Modelo Matemático y Función de Transferencia de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab

Para analizar y comprender el comportamiento de un circuito RC, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.

La respuesta natural de un circuito RC se puede determinar a partir del siguiente ejemplo:

Respuesta natural

Suponemos que el interruptor ha estado en la posición “a” por mucho tiempo, lo que permite que el lazo formado por la fuente de tensión constante, V_g, la resistencia R₁ y el condensador c alcancen una posición de estado permanente.

Hay que tener en cuenta que el condensador se comporta como un circuito abierto cuando se le aplica una tensión constante. De tal modo, la fuente de tensión no puede sostener una corriente y, por ello, la tensión de la fuente aparece en las terminales del condensador. Debido a que no hay cambio instantáneo de la tensión en los terminales de un condensador, el problema queda reducido a resolver el siguiente circuito:

Podemos encontrar fácilmente la tensión v_(t) pensando en términos de tensiones en los nudos. Utilizando el nudo inferior de R y C como nudo de referencia y sumando la corriente que se aleja del nudo superior:

Al resolver esta ecuación, obtenemos que:

Como se ha determinado antes, la tensión inicial del condensador es igual a la tensión de la fuente de tensión V_g:

dónde v₍₀₎  es la tensión inicial en el condensador. La constante de tiempo para el circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:

Así, en términos de la constante de tiempo:

La respuesta natural de un circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicial. La constante de tiempo RC es un parámetro que regula la velocidad a la que decrece la tensión. La siguiente gráfica representa la ecuación de v_(t)  y la interpretación gráfica de la constante de tiempo.

Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:

El cálculo de la respuesta natural de un circuito RC se puede resumir en:

1. Determinar la tensión inicial V₍₀₎, en el condensador.
2. Encontrar la constante de tiempo en el circuito.
3. Utilizar la ecuación:

Respuesta forzada

 Es posible encontrar la respuesta al escalón de un circuito RC de primer orden analizando el circuito de la figura:

Para esto, calculamos el equivalente Norton de la red conectado al condensador equivalente.

Si ecuación la dividimos por C,

Resolviendo esta ecuación obtenemos que la respuesta completa, natural más forzada, del voltaje del condensador es:

Dónde:

Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:

Para obtener estos resultados se ha utilizado las siguientes relaciones voltaje-corriente:

Relación voltaje corriente para el capacitor, el inductor y la resistencia

La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.

En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.

Ejemplo

Supongamos el circuito de la siguiente figura:

En el circuito de la Figura se cumple que:

Según la Tabla 1, o la ecuación (3) sustituimos en la ecuación (4) de la manera siguiente, tomando en cuenta además que v_R(t)= v_C(t):

Reordenando y sustituyendo v_C(t) por y_(t) obtenemos:

La ecuación (5) es el modelo matemático del sistema de la Figura 1 en el dominio del tiempo, también conocida como ecuación diferencial de entrada/salida del circuito considerando a y_(t) como la salida.

Dominio de la frecuencia

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (5):

Sustituyendo en la ecuación (5) obtenemos:

La principal utilidad de determinar el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia, es la posibilidad de obtener la función de transferencia del sistema Y_(s)/ I_(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada) a partir de la ecuación (6), considerando i_(t) como la entrada y y_(t) como la salida:

La ecuación (7) es la Función de Transferencia del circuito de la Figura 1, considerando i_(t) como la entrada y y_(t) como la salida, y considerando las condiciones iniciales igual a cero. Supongamos ahora que R=1, C=1, entonces la ecuación (7) se reduce a:

El Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.

Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de corriente vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);

Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva Y(t) a medida que pasa el tiempo:

¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, la Gráfica 1 nos muestra la curva de carga del condensador.

Volvamos al circuito de interés:

Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de corriente de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, V_C(t) =0 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el capacitor en el tiempo t=0 seg. Es decir, en este instante, t=0 seg, I_R(t)=0 amp, y I_(t)= I_C(t). En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, V_C(t) =1 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el resistor en el tiempo t=6 seg. Es decir, en este instante, t=6 seg,  I_C(t)=0 amp, y I_(t)= I_R(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

Corriente en el Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y_(s)/ I_(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada), podemos obtener I_c(s)/ I_(s) (corriente del capacitor Vs. corriente de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (4):

Por tanto:

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (8):

Sustituyendo estos resultados en la ecuación (8) obtenemos:

Así obtenemos la función de transferencia I_c(s)/ I_(s):

Supongamos que R=1, C=1, entonces la ecuación (9) se reduce a:

Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida I_C(t) Vs la entrada I_(t):

>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)

La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, I_R(t)=0 amp, y I_(t)=I_C(t)= 1. En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Mientras que en el tiempo t=6 seg, I_C(t)=0 amp, y I_(t)= I_R(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

La constante de tiempo.

Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (5), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:

La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta de un sistema a la entrada escalón disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.

Si graficamos v_c(t) Vs i_c(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);

Gráfica 3. Curva de voltaje (azul) Vs corriente (rojo) del capacitor de un circuito RC en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que v_c(t) y i_c(t se interceptan en t=τ=1 seg.

SIGUIENTE:

• Circuitos de primer orden – Circuitos RC y RL
• El Inductor – Un cortocircuito para CD
• La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL

Fuente:

1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

Revisión literaria hecha por:

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