La respuesta completa o solución completa de una ecuación diferencial ordinaria (EDO – que involucra derivadas de una función de una sola variable) está conformada por la suma de la respuesta transitoria y la respuesta permanente. La respuesta permanente es la solución asociada a una excitación F(t) del sistema. Es por ello que también se le conoce como respuesta forzada o solución particular. Cuando la excitación del sistema es nula, es decir F(t)=0, la respuesta del sistema se conoce como respuesta natural, transitoria, o solución homogénea.
Para hallar la solución total de una EDO debemos realizar los siguientes pasos:
- Determinar la solución homogénea Yh(t) ;
- Evaluar la solución particular Yp(t) para la señal de entrada dada
- Hallar la solución total mediante la suma Yh(t) + Yp(t) ;
- Solucionar el sistema de ecuaciones lineales obtenido a fin de satisfacer las condiciones iniciales dadas (Solución única).
Nota: Si tenemos una Ecuación Diferencial de orden n, necesitaremos n condiciones iniciales para determinar la solución única.
Presentamos a continuación tres ejemplos. El primero es un ejemplo para visualizar el método general de resolver ecuaciones diferenciales. Mientras, el segundo y el tercero están referidos al sistema masa-resorte-amortiguador en dos sistemas: MKS y sistema inglés. Las reglas utilizadas para resolver estas ecuaciones aparecen al final del artículo (Anexos).
Ecuación Diferencial de orden superior.
- Determinar la solución completa de la siguiente EDO:
Dónde:
RESPUESTA EJERCICIO 1.
La solución completa o total y(t) para una EDO viene dada por:
Solución homogénea
Para hallar la solución homogénea Yh(t) suponemos F(t)=0. Es decir:
Con los coeficientes de la ecuación anterior formamos el polinomio D(p). Al igualar D(p)=0, formamos una ecuación denominada ecuación característica:
Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:
Aplicando las reglas para hallar la solución homogénea Yh(t) (ver Anexos), podemos determinar que:
Solución particular
Utilizando el polinomio D(p) formamos la siguiente ecuación:
Es decir:
Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver Anexos), podemos determinar Yp(t) como:
Solución Total
Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y(t) viene dada por:
Es decir:
Solución Única
Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C1 , C2 y C3 utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico:
Resolviendo el sistema anterior obtenemos que:
Por tanto, la solución única es:
Ejemplos - Sistema masa, resorte, amortiguador.
La ecuación diferencial de segundo orden que representa el concepto de vibración mecánica de un sistema masa-resorte-amortiguador en particular, es la siguiente:
Donde:
2. Sistema MKS: Resolver el problema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales para el siguiente sistema de resorte-masa-amortiguador. Se sabe que un peso de 10 N alarga un resorte 2 metros. El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 6 N para una velocidad de 2 m/seg. Se fija el resorte un peso de 10 N y se suelta el resorte desde una posición de 2 m debajo de la posición de equilibrio. En el momento en que se suelta, el sistema tiene una velocidad de 1 m/seg.
3. Sistema Inglés: Se sabe que un peso de 5 libras alarga un resorte 1 pulgada. El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 0.02 libras para una velocidad de 2 pulg/seg. Se fija al resorte un peso de 2 libras y se suelta el resorte desde una posición de 2 pulgadas debajo de la posición de equilibrio. En el momento en que se suelta, el sistema tiene una velocidad de 1 pulg/seg.
Suponemos que en el tiempo t=0 la masa es jalada hacia abajo (sentido positivo). Luego, cada parte del enunciado del problema representa cada una de las fuerzas que intervienen en la ecuación (1). Aplicamos superposición una vez más y evaluamos cada fuerza por separado. Sustituimos los valores dados en el enunciado para hallar el valor de las constantes Ka, Kr y m.
RESPUESTA EJERCICIO 2.
- Sistema MKS:
Se sabe que un peso de 10 N (Fr) alarga el resorte 2 metros (y):
Dónde:
Por tanto:
El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 6 N (Fa) para una velocidad de 2 m/seg (va). Es decir:
Dónde:
Por tanto:
Se fija el resorte un peso de 10 N (w) y se suelta el resorte desde una posición de 2 m (y0) debajo de la posición de equilibrio. Es decir:
La ecuación diferencial de segundo orden que representa el concepto de vibración mecánica es la siguiente:
Solución homogénea
Para hallar la respuesta natural, suponemos F(t)=0, es decir:
La manera más práctica de resolver esta ecuación es reordenarla y expresarla en su forma estándar, es decir, como un polinomio en el cual el coeficiente de grado más alto (el que acompaña a la derivada más alta) es igual a uno.
Dividimos cada término del polinomio entre m, haciendo el primer coeficiente de la ecuación igual a 1:
Sustituyendo los valores del problema 2 en la anterior ecuación, obtenemos:
Aplicamos el operador P=dy/dt:
Debemos hallar ahora las raíces de la ecuación característica, las cuáles son:
Se puede afirmar que las soluciones asociadas a cada raíz vienen dadas por:
Solución particular
Utilizando el polinomio D(p) formamos la siguiente ecuación:
Es decir:
Aplicando las reglas para hallar la solución particular (ver Anexos), podemos determinar Yp(t) como:
Solución Total
Como se señaló anteriormente, la solución completa o total Y(t) viene dada por:
Es decir:
Solución Única
Para hallar la solución única debemos determinar el valor de las constantes C1 y C2 utilizando las condiciones iniciales para crear y resolver un sistema de ecuaciones típico.
Se suelta el resorte desde una posición de 2 m debajo de la posición de equilibrio. En el momento en que se suelta, el sistema tiene una velocidad de 1 m/seg. Es decir:
Utilizando la ecuación para la solución total y(t), obtenemos las siguientes ecuaciones del sistema para t=0:
De donde obtenemos que:
Por tanto la solución única según las condiciones iniciales, es:
RESPUESTA EJERCICIO 3
2. Sistema Inglés:
Se sabe que un peso de 5 libras (Fr) alarga el resorte 1 pulgada (y). Es decir:
De dónde:
Por tanto:
El mecanismo amortiguador ejerce una fuerza de 0.02 libras (Fa) para una velocidad de 2 pulg/seg (va). Es decir:
Dónde:
Por tanto:
Se fija el resorte un peso de 2 libras (w) y se suelta el resorte desde una posición de 2 pulgadas (y0) debajo de la posición de equilibrio. Es decir:
La ecuación diferencial de segundo orden que representa el concepto de vibración mecánica es la siguiente:
Para hallar la respuesta natural, suponemos F(t)=0, es decir:
La manera más práctica de resolver esta ecuación es reordenarla y expresarla en su forma estándar, es decir, como un polinomio en el cual el coeficiente de grado más alto (el que acompaña a la derivada más alta) es igual a uno.
Dividimos cada término del polinomio entre m, haciendo el primer coeficiente de la ecuación igual a 1:
Sustituyendo valores:
Es decir:
Aplicamos el operador p=dy/dt:
Calculamos las raíces que anulan el polinomio anterior (matlab):
Se puede afirmar que las soluciones asociadas a cada raíz (respuesta natural) vienen dadas por:
…En construcción…
ANEXOS
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