Ingeniería Eléctrica

Carga de un condensador – El capacitor: Un circuito abierto para la CD

Un capacitor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo eléctrico. Veremos la curva de carga del condensador, porque se dice que un capacitor es un circuito abierto para la corriente directa (CD).

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Un capacitor está compuesto por dos placas conductoras separadas por un aislante (también llamado dieléctrico). La Capacitancia es la razón entre la carga de una placa del capacitor y la diferencia de tensión entre las dos placas.

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Introducción.

La Capacitancia es una medida de la habilidad del capacitor para almacenar carga sobre sus placas. En otras palabras, la capacidad de almacenamiento del capacitor está expresada mediante su Capacitancia.

La Capacitancia C se mide en farads (F) en honor a Michael Faraday, quien descubrió experimentalmente la inducción electromagnética.

Cuando una fuente de tensión v se conecta al capacitor, como en la siguiente figura, deposita una carga positiva +q en una placa, y una carga negativa –q en la otra.

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Se dice que el capacitor almacena la carga eléctrica. El monto de carga almacenada q, es directamente proporcional a la tensión v aplicada, por lo tanto:

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Esta última ecuación también se conoce como relación carga-voltaje del capacitor.

Formalmente, la Capacitancia es la razón entre la carga de una placa del capacitor y la diferencia de tensión entre las dos placas:

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Por lo general el farad es una medida de Capacitancia demasiada grande para la mayoría de las aplicaciones prácticas, por lo que se utiliza más el microfarad (10-6) o el picofarad (10-12).

Relación corriente-voltaje del capacitor

Para obtener la relación de corriente-tensión del capacitor, primero es necesario estudiar la relación entre la carga q y la corriente i. Dicha relación viene dada por la ecuación:

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Para encontrar la carga q de las placas en el tiempo t se integra sobre todo el tiempo anterior:

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Utilizando el hecho de que q=Cv, obtenemos la relación voltaje-corriente del capacitor, ecuación (1), suponiendo un capacitor lineal, es decir, que no depende del valor de la tensión v en el tiempo:

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O sea:

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La ecuación (2) demuestra que la tensión del capacitor depende de la historia pasada de la corriente del capacitor. Por lo tanto, el capacitor tiene memoria, propiedad que se explota con frecuencia.

Suponiendo condiciones iniciales iguales a cero, la ecuación (2) conduce a  la relación corriente-voltaje del capacitor:

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Utilizando esta última ecuación, podemos graficar la relación corriente-voltaje del capacitor de la manera siguiente:

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Modelo matemático de un circuito RC.

Para analizar y comprender el comportamiento de un capacitor en una red eléctrica, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.

A continuación obtendremos el modelo del circuito más simple del cual puede formar parte un capacitor: Un circuito Resistencia-Capacitor (RC), excitado por una fuente de voltaje o de corriente directa. Obtendremos el modelo tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, utilizando el método clásico de resolver ecuaciones diferenciales para el caso del dominio del tiempo, y la Transformada de Laplace para el dominio de la frecuencia.

La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.

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TABLA 1

En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.

Dominio del tiempo

Para evitar el uso de integrales y obtener de manera práctica el modelo matemático del sistema en términos de ecuaciones diferenciales, utilizaremos el análisis de nodos en el esquema de un circuito eléctrico RC excitado por una fuente de corriente de la Figura 1 (el circuito RC de la Figura 1 puede ser representado fácilmente por una fuente de voltaje en serie con una resistencia. El modelo matemático resultado será el mismo:

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FIGURA 1

En el circuito de la Figura 1 se cumple que:

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Según la Tabla 1, o la ecuación (3) sustituimos en la ecuación (4) de la manera siguiente, tomando en cuenta además que vR(t)= vC(t):

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Reordenando y sustituyendo vC(t) por y(t) obtenemos:

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La ecuación (5) es el modelo matemático del sistema de la Figura 1 en el dominio del tiempo, también conocida como ecuación diferencial de entrada/salida del circuito considerando a y(t) como la salida.

Dominio de la frecuencia

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (5):

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Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación (5) obtenemos el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia:

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La principal utilidad de determinar el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia, es la posibilidad de obtener la función de transferencia del sistema Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada) a partir de la ecuación (6), considerando i(t) como la entrada y y(t) como la salida:

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La ecuación (7) es la Función de Transferencia del circuito de la Figura 1, considerando i(t) como la entrada y y(t) como la salida, y considerando las condiciones iniciales igual a cero. Supongamos ahora que R=1, C=1, entonces la ecuación (7) se reduce a:

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El Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.

Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de corriente vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);

Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva y(t) a medida que pasa el tiempo:

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Gráfica 1: Voltaje Vc(t) durante los primeros 9 segundos.

¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, la Gráfica 1 nos muestra la curva de carga del condensador.

Volvamos al circuito de interés:

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Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de corriente de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, vC(t) =0 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el capacitor en el tiempo t=0 seg. Es decir, en este instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y i(t)= iC(t). En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, vC(t) =1 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el resistor en el tiempo t=6 seg. Es decir, en este instante, t=6 seg,  iC(t)=0 amp, y i(t)= iR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

Corriente en el Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada), podemos obtener Ic(s)/ I(s) (corriente del capacitor Vs. corriente de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (4):

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Por tanto:

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Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (8):

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Sustituyendo estos resultados en la ecuación (8) obtenemos:

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Así obtenemos la función de transferencia Ic(s)/ I(s):

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Supongamos que R=1, C=1, entonces la ecuación (9) se reduce a:

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Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida iC(t) Vs la entrada i(t):

>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)

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Gráfica 2: Corriente del condensador. ic(t) durante los primeros 9 segundos.

La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y i(t)=iC(t)= 1 amp. En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Mientras que en el tiempo t=6 seg, iC(t)=0 amp, y i(t)= iR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

La constante de tiempo.

Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (5), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:

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La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta de un sistema a la entrada escalón, disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.

Si graficamos vc(t) Vs ic(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);

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Gráfica 3. Curva de voltaje (azul) Vs corriente (rojo) del capacitor de un circuito RC en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que vc(t) y ic(t se interceptan en t=τ=1 seg.

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  5. Getty Images

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