Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Función de transferencia de un circuito RL – Carga de un inductor

Un inductor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo magnético. Veremos la curva de carga del inductor, porque se dice que un inductor es un cortocircuito para la corriente directa (CD).

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Los inductores encuentran numerosas aplicaciones en sistemas electrónicos y de potencia. Se usan en alimentaciones de potencia, transformadores, motores eléctricos, radio y tv, etc.

Un inductor se fabrica con muchas vueltas de alambre conductor, formando una bobina cilíndrica como la observada en la Figura 1:

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Figura 1. Forma habitual de un inductor.

La inductancia L es la propiedad por la cual un inductor presenta oposición al cambio de corriente que fluye a través de dicho inductor.

Si la inductancia L no varía con el tiempo, la relación voltaje-corriente en un inductor está determinada por la ecuación (1):

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De acuerdo con la ecuación (1) un cambio instantáneo en la corriente requiere una tensión infinita, lo cual es físicamente imposible. Este hecho es descrito en la siguiente gráfica:

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La relación voltaje corriente expresada en la ecuación (1) puede verse en la gráfica siguiente:

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La unidad de la inductancia L es el Henry (H). La relación corriente-voltaje en un inductor se puede obtener integrando la ecuación (1):

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O sea:

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La ecuación (2) demuestra que la corriente del inductor depende de la historia pasada del voltaje del inductor. Por lo tanto, el inductor tiene memoria, propiedad que se explota con frecuencia.

Modelo matemático de un circuito RL.

Para analizar y comprender el comportamiento de un inductor en una red eléctrica, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.

A continuación obtendremos el modelo del circuito más simple del cual puede formar parte un inductor: Un circuito Resistencia-Inductor (RL), excitado por una fuente de voltaje o de Corriente Directa. Obtendremos el modelo tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, utilizando el método clásico de resolver ecuaciones diferenciales para el caso del dominio del tiempo, y la Transformada de Laplace para el dominio de la frecuencia.

La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.

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TABLA 1

En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.

Dominio del tiempo

Utilizaremos el análisis de mallas en el esquema de un circuito eléctrico RL excitado por una fuente de voltaje de la Figura 1:

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Figura 1. Circuito RL

En el circuito de la Figura 1 se cumple que:

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Según la Tabla 1, o la ecuación (1) sustituimos en la ecuación (3) de la manera siguiente, tomando en cuenta además que iR(t)= iL(t)=i(t):

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Reordenando y sustituyendo i(t)=y(t) obtenemos:

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La ecuación (4) es el modelo matemático del sistema de la Figura 1 en el dominio del tiempo, también conocida como ecuación diferencial de entrada/salida del circuito.

Dominio de la frecuencia

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (4):

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Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación (4) obtenemos el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia:

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La principal utilidad de determinar el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia, es la posibilidad de obtener la función de transferencia del sistema :

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La ecuación (6) es la Función de Transferencia del circuito de la Figura 1, considerando E(t) como la entrada y y(t) (la corriente) como la salida, y considerando las condiciones iniciales igual a cero. Supongamos ahora que R=1, L=1, entonces la ecuación (6) se reduce a:

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El Inductor- Un cortocircuito para la CD

Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.

Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de voltaje vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);

Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva y(t)=iL(t) a medida que pasa el tiempo:

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¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, nos muestra la curva de carga del inductor.

Volvamos al circuito de interés:

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Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de voltaje de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, IL(t) =0 volt. Esto significa que en este instante, el inductor es un circuito abierto.

Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, IL(t) =1 amp. Esto significa que en este instante, el inductor es un cortocircuito. Es decir:

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Voltaje en el Inductor- Un cortocircuito para la CD

Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y(s)/ E(s) (Corriente de inductor Vs. voltaje de entrada), podemos obtener VL(s)/ E(s) (voltaje del inductor Vs. voltaje de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (3):

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Por tanto:

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Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (7):

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Sustituyendo estos resultados en la ecuación (7) obtenemos:

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Así obtenemos la función de transferencia VL(s)/ E(s):

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Supongamos que R=1, L=1, entonces la ecuación (8) se reduce a:

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Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida vL(t) Vs la entrada E(t):

>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)

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La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y vL(t)=E(t)= 1 volt. En este instante, el inductor es un circuito abierto.

Mientras que en el tiempo t=6 seg, vL(t)=0 volti(t)= iR(t)=iL(t)=1 amp, y . En este instante, el inductor es un cortocircuito.

La constante de tiempo.

Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (4), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:

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La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.

Si graficamos vL(t) Vs iL(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);

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Gráfica 3. Curva de corriente (azul) Vs voltaje (rojo) del inductor de un circuito RL en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que vL(t) y iL(t) se interceptan en t=τ=1 seg.

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  5. Getty Images

Revisión literaria hecha por:

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