Para hallar la solución total de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) debemos realizar los siguientes pasos:
- Determinar la solución homogénea Yh(t) ;
- Evaluar la solución particular Yp(t) para la señal de entrada dada
- Hallar la solución total mediante la suma Yh(t) + Yp(t) ;
- Solucionar el sistema de ecuaciones lineales obtenido a fin de satisfacer las condiciones iniciales dadas (Solución única).
Nota: Si tenemos una Ecuación Diferencial de orden
n, necesitaremos
n condiciones iniciales para determinar la solución única.
Ecuaciones diferenciales - Problemas resueltos - Catálogo
La respuesta completa o solución completa de una ecuación diferencial ordinaria (EDO – que involucra derivadas de una función de una sola variable)
está conformada por la suma de la respuesta transitoria y la respuesta permanente.
- Determinar la respuesta y(t) para la siguiente ecuación diferencial, con entrada x(t) y condiciones iniciales señaladas:
Ecuaciones diferenciales – Problemas resueltos – Catálogo
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Ecuación Diferencial de orden superior.
- Determinar la solución completa de la siguiente EDO:

Dónde:
RESPUESTA EJERCICIO 1.
La solución completa o total
y(t) para una EDO viene dada por:
Solución homogénea
Para hallar la solución homogénea
Yh(t) suponemos
F(t)=0. Es decir:

Con los coeficientes de la ecuación anterior formamos el polinomio
D(p). Al igualar
D(p)=0, formamos una ecuación denominada
ecuación característica:

Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:

Aplicando las reglas para hallar la solución homogénea
Yh(t) (ver Anexos), podemos determinar que:
Solución particular
Utilizando el polinomio
D(p) formamos la siguiente ecuación:

Es decir:

Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver anexo), podemos determinar
Yp(t) como:
Solución Total
Como se señaló anteriormente, la solución completa o total
Y(t) viene dada por:

Es decir:
Solución Única
Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes
C1 ,
C2 y
C3 utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico:

Resolviendo el sistema anterior obtenemos que:

Por tanto, la solución única es:
ANEXOS
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