Para hallar la solución total de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) debemos realizar los siguientes pasos:
- Determinar la solución homogénea Yh(t) ;
- Evaluar la solución particular Yp(t) para la señal de entrada dada
- Hallar la solución total mediante la suma Yh(t) + Yp(t) ;
- Solucionar el sistema de ecuaciones lineales obtenido a fin de satisfacer las condiciones iniciales dadas (Solución única).
Nota: Si tenemos una Ecuación Diferencial de orden n, necesitaremos n condiciones iniciales para determinar la solución única.
Ecuación Diferencial de orden superior.
- Determinar la solución completa de la siguiente EDO:
Dónde:
RESPUESTA EJERCICIO 1.
La solución completa o total y(t) para una EDO viene dada por:
Solución homogénea
Para hallar la solución homogénea Yh(t) suponemos F(t)=0. Es decir:
Con los coeficientes de la ecuación anterior formamos el polinomio D(p). Al igualar D(p)=0, formamos una ecuación denominada ecuación característica:
Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:
Aplicando las reglas para hallar la solución homogénea Yh(t) (ver Anexos), podemos determinar que:
Solución particular
Utilizando el polinomio D(p) formamos la siguiente ecuación:
Es decir:
Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver anexo), podemos determinar Yp(t) como:
Solución Total
Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y(t) viene dada por:
Es decir:
Solución Única
Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C1 , C2 y C3 utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico:
Resolviendo el sistema anterior obtenemos que:
Por tanto, la solución única es:
ANEXOS
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