Solución Total de una Ecuación Diferencial con condiciones iniciales

Para hallar la solución total de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) debemos realizar los siguientes pasos:

1. Determinar la solución homogénea Y_h(t) ;
2. Evaluar la solución particular Y_p(t) para la señal de entrada dada
3. Hallar la solución total mediante la suma Y_h(t) + Y_p(t) ;
4. Solucionar el sistema de ecuaciones lineales obtenido a fin de satisfacer las condiciones iniciales dadas (Solución única).

Nota: Si tenemos una Ecuación Diferencial de orden n, necesitaremos n condiciones iniciales para determinar la solución única.

Ecuaciones diferenciales - Problemas resueltos - Catálogo

La respuesta completa o solución completa de una ecuación diferencial ordinaria (EDO – que involucra derivadas de una función de una sola variable) está conformada por la suma de la respuesta transitoria y la respuesta permanente.

1. Determinar la respuesta y_(t) para la siguiente ecuación diferencial, con entrada x_(t)  y condiciones iniciales señaladas:

Ecuación Diferencial de orden superior.

1. Determinar la solución completa de la siguiente EDO:

Dónde:

RESPUESTA EJERCICIO 1.

La solución completa o total y_(t) para una EDO viene dada por: Solución homogénea Para hallar la solución homogénea Y_h(t)  suponemos F_(t)=0. Es decir: Con los coeficientes de la ecuación anterior formamos el polinomio D_(p). Al igualar D_(p)=0, formamos una ecuación denominada ecuación característica: Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son: Aplicando las reglas para hallar la solución homogénea Y_h(t) (ver Anexos), podemos determinar que: Solución particular Utilizando el polinomio D_(p) formamos la siguiente ecuación: Es decir: Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver anexo), podemos determinar Y_p(t)  como: Solución Total Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y_(t)  viene dada por: Es decir: Solución Única Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C₁ , C₂ y C₃ utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico: Resolviendo el sistema anterior obtenemos que: Por tanto, la solución única es:

ANEXOS

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – WhatsApp: +34 633129287 – Atención Inmediata!! Twitter: @dademuch Mentoring Académico / Emprendedores / Empresarial Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés) Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas. Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral. Contacto: España +34 633129287 Caracas, Valladolid, Quito, Guayaquil, Jaén, Villafranca de Ordizia.  WhatsApp: +34 633129287

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