cost: € 5

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Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Transformada de Laplace

La antitransformada de Laplace

Para determinar la transformada inversa de Laplace podemos identificar la señal que corresponde a una señal exponencial, por ejemplo, en la siguiente tabla:

null

¿Cómo calculamos la antitransformada de una función racional que no aparece en la tabla? Descomponiendo la transformada como combinación lineal de términos, método conocido como Descomposición en fracciones simples. Suponga que tenemos una función con la siguiente estructura:

null

Los términos z y p son conocidos como ceros y polos de X(s), respectivamente.

1. En el caso de nm (función racional propia) y siendo los n polos simples, la descomposición que se puede hacer es de la forma:

null

Siendo k1, k2, …., kn, los residuos asociados  a cada polo. De esta forma reconocemos cada término como la transformada de una señal exponencial de la forma:

null

El residuo ki se puede evaluar mediante el siguiente algoritmo:

null

2. Si el polo p es complejo, irá acompañado de un polo complejo p*:

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El residuo de estos polos será también complejo conjugado. Las antitranformadas de estos polos se combinan generando una sinusoide amortiguada:

null

Para una mejor discusión de este caso, ver: Ejemplo de antitransformada de Laplace

Ejemplo 1

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null

3. Si n=m, es decir, la transformada es una función racional impropia, antes de descomponer en fracciones simples haremos la división:

null

Ejemplo 2

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SIGUIENTE:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
  4. Amplificador Operacional
  5. CIRCUITO TRANSFORMADO DE LAPLACE
  6. DINAMICA CIRCUITOS
  7. INTRODUCCION A LAS SENALES Y SISTEMAS
  8. RESPUESTA EN FRECUENCIA
  9. TRANSFORMACION DE LAPLACE
  10. Control Systems Engineering, Nise

 

Puedes consultar también:

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