La probabilidad condicional de un evento A, dado un evento B con:
Está definida por:
Esta última ecuación especifica una nueva ley de probabilidad (condicional) en el mismo espacio muestral Ω. En particular, todas las propiedades de las leyes de probabilidad siguen siendo válidas para las leyes de probabilidad condicional.
- Las probabilidades condicionales también se pueden ver como una ley de probabilidad en un nuevo universo B, porque toda la probabilidad condicional se concentra en B.
- Si los posibles resultados son finitos e igualmente probables, entonces:
Explicación
La probabilidad condicional nos proporciona una forma de razonar sobre el resultado de un experimento, basado en información parcial. Aquí hay algunos ejemplos de situaciones que tenemos en mente:
- En un experimento que involucra dos tiradas sucesivas de un dado, le dicen que la suma de las dos tiradas es 9. ¿Qué tan probable es que la primera tirada fuera un 6?
- En un juego de adivinanzas de palabras, la primera letra de la palabra es una “t”. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda letra sea “h”?
- ¿Qué posibilidades hay de que una persona tenga una determinada enfermedad dado que un examen médico fue negativo?
- Aparece un punto en una pantalla de radar. ¿Qué tan probable es que corresponda a un avión?
En términos más precisos, dado un experimento, espacios de muestra correspondientes y una ley de probabilidad, supongamos que sabemos que el resultado está dentro de un evento dado B. Deseamos cuantificar la probabilidad de que el resultado también pertenezca a otro evento dado A. Por lo tanto, buscamos construir una nueva ley de probabilidad que tenga en cuenta el conocimiento disponible: una ley de probabilidad que para cualquier evento A, especifique la probabilidad condicional de A dado B, denotado por P (AIB)
Una definición apropiada de probabilidad condicional cuando todos los resultados son igualmente probables viene dada por:
Generalizando el argumento, presentamos la siguiente definición de probabilidad condicional:Dónde asumimos que:
La probabilidad condicional no está definida si el evento condicionante tiene probabilidad cero. En palabras, fuera de la probabilidad total de los elementos de B, P (AIB) es la fracción que se asigna a los posibles resultados que también pertenecen a A.
Fuentes:
- Introduction to probability (bertsekas, 2nd, 2008)
- Probability – The Science of Uncertainty and Data (MITx – 6.431x)
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