Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Función de transferencia de un circuito RL – Carga de un inductor

Un inductor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo magnético. Veremos la curva de carga del inductor, porque se dice que un inductor es un cortocircuito para la corriente directa (CD).

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Los inductores encuentran numerosas aplicaciones en sistemas electrónicos y de potencia. Se usan en alimentaciones de potencia, transformadores, motores eléctricos, radio y tv, etc.

Un inductor se fabrica con muchas vueltas de alambre conductor, formando una bobina cilíndrica como la observada en la Figura 1:

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Figura 1. Forma habitual de un inductor.

La inductancia L es la propiedad por la cual un inductor presenta oposición al cambio de corriente que fluye a través de dicho inductor.

Si la inductancia L no varía con el tiempo, la relación voltaje-corriente en un inductor está determinada por la ecuación (1):

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De acuerdo con la ecuación (1) un cambio instantáneo en la corriente requiere una tensión infinita, lo cual es físicamente imposible. Este hecho es descrito en la siguiente gráfica:

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La relación voltaje corriente expresada en la ecuación (1) puede verse en la gráfica siguiente:

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La unidad de la inductancia L es el Henry (H). La relación corriente-voltaje en un inductor se puede obtener integrando la ecuación (1):

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O sea:

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La ecuación (2) demuestra que la corriente del inductor depende de la historia pasada del voltaje del inductor. Por lo tanto, el inductor tiene memoria, propiedad que se explota con frecuencia.

Modelo matemático de un circuito RL.

Para analizar y comprender el comportamiento de un inductor en una red eléctrica, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.

A continuación obtendremos el modelo del circuito más simple del cual puede formar parte un inductor: Un circuito Resistencia-Inductor (RL), excitado por una fuente de voltaje o de Corriente Directa. Obtendremos el modelo tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, utilizando el método clásico de resolver ecuaciones diferenciales para el caso del dominio del tiempo, y la Transformada de Laplace para el dominio de la frecuencia.

La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.

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TABLA 1

En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.

Dominio del tiempo

Utilizaremos el análisis de mallas en el esquema de un circuito eléctrico RL excitado por una fuente de voltaje de la Figura 1:

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Figura 1. Circuito RL

En el circuito de la Figura 1 se cumple que:

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Según la Tabla 1, o la ecuación (1) sustituimos en la ecuación (3) de la manera siguiente, tomando en cuenta además que iR(t)= iL(t)=i(t):

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Reordenando y sustituyendo i(t)=y(t) obtenemos:

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La ecuación (4) es el modelo matemático del sistema de la Figura 1 en el dominio del tiempo, también conocida como ecuación diferencial de entrada/salida del circuito.

Dominio de la frecuencia

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (4):

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Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación (4) obtenemos el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia:

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La principal utilidad de determinar el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia, es la posibilidad de obtener la función de transferencia del sistema :

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La ecuación (6) es la Función de Transferencia del circuito de la Figura 1, considerando E(t) como la entrada y y(t) (la corriente) como la salida, y considerando las condiciones iniciales igual a cero. Supongamos ahora que R=1, L=1, entonces la ecuación (6) se reduce a:

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El Inductor- Un cortocircuito para la CD

Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.

Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de voltaje vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);

Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva y(t)=iL(t) a medida que pasa el tiempo:

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Gráfica 1: Corriente iL(t) durante los primeros 9 segundos.

¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, nos muestra la curva de carga del inductor.

Volvamos al circuito de interés:

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Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de voltaje de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, IL(t) =0 volt. Esto significa que en este instante, el inductor es un circuito abierto.

Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, IL(t) =1 amp. Esto significa que en este instante, el inductor es un cortocircuito. Es decir:

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Voltaje en el Inductor- Un cortocircuito para la CD

Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y(s)/ E(s) (Corriente de inductor Vs. voltaje de entrada), podemos obtener VL(s)/ E(s) (voltaje del inductor Vs. voltaje de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (3):

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Por tanto:

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Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (7):

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Sustituyendo estos resultados en la ecuación (7) obtenemos:

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Así obtenemos la función de transferencia VL(s)/ E(s):

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Supongamos que R=1, L=1, entonces la ecuación (8) se reduce a:

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Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida vL(t) Vs la entrada E(t):

>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)

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Gráfica 2. Voltaje de inductor en los primeros 9 segundos

La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y vL(t)=E(t)= 1 volt. En este instante, el inductor es un circuito abierto.

