Un capacitor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo eléctrico. Veremos la curva de carga del condensador, y porque se dice que un capacitor es un circuito abierto para la corriente directa (CD).
Un capacitor está compuesto por dos placas conductoras separadas por un aislante (también llamado dieléctrico). La Capacitancia es la razón entre la carga de una placa del capacitor y la diferencia de tensión entre las dos placas.
Introducción.
La Capacitancia es una medida de la habilidad del capacitor para almacenar carga sobre sus placas. En otras palabras, la capacidad de almacenamiento del capacitor está expresada mediante su Capacitancia.
La Capacitancia C se mide en farads (F) en honor a Michael Faraday, quien descubrió experimentalmente la inducción electromagnética.
Cuando una fuente de tensión v se conecta al capacitor, como en la siguiente figura, deposita una carga positiva +q en una placa, y una carga negativa –q en la otra.
Se dice que el capacitor almacena la carga eléctrica. El monto de carga almacenada q, es directamente proporcional a la tensión v aplicada, por lo tanto:
Esta última ecuación también se conoce como relación carga-voltaje del capacitor.
Formalmente, la Capacitancia es la razón entre la carga de una placa del capacitor y la diferencia de tensión entre las dos placas:
Por lo general el farad es una medida de Capacitancia demasiada grande para la mayoría de las aplicaciones prácticas, por lo que se utiliza más el microfarad (10-6) o el picofarad (10-12).
Relación corriente-voltaje del capacitor
Para obtener la relación de corriente-tensión del capacitor, primero es necesario estudiar la relación entre la carga q y la corriente i. Dicha relación viene dada por la ecuación:
Para encontrar la carga q de las placas en el tiempo t se integra sobre todo el tiempo anterior:
Utilizando el hecho de que q=Cv, obtenemos la relación voltaje-corriente del capacitor, ecuación (1), suponiendo un capacitor lineal, es decir, que no depende del valor de la tensión v en el tiempo:
O sea:
La ecuación (2) demuestra que la tensión del capacitor depende de la historia pasada de la corriente del capacitor. Por lo tanto, el capacitor tiene memoria, propiedad que se explota con frecuencia.
Suponiendo condiciones iniciales iguales a cero, la ecuación (2) conduce a la relación corriente-voltaje del capacitor:
Utilizando esta última ecuación, podemos graficar la relación corriente-voltaje del capacitor de la manera siguiente:
Recomiendo leer la siguiente guía: Capacitores e Inductores – Circuitos y asociaciones
Modelo matemático de un circuito RC.
Para analizar y comprender el comportamiento de un capacitor en una red eléctrica, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.
A continuación obtendremos el modelo del circuito más simple del cual puede formar parte un capacitor: Un circuito Resistencia-Capacitor (RC), excitado por una fuente de voltaje o de corriente directa. Obtendremos el modelo tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, utilizando el método clásico de resolver ecuaciones diferenciales para el caso del dominio del tiempo, y la Transformada de Laplace para el dominio de la frecuencia.
La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.
En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.
La respuesta natural de un circuito RC se puede determinar a partir del siguiente ejemplo:
Respuesta natural
Suponemos que el interruptor ha estado en la posición “a” por mucho tiempo, lo que permite que el lazo formado por la fuente de tensión constante, Vg, la resistencia R1 y el condensador c alcancen una posición de estado permanente.
Hay que tener en cuenta que el condensador se comporta como un circuito abierto cuando se le aplica una tensión constante. De tal modo, la fuente de tensión no puede sostener una corriente y, por ello, la tensión de la fuente aparece en las terminales del condensador. Debido a que no hay cambio instantáneo de la tensión en los terminales de un condensador, el problema queda reducido a resolver el siguiente circuito:
Podemos encontrar fácilmente la tensión v(t) pensando en términos de tensiones en los nudos. Utilizando el nudo inferior de R y C como nudo de referencia y sumando la corriente que se aleja del nudo superior:
Al resolver esta ecuación, obtenemos que:
Como se ha determinado antes, la tensión inicial del condensador es igual a la tensión de la fuente de tensión Vg:
dónde v(0) es la tensión inicial en el condensador. La constante de tiempo para el circuito RC es igual al producto de la resistencia y la capacidad:
Así, en términos de la constante de tiempo:
La respuesta natural de un circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicial. La constante de tiempo RC es un parámetro que regula la velocidad a la que decrece la tensión. La siguiente gráfica representa la ecuación de v(t) y la interpretación gráfica de la constante de tiempo.
Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:
El cálculo de la respuesta natural de un circuito RC se puede resumir en:
- Determinar la tensión inicial V(0), en el condensador.
- Encontrar la constante de tiempo en el circuito.
- Utilizar la ecuación:
Respuesta forzada
Es posible encontrar la respuesta al escalón de un circuito RC de primer orden analizando el circuito de la figura:
Para esto, calculamos el equivalente Norton de la red conectado al condensador equivalente.
Si ecuación la dividimos por C,
Resolviendo esta ecuación obtenemos que la respuesta completa, natural más forzada, del voltaje del condensador es:
Dónde:
Al contar con la expresión para el voltaje, otros parámetros pueden ser determinados:
El Capacitor - Un circuito abierto para la CD
Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.
Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de corriente vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);
Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva y(t) a medida que pasa el tiempo:
¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, la Gráfica 1 nos muestra la curva de carga del condensador.
Volvamos al circuito de interés:
Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de corriente de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, vC(t) =0 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el capacitor en el tiempo t=0 seg. Es decir, en este instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y i(t)= iC(t). En este instante, el capacitor es un corto circuito.
Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, vC(t) =1 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el resistor en el tiempo t=6 seg. Es decir, en este instante, t=6 seg, iC(t)=0 amp, y i(t)= iR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.
Corriente en el Capacitor - Un circuito abierto para la CD
Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada), podemos obtener Ic(s)/ I(s) (corriente del capacitor Vs. corriente de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (4):
Por tanto:
Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (8):
Sustituyendo estos resultados en la ecuación (8) obtenemos:
Así obtenemos la función de transferencia Ic(s)/ I(s):
Supongamos que R=1, C=1, entonces la ecuación (9) se reduce a:
Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida iC(t) Vs la entrada i(t):
>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)
La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y i(t)=iC(t)= 1 amp. En este instante, el capacitor es un corto circuito.
Mientras que en el tiempo t=6 seg, iC(t)=0 amp, y i(t)= iR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.
La constante de tiempo.
Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (5), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden
Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.
El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:
La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta de un sistema a la entrada escalón, disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.
Si graficamos vc(t) Vs ic(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:
>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);
Gráfica 3. Curva de voltaje (azul) Vs corriente (rojo) del capacitor de un circuito RC en Fase de carga como respuesta a la función escalón.
Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que vc(t) y ic(t se interceptan en t=τ=1 seg.
Recomiendo leer la siguiente guía: Capacitores e Inductores – Circuitos y asociaciones
SIGUIENTE:
- Circuitos de primer orden – Circuitos RC y RL
- El Inductor – Un cortocircuito para CD
- La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL
Fuente:
- Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
- Análisis de Redes – Van Valkenburg,
- Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
- Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
- Getty Images
Revisión literaria hecha por:
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