Matemática aplicada - Appd Math, Probabilidades

Modelo probabilístico – Axiomas.

Un modelo probabilístico es una descripción matemática de una situación incierta. Debe estar de acuerdo con un marco teórico fundamental que tenga dos ingredientes principales: null

Introducción

Un modelo probabilístico es una descripción cuantitativa de una situación, un fenómeno o un experimento cuyo resultado es incierto. Elaborar un modelo de este tipo implica dos pasos claves.

Primero, necesitamos describir los posibles resultados del experimento. Esto se hace especificando un Espacio Muestral del experimento y se denota con Ω.

En segundo lugar, especificamos una ley de probabilidad, que asigna probabilidades a los resultados o a colecciones de resultados. La ley de probabilidad nos dice, por ejemplo, si un resultado es mucho más probable que otro resultado.

Las probabilidades tienen que satisfacer ciertas propiedades básicas para ser significativas. Estos son los axiomas de la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, las probabilidades no pueden ser negativas. Curiosamente, habrá muy pocos axiomas, pero son poderosos y veremos que tienen muchas consecuencias. Veremos que implican muchas otras propiedades que no eran parte de los axiomas.

Espacio de muestra Ω y Evento (The sample space Ω)

Cada modelo probabilístico implica un proceso subyacente, llamado experimento, que producirá exactamente uno de varios resultados posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se denomina Espacio Muestral del experimento y se denota con Ω. Un subconjunto del espacio muestral, es decir, una recopilación de posibles resultados, se denomina Evento. Es importante tener en cuenta que en nuestra formulación de un modelo probabilístico, solo hay un experimento.

El espacio muestral de un experimento puede consistir en un número finito o infinito de resultados posibles. Los espacios muestrales finitos son conceptualmente y matemáticamente más simples. Aún así, los espacios muestrales con un número infinito de elementos son bastante comunes. Como ejemplo, considere lanzar un dardo sobre un objetivo cuadrado y ver el punto de impacto como resultado.

Independientemente de su número, los diferentes elementos del espacio muestral deben ser distintos y mutuamente excluyentes, de modo que, cuando se lleve a cabo el experimento, haya un resultado único.

Generalmente, el espacio muestral elegido para un modelo probabilístico debe ser colectivamente exhaustivo, en el sentido de que no importa lo que suceda en el experimento, siempre obtenemos un resultado que se ha incluido en el espacio muestral. Además, el espacio de muestra debe tener suficientes detalles para distinguir entre todos los resultados de interés para el modelador, mientras se evitan los detalles irrelevantes.

Para resumir: este conjunto denominado Espacio Muestral debe ser tal que, al final del experimento, siempre se pueda señalar uno y exactamente uno de los posibles resultados y decir que este es el resultado que se produjo. Los resultados físicamente diferentes deben distinguirse en el espacio muestral y corresponder a puntos distintos. Pero cuando decimos resultados físicamente diferentes, ¿qué queremos decir? Realmente queremos decir diferente en todos los aspectos relevantes, pero quizás no diferente en aspectos irrelevantes.

Leyes de Probabilidad

Supongamos que nos hemos asentado en el espacio muestral Ω asociado con un experimento en particular, proceso esbozado en el apartado anterior. Para completar el modelo probabilístico, ahora debemos introducir una Ley de Probabilidad.

Intuitivamente, una ley de probabilidad especifica la “probabilidad” de cualquier resultado , o de cualquier conjunto de posibles resultados (un evento, como lo llamamos antes) que forman parte del espacio muestral Ω. Más precisamente, la ley de probabilidad asigna a cada evento A, un número P (A), denominado probabilidad de A, que satisface los siguientes axiomas:

1. No negatividad.

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2. Aditividad. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces la probabilidad de su unión satisface lo siguiente:

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Más genéricamente, si el espacio muestral  tiene un número infinito de eventos y A1, A2, A3, A4,… es una secuencia de conjuntos disjuntos de eventos, entonces la probabilidad de su unión satisface lo siguiente:

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3. Normalización. La probabilidad de todo el espacio muestral  es igual a 1:

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Para visualizar en que consiste la ley de probabilidad, considere una unidad de masa que se “extiende” sobre todo el espacio muestral Ω. Entonces, P (A) es simplemente la masa total que fue asignada colectivamente a los elementos de A. En términos de esta analogía, el axioma de aditividad se vuelve bastante intuitivo: la masa total en una secuencia de eventos (o conjunto de eventos) separados es la suma de sus masas individuales

Hay muchas propiedades naturales que pueden derivarse de los anteriores enunciados. Por ejemplo, utilizando los axiomas de normalización y aditividad podemos encontrar la probabilidad del evento vacío (o conjunto vacío) P (Ø) como sigue

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Esto implica que:

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Modelo Discreto - Ley de probabilidad discreta

Si el espacio muestral consiste en un número finito de resultados posibles, entonces la ley de probabilidad se especifica por las probabilidades de los eventos que consisten en un solo elemento. En particular, la probabilidad de cualquier  evento {s1, s2, …., sn} es la suma de las probabilidades de cada uno de sus elementos:

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En el caso especial donde las probabilidades P(s1), P(s2), …, P(sn) son todas de un mismo valor, tomando en cuenta el axioma de normalización, obtenemos la siguiente ley.

Discrete Uniform Probability Law 

Si el espacio muestral consta de n resultados posibles que son igualmente probables (es decir, todos los eventos de un solo elemento tienen la misma probabilidad), la probabilidad de cualquier evento A nos es dada por:

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Modelo Continuo

Los modelos discretos son conceptualmente mucho más fáciles. Los modelos continuos implican algunos conceptos más sofisticados. Los modelos probabilísticos con espacio muestral continuo se diferencian de sus homólogos discretos en que las probabilidades de los eventos de un solo elemento pueden no ser suficientes para caracterizar la ley de probabilidad.

Propiedades de las leyes de probabilidad

Las leyes de probabilidad tienen una serie de propiedades, que pueden deducirse de los axiomas. Algunos de ellas se resumen a continuación.:

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El rol de la teoría de probabilidades.

La teoría de la probabilidad puede ser una herramienta muy útil para hacer predicciones y decisiones que se aplican al mundo real. Ahora, si sus predicciones y decisiones serán buenas dependerá de si ha elegido un buen modelo. ¿Has elegido un modelo que proporcione una representación suficientemente buena del mundo real? ¿Cómo se asegura de que este sea el caso? Existe todo un campo, el campo de las estadísticas, cuyo propósito es complementar la teoría de la probabilidad utilizando datos para obtener buenos modelos. Y así tenemos el siguiente diagrama que resume la relación entre el mundo real, las estadísticas y la probabilidad. El mundo real genera datos. El campo de estadística e inferencia utiliza estos datos para generar modelos probabilísticos. Una vez que tenemos un modelo probabilístico, utilizamos la teoría de la probabilidad y las herramientas de análisis que nos proporciona. Y los resultados que obtenemos de este análisis conducen a predicciones y decisiones sobre el mundo real. Video sugerido: Interpretation and uses of Probability

 

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Fuentes:

  1. Introduction to probability (bertsekas, 2nd, 2008)
  2. Probability – The Science of Uncertainty and Data (MITx – 6.431x)

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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