Mientras que en el tiempo t=6 seg, vL(t)=0 volti(t)= iR(t)=iL(t)=1 amp, y . En este instante, el inductor es un cortocircuito.

La constante de tiempo.

Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (4), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:

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La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.

Si graficamos vL(t) Vs iL(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);

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Gráfica 3. Curva de corriente (azul) Vs voltaje (rojo) del inductor de un circuito RL en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que vL(t) y iL(t) se interceptan en t=τ=1 seg.

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  5. Getty Images

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Modelo Matemático y Función de Transferencia de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab

Para analizar y comprender el comportamiento de un circuito RC, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.

A continuación obtendremos el modelo del circuito más simple del cual puede formar parte un capacitor: Un circuito Resistencia-Capacitor (RC), excitado por una fuente de voltaje de corriente alterna (CA). Obtendremos el modelo tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, utilizando el método clásico de resolver ecuaciones diferenciales para el caso del dominio del tiempo, y la Transformada de Laplace para el dominio de la frecuencia.

La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.

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TABLA 1

En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.

Dominio del tiempo

Para evitar el uso de integrales y obtener de manera práctica el modelo matemático del sistema en términos de ecuaciones diferenciales, utilizaremos el análisis de nodos en el esquema de un circuito eléctrico RC excitado por una fuente de corriente de la Figura 1 (el circuito RC de la Figura 1 puede ser representado fácilmente por una fuente de voltaje en serie con una resistencia. El modelo matemático resultado será el mismo):

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FIGURA 1

En el circuito de la Figura 1 se cumple que:

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Según la Tabla 1, o la ecuación (3) sustituimos en la ecuación (4) de la manera siguiente, tomando en cuenta además que vR(t)= vC(t):

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Reordenando y sustituyendo vC(t) por y(t) obtenemos:

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La ecuación (5) es el modelo matemático del sistema de la Figura 1 en el dominio del tiempo, también conocida como ecuación diferencial de entrada/salida del circuito considerando a y(t) como la salida.

Dominio de la frecuencia

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (5):

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Sustituyendo en la ecuación (5) obtenemos:

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La principal utilidad de determinar el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia, es la posibilidad de obtener la función de transferencia del sistema Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada) a partir de la ecuación (6), considerando i(t) como la entrada y y(t) como la salida:

null

La ecuación (7) es la Función de Transferencia del circuito de la Figura 1, considerando i(t) como la entrada y y(t) como la salida, y considerando las condiciones iniciales igual a cero. Supongamos ahora que R=1, C=1, entonces la ecuación (7) se reduce a:

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El Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.

Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de corriente vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);

Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva Y(t) a medida que pasa el tiempo:

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Gráfica 1: Carga del condensador. Voltaje Vc(t) durante los primeros 9 segundos.

¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, la Gráfica 1 nos muestra la curva de carga del condensador.

Volvamos al circuito de interés:

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Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de corriente de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, VC(t) =0 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el capacitor en el tiempo t=0 seg. Es decir, en este instante, t=0 seg, IR(t)=0 amp, y I(t)= IC(t). En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, VC(t) =1 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el resistor en el tiempo t=6 seg. Es decir, en este instante, t=6 seg,  IC(t)=0 amp, y I(t)= IR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

Corriente en el Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada), podemos obtener Ic(s)/ I(s) (corriente del capacitor Vs. corriente de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (4):

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Por tanto:

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Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (8):

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Sustituyendo estos resultados en la ecuación (8) obtenemos:

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Así obtenemos la función de transferencia Ic(s)/ I(s):

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Supongamos que R=1, C=1, entonces la ecuación (9) se reduce a:

null

Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida IC(t) Vs la entrada I(t):

>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)

null
Gráfica 2: Corriente del condensador. Ic(t) durante los primeros 9 segundos.

La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, IR(t)=0 amp, y I(t)=IC(t)= 1. En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Mientras que en el tiempo t=6 seg, IC(t)=0 amp, y I(t)= IR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

La constante de tiempo.

Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (5), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:

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La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta de un sistema a la entrada escalón disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.

Si graficamos vc(t) Vs ic(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);

null

Gráfica 3. Curva de voltaje (azul) Vs corriente (rojo) del capacitor de un circuito RC en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que vc(t) y ic(t se interceptan en t=τ=1 seg.

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
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Química, Química Orgánica

Guía pdf de Nomenclatura de Química Orgánica

Función Química y Grupo Funcional

Se llama función química a cada grupo de compuestos con propiedades y comportamientos químicos característicos. Cada función se caracteriza por poseer un agregado de uno o varios átomos al que se denomina grupo funcional.

Tipos de compuestos y orden de preferencia

Las funciones químicas que vamos a formular, con sus grupos funcionales, están en la
siguiente tabla:

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HIDROCARBUROS ALIFÁTICOS LINEALES

1.- Alcanos o hidrocarburos saturados
Son compuestos de carbono e hidrógeno unidos entre sí por enlaces sencillos C-C y
C-H. Responden a la fórmula general CnH2n+2. También se denominan parafinas debido a su poca reactividad química.

2.- Alquenos u olefinas
Son hidrocarburos que presentan uno o más dobles enlaces (C -C). Cuando sólo tienen
un doble enlace responden a la fórmula general CnH2n.

3.- Alquinos o acetilenos
Son hidrocarburos que presentan uno o más triples enlaces (C C). Cuando sólo tienen
un triple enlace responden a la fórmula general CnH2n-2.

HIDROCARBUROS ALIFÁTICOS CÍCLICOS

Son hidrocarburos que forman cadenas cerradas o anillos con un número variable de
átomos de carbono. Se suelen representar de forma simplificada colocando solamente la
figura geométrica que forman. Contando el número de vértices de la figura tenemos la
longitud de la cadena.

HIDROCARBUROS AROMÁTICOS

Son hidrocarburos derivados del benceno (C6H6). El benceno es un hidrocarburo cíclico
hexagonal con tres dobles enlaces deslocalizados.

DERIVADOS HALOGENADOS: HALOGENUROS DE ALQUILO

Son compuestos que se obtienen al sustituir en un hidrocarburo uno o más hidrógenos
por halógenos (F, Cl, Br, I). Las reglas que se aplican para su nomenclatura son las mismas que se han visto para los hidrocarburos ramificados.

Fuente:

Nomenclatura Q Orgánica 1920

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Cálculo, Derivadas, Límites

Recta tangente y derivada

Muchos problemas importantes en el Cálculo dependen de la determinación de la recta tangente de una función en un punto P específico de su gráfica.

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Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto P, se emplea el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Después de obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta tangente se determina por medio de dicha pendiente y el punto de tangencia.

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En otras palabras, para obtener la ecuación de la recta yt tangente a la curva y=f(x) en el punto x1, aplicamos el procedimiento siguiente:

  • Calcular el valor de la ordenada en el punto de tangencia, es decir, evaluamos f(x) en el punto x1 y obtenemos y1= f(x1). Sobre la gráfica esto significa localizar el punto P(x1, y1);
  • Calcular la derivada de f(x), también denotada como df/dx, en x1, lo que es equivalente a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y en el punto P(x1, y1); es decir f ´(x1)=m;
  • Aplicar la ecuación de la recta punto-pendiente: yt = y1+m(x x1).

Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta tangente a la curva y, en el punto de abscisa x=1.

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Definición de derivada lateral

Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la derecha de f en x1, está definida por:

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Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la izquierda de f en x1,  está definida por:

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Una función f definida en un intervalo abierto que contiene a x1, es diferenciable en x1 si y solo si f ´+( x1)  y f ´-( x1)  existen y son iguales.

Ejemplos:

Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

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Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

null

Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

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Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

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De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Diferenciabilidad y continuidad

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f ´a partir de la función f. Si una función tiene una derivada en x1, se dice que la función es diferenciable en x1.

Si una función f es diferenciable en un número x1 de su dominio, entonces f es continua en x1.

Ejemplos:

1) Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=0;

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No obstante:

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Por tanto la función es continua en x=0 pero no es diferenciable en dicho punto.

