Solución Total de una Ecuación Diferencial con condiciones iniciales

Para hallar la solución total de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) debemos realizar los siguientes pasos:

1. Determinar la solución homogénea Y_h(t) ;
2. Evaluar la solución particular Y_p(t) para la señal de entrada dada
3. Hallar la solución total mediante la suma Y_h(t) + Y_p(t) ;
4. Solucionar el sistema de ecuaciones lineales obtenido a fin de satisfacer las condiciones iniciales dadas (Solución única).

Nota: Si tenemos una Ecuación Diferencial de orden n, necesitaremos n condiciones iniciales para determinar la solución única.

Ecuación Diferencial de orden superior.

1. Determinar la solución completa de la siguiente EDO:

Dónde:

RESPUESTA EJERCICIO 1.

La solución completa o total y_(t) para una EDO viene dada por:

Solución homogénea

Para hallar la solución homogénea Y_h(t)  suponemos F_(t)=0. Es decir:

Con los coeficientes de la ecuación anterior formamos el polinomio D_(p). Al igualar D_(p)=0, formamos una ecuación denominada ecuación característica:

Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:

Aplicando las reglas para hallar la solución homogénea Y_h(t) (ver Anexos), podemos determinar que:

Solución particular

Utilizando el polinomio D_(p) formamos la siguiente ecuación:

Es decir:

Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver anexo), podemos determinar Y_p(t)  como:

Solución Total

Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y_(t)  viene dada por:

Es decir:

Solución Única

Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C₁ , C₂ y C₃ utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico:

Resolviendo el sistema anterior obtenemos que:

Por tanto, la solución única es:

ANEXOS

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