La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL

La función de transferencia H(s) es una representación del sistema eléctrico de la entrada x(t) a salida y(t), sólo se expresa como una función de la variable compleja s:

Introducción

La Función de Transferencia H(s) es el cociente formado por Y(s), la Transformada de Laplace de la salida de un sistema LTI (Causal, Lineal e Invariante en el tiempo), dividida entre X(s), la Transformada de Laplace de la entrada a dicho sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero en el tiempo t=0 ^– seg:Dónde:Observación: La Función de Transferencia sólo se expresa como una función de la variable compleja s. Para obtenerla, es necesario que las condiciones iniciales sean nulas. De no serlo, se debe obligar a dichas condiciones a ser cero.

Observación: Conociendo la Función de Transferencia H(s) de un sistema, podemos conocer la salida y(t) en el dominio del tiempo para cualquier entrada x(t), aplicando los siguientes pasos:

Veremos un par de comandos en Matlab que ilustran este importante resultado.

Observación: La Función de Transferencia es una propiedad intrínseca del sistema, no depende del tipo o naturaleza de la entrada o excitación.

Observación: La Función de Transferencia no ofrece información sobre las características físicas del sistema. De hecho, sistemas con diferentes estructuras, dimensiones o distribuciones físicas pueden tener la misma Función de Transferencia.

Observación: La Función de Transferencia es una parte importante del primer paso necesario para el diseño y análisis de sistemas de control: el modelo matemático del sistema.

Observación: La Función de Transferencia H(s) de un sistema LTI también se puede definir como la Transformada de Laplace de la Respuesta al Impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero. Suponiendo que la respuesta del sistema al impulso se denota como h(t), entonces:

La Función de Transferencia se obtiene a partir  de la representación de un sistema LTI por medio de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, el modelo dinámico del sistema.  Se hace uso intensivo de la propiedad de La Transformada de Laplace definida como “derivación n-ésima de una función en el dominio del tiempo”. Dicha propiedad sirve de fundamento para el método que permite separar algebraicamente la salida de la entrada, y obtener la Función de Transferencia.

Función de transferencia de un sistema de primer orden 

Ahora discutimos sistemas de primer orden sin ceros para definir una especificación de rendimiento para dicho sistema. Un sistema de primer orden sin ceros se puede describir mediante la función de transferencia que se muestra en Figura 1. Si la entrada es un escalón unitario, la transformada de Laplace de la respuesta C(s), es:

Definimos la constante de tiempo τ, como:

Se puede definir la constante de tiempo τ como el tiempo en que la respuesta de un circuito a la entrada escalón disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial. Alternativamente, la constante de tiempo τ es el tiempo que tarda la respuesta a la entrada escalón unitario en llegar al 63.2% de su valor final. En la Gráfica 1 se muestra este resultado:

Así, la constante de tiempo puede considerarse una especificación de respuesta transitoria para un primer orden sistema, ya que está relacionado con la velocidad a la que el sistema responde a un paso de entrada.

En la Gráfica 1 se muestra otras especificaciones de diseño como es el caso del tiempo de levantamiento (T_r por Rise Time) y tiempo de estabilización (T_s por Settling Time):

Circuito RC de primer orden

Un circuito RC de primer orden en fase de carga tiene la configuración de la Figura 2.

Sabemos de un artículo anterior (Modelo matemático de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab) que las funciones de transferencia de esta red RC de primer orden son:

a) Voltaje de salida – Corriente de entrada:

a) Corriente de salida – Corriente de entrada:

Sabemos que la gráfica de ambas curvas (Voltaje Vs Corriente del capacitor) se interceptan en el tiempo t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 2 que v_c(t) y i_c(t) se interceptan en el tiempo igual a la constante de tiempo, es decir t=τ=1 seg:

Gráfica 2. Curva de voltaje (azul) Vs corriente (rojo) del capacitor de un circuito RC en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

En la Gráfica 2 puede apreciarse el significado alternativo de la constante de tiempo τ: como cuando t=τ, la corriente i_c(t) en el capacitor de la Figura 2 ha disminuido 36.8% de su valor inicial. Mientras, cuando t=τ, el voltaje v_c(t) en el capacitor ha alcanzado 63.2% de su valor final.

Ejemplos

Para una mayor comprensión de la función de transferencia de un circuito eléctrico, recomiendo:

• Función de transferencia de sistema eléctrico – Problemas resueltos – Catálogo 5

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• Circuitos y sistemas de segundo orden
• Circuito RLC en serie – análisis y ejemplos – circuito de segundo orden
• La respuesta natural de un circuito RLC en paralelo – definición y ejemplos

Fuente:

1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
5. Análisis en estado permanente de un circuito RLC
6. Circuitos y sistemas de segundo orden

Atención:

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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