La siguiente gráfica ilustras este caso en el cual una función puede ser continua en un punto c de su dominio, pero no diferenciable.

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2) Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

null

Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

null

Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

null

Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

null

De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Definición de la derivada de una función

La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ´, tal que su valor en un número x del dominio de f está dado por:

null

Si x1 es un número particular del dominio de la función f, entonces:

null

Si tomamos en cuenta que:

null

Entonces:

null

Ejemplos:

  1. Determine la derivada de f si:

null

2. Determine la derivada de g si:

null

  1. Calcular g ´(0), g ´(1), g ´(2).

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas, Límites

Definición de función contínua en un número.

Se dice que la función f es continua en el número a si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

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Ejemplos: Determine si la función g es continua en x=3:

null

Teorema: Si f y g son contínuas en el número a, entonces:

null

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Cálculo, Derivadas

Derivada y Diferenciación

Se interpreta geométricamente la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. Una función que tiene una derivada se dice diferenciable. Una derivada se calcula mediante la operación de diferenciación o derivación.

Definición de función contínua en un número.

Se dice que la función f es continua en el número a si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

null

Ejemplos: Determine si la función g es continua en x=3:

null

Teorema: Si f y g son contínuas en el número a, entonces:

null

Definición de la derivada de una función.

La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ´, tal que su valor en un número x del dominio de f está dado por:

null

Si x1 es un número particular del dominio de la función f, entonces:

null

Si tomamos en cuenta que:

null

Entonces:

null

Ejemplos:

  1. Determine la derivada de f si:

null

2. Determine la derivada de g si:

null

  1. Calcular g ´(0), g ´(1), g ´(2).

null

Diferenciabilidad y continuidad.

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f ´a partir de la función f. Si una función tiene una derivada en x1, se dice que la función es diferenciable en x1.

Si una función f es diferenciable en un número x1 de su dominio, entonces f es continua en x1.

Ejemplos:

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Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=0. No obstante:

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Por tanto la función es continua en x=0 pero no es diferenciable en dicho punto.

La siguiente gráfica ilustras este caso en el cual una función puede ser continua en un punto c de su dominio, pero no diferenciable.

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Definición de derivada lateral.

Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la derecha de f en x1, está definida por:

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Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la izquierda de f en x1,  está definida por:

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Una función f definida en un intervalo abierto que contiene a x1, es diferenciable en x1 si y solo si f ´+( x1)  y f ´-( x1)  existen y son iguales.

Ejemplos:

Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;

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Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:

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Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.

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Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:

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De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:

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Recta tangente y derivada.

Muchos problemas importantes en el Cálculo dependen de la determinación de la recta tangente de una función en un punto P específico de su gráfica.

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Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto P, se emplea el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Después de obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta tangente se determina por medio de dicha pendiente y el punto de tangencia.

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En otras palabras, para obtener la ecuación de la recta yt tangente a la curva y=f(x) en el punto x1, aplicamos el procedimiento siguiente:

  • Calcular el valor de la ordenada en el punto de tangencia, es decir, evaluamos f(x) en el punto x1 y obtenemos y1= f(x1). Sobre la gráfica esto significa localizar el punto P(x1, y1);
  • Calcular la derivada de f(x), también denotada como df/dx, en x1, lo que es equivalente a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y en el punto P(x1, y1); es decir f ´(x1)=m;
  • Aplicar la ecuación de la recta punto-pendiente: yt = y1+m(x x1).

Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta tangente a la curva y, en el punto de abscisa x=1.

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Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

Otros recursos:

Cuadernillo ANAYA. CCSS nº 3 Análisis II

Derivadas. solución

Ejercicios de la relación entre una función y su derivada

tabla de derivadas

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Ingeniería Eléctrica

Carga de un condensador – El capacitor: Un circuito abierto para la CD

Un capacitor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo eléctrico. Veremos la curva de carga del condensador, porque se dice que un capacitor es un circuito abierto para la corriente directa (CD).

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Un capacitor está compuesto por dos placas conductoras separadas por un aislante (también llamado dieléctrico). La Capacitancia es la razón entre la carga de una placa del capacitor y la diferencia de tensión entre las dos placas.

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Introducción.

