Cálculo, Derivadas, Límites

Diferenciabilidad y continuidad

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f ´a partir de la función f. Si una función tiene una derivada en x1, se dice que la función es diferenciable en x1.

Si una función f es diferenciable en un número x1 de su dominio, entonces f es continua en x1.

Ejemplos:

1) Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=0;

null

No obstante:

null

Por tanto la función es continua en x=0 pero no es diferenciable en dicho punto.

La siguiente gráfica ilustras este caso en el cual una función puede ser continua en un punto c de su dominio, pero no diferenciable.

null

2) Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

null

Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

null

Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

null

Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

null

De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

null

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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