La Capacitancia es una medida de la habilidad del capacitor para almacenar carga sobre sus placas. En otras palabras, la capacidad de almacenamiento del capacitor está expresada mediante su Capacitancia.

La Capacitancia C se mide en farads (F) en honor a Michael Faraday, quien descubrió experimentalmente la inducción electromagnética.

Cuando una fuente de tensión v se conecta al capacitor, como en la siguiente figura, deposita una carga positiva +q en una placa, y una carga negativa –q en la otra.

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Se dice que el capacitor almacena la carga eléctrica. El monto de carga almacenada q, es directamente proporcional a la tensión v aplicada, por lo tanto:

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Esta última ecuación también se conoce como relación carga-voltaje del capacitor.

Formalmente, la Capacitancia es la razón entre la carga de una placa del capacitor y la diferencia de tensión entre las dos placas:

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Por lo general el farad es una medida de Capacitancia demasiada grande para la mayoría de las aplicaciones prácticas, por lo que se utiliza más el microfarad (10-6) o el picofarad (10-12).

Relación corriente-voltaje del capacitor

Para obtener la relación de corriente-tensión del capacitor, primero es necesario estudiar la relación entre la carga q y la corriente i. Dicha relación viene dada por la ecuación:

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Para encontrar la carga q de las placas en el tiempo t se integra sobre todo el tiempo anterior:

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Utilizando el hecho de que q=Cv, obtenemos la relación voltaje-corriente del capacitor, ecuación (1), suponiendo un capacitor lineal, es decir, que no depende del valor de la tensión v en el tiempo:

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O sea:

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La ecuación (2) demuestra que la tensión del capacitor depende de la historia pasada de la corriente del capacitor. Por lo tanto, el capacitor tiene memoria, propiedad que se explota con frecuencia.

Suponiendo condiciones iniciales iguales a cero, la ecuación (2) conduce a  la relación corriente-voltaje del capacitor:

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Utilizando esta última ecuación, podemos graficar la relación corriente-voltaje del capacitor de la manera siguiente:

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Recomiendo leer la siguiente guía: Capacitores e Inductores – Circuitos y asociaciones

Modelo matemático de un circuito RC.

Para analizar y comprender el comportamiento de un capacitor en una red eléctrica, primero debemos obtener el modelo matemático de dicho sistema.

A continuación obtendremos el modelo del circuito más simple del cual puede formar parte un capacitor: Un circuito Resistencia-Capacitor (RC), excitado por una fuente de voltaje o de corriente directa. Obtendremos el modelo tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, utilizando el método clásico de resolver ecuaciones diferenciales para el caso del dominio del tiempo, y la Transformada de Laplace para el dominio de la frecuencia.

La tabla 1 ofrece un resumen de las relaciones voltaje-corriente, voltaje-carga, impedancia y admitancia, para los tres parámetros presentes en todo circuito eléctrico: Resistencia, Capacitor e Inductor.

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TABLA 1

En la Tabla 1 podemos comprobar que las relaciones entre voltaje y corriente pueden expresarse como funciones del tiempo ó, en el caso de los conceptos impedancia y admitancia, como funciones de la frecuencia. Abordaremos primero el análisis en el dominio del tiempo.

Dominio del tiempo

Para evitar el uso de integrales y obtener de manera práctica el modelo matemático del sistema en términos de ecuaciones diferenciales, utilizaremos el análisis de nodos en el esquema de un circuito eléctrico RC excitado por una fuente de corriente de la Figura 1 (el circuito RC de la Figura 1 puede ser representado fácilmente por una fuente de voltaje en serie con una resistencia. El modelo matemático resultado será el mismo:

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FIGURA 1

En el circuito de la Figura 1 se cumple que:

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Según la Tabla 1, o la ecuación (3) sustituimos en la ecuación (4) de la manera siguiente, tomando en cuenta además que vR(t)= vC(t):

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Reordenando y sustituyendo vC(t) por y(t) obtenemos:

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La ecuación (5) es el modelo matemático del sistema de la Figura 1 en el dominio del tiempo, también conocida como ecuación diferencial de entrada/salida del circuito considerando a y(t) como la salida.

Dominio de la frecuencia

Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (5):

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Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación (5) obtenemos el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia:

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La principal utilidad de determinar el modelo del sistema en el dominio de la frecuencia, es la posibilidad de obtener la función de transferencia del sistema Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada) a partir de la ecuación (6), considerando i(t) como la entrada y y(t) como la salida:

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La ecuación (7) es la Función de Transferencia del circuito de la Figura 1, considerando i(t) como la entrada y y(t) como la salida, y considerando las condiciones iniciales igual a cero. Supongamos ahora que R=1, C=1, entonces la ecuación (7) se reduce a:

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El Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Ahora que contamos con el modelo matemático, podemos elegir la representación en tiempo o en frecuencia para simular el comportamiento del circuito ante una entrada cualquiera.

Al contar con el modelo en frecuencia del sistema, Matlab nos ofrece la manera más práctica de hacer la simulación para una entrada escalón unitario (es decir, suponiendo que la fuente de corriente vale uno a partir de t=0 seg; condiciones iniciales iguales a cero), mediante el siguiente comando:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s+1);
>> step(G);

Lo que arroja la siguiente gráfica, la curva y(t) a medida que pasa el tiempo:

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Gráfica 1: Voltaje Vc(t) durante los primeros 9 segundos.

¿Cómo podemos interpretar el resultado de la gráfica 1? En pocas palabras, la Gráfica 1 nos muestra la curva de carga del condensador.

Volvamos al circuito de interés:

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Está claro que una entrada escalón, es decir, una fuente de corriente de valor 1 que no varía su valor con el tiempo, es una fuente CD. La gráfica 1 indica que en el tiempo t=0 seg, vC(t) =0 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el capacitor en el tiempo t=0 seg. Es decir, en este instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y i(t)= iC(t). En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Sin embargo, ya cuando el tiempo t=6 seg, vC(t) =1 volt. Esto significa que toda la corriente que proviene de la fuente pasa por el resistor en el tiempo t=6 seg. Es decir, en este instante, t=6 seg,  iC(t)=0 amp, y i(t)= iR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

Corriente en el Capacitor - Un circuito abierto para la CD

Para comprobar esta última aseveración, en vez de obtener la función de transferencia Y(s)/ I(s) (voltaje de capacitor Vs. corriente de entrada), podemos obtener Ic(s)/ I(s) (corriente del capacitor Vs. corriente de entrada). Para ello, consideramos de nuevo las ecuaciones (2) y (4):

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Por tanto:

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Podemos obtener el modelo en frecuencia aplicando directamente La Transformada de Laplace a la ecuación (8):

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Sustituyendo estos resultados en la ecuación (8) obtenemos:

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Así obtenemos la función de transferencia Ic(s)/ I(s):

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Supongamos que R=1, C=1, entonces la ecuación (9) se reduce a:

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Mediante el siguiente comando, obtenemos la curva de la salida iC(t) Vs la entrada i(t):

>> s=tf(‘s’);
>> G=s/(s+1);
>> step(G)

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Gráfica 2: Corriente del condensador. ic(t) durante los primeros 9 segundos.

La gráfica 2 corrobora que en el instante, t=0 seg, iR(t)=0 amp, y i(t)=iC(t)= 1 amp. En este instante, el capacitor es un corto circuito.

Mientras que en el tiempo t=6 seg, iC(t)=0 amp, y i(t)= iR(t). En este instante, el capacitor es un circuito abierto.

La constante de tiempo.

Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control. La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL, como es el caso de la ecuación (5), es una ecuación de primer orden. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ:

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La constante de tiempo τ de un circuito es el tiempo requerido para que la respuesta de un sistema a la entrada escalón, disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial.

Si graficamos vc(t) Vs ic(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

>> G=1/(s+1);
>> F=s/(s+1);
>> step(G,F);

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Gráfica 3. Curva de voltaje (azul) Vs corriente (rojo) del capacitor de un circuito RC en Fase de carga como respuesta a la función escalón.

Al revisar los valores de los parámetros se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 3 que vc(t) y ic(t se interceptan en t=τ=1 seg.

Recomiendo leer la siguiente guía: Capacitores e Inductores – Circuitos y asociaciones

SIGUIENTE:

Fuente:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
  4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  5. Getty Images

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