Dado el sistema de la Figura 1, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y un tiempo de establecimiento que sea 1/3 del sistema sin compensar.
Figura 1.
Primero, vamos a evaluar el desempeño del sistema sin compensar. El Lugar Geométrico de la Raíz del sistema sin compensar se muestra en la Figura 2:
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s*(s+4)*(s+6));
Figura 2.
Ya que un sobrepaso de 16% es equivalente a un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.504, buscamos a lo largo de la línea de amortiguamiento aquel punto que coincida con esta condición en la Figura 3:
>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);
Figura 3.
De acuerdo con la Figura 3, ajustando la ganancia a k=43.4 obtenemos ξ=0.504, un sobrepaso de 16% , y una frecuencia natural ω=2.39 rad/s.
Basándonos en una aproximación de segundo orden, podemos utilizar el criterio del 2%, y podemos calcular el tiempo de establecimiento Ts1 antes de la compensación, en función de la frecuencia natural ω y el factor de amortiguamiento ξ mediante la siguiente fórmula:
Sustituyendo los valores aportados por la simulación de la Figura 3 en la ecuación (1) obtenemos que:
Por otra parte, el valor del producto ω*ξ =1.2045 coincide con la parte real σ de los polos dominantes a lazo cerrado, lo que podemos constatar en la simulación de la Figura 3 ó mediante el siguiente comando en Matlab, tomando en cuenta que la función de transferencia directa es ahora G1:
>> G1=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G1,1)
>> damp(sys_antes)
El requerimiento de diseño, además de alcanzar un sobrepaso de 16%, es lograr una reducción del tiempo de establecimiento hasta 1/3 del original. Entonces, el tiempo de establecimiento Ts2 después de la compensación será:
Utilizando nuevamente la ecuación (1) en combinación con el resultado anterior, podemos saber que el valor del producto ω*ξ después de la compensación debería ser:
Es decir, la parte real de los polos dominantes a lazo cerrado después de la compensación es σ=3.6137. Para hallar la parte imaginaria wd de dichos polos, nos valemos del triángulo formado por ambas partes en el LGR de la Figura 4:
Figura 4.
Es decir, después de la compensación, para lograr las condiciones solicitadas, deseamos como polo dominante de segundo orden, aquel localizado en p=-3.6137+j6.1940.
Pero no debemos olvidar que se trata de una aproximación a un sistema de segundo orden, por lo que debemos utilizar el punto p como referencia.
La compensación PD consiste en añadir un controlador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:
Controlador que podemos implementar mediante la siguiente configuración:
Figura 5.
El próximo paso entonces es diseñar la localización del zero zc utilizando el punto p como referencia, y luego ver a que valores equivalen las ganancias k1 y k2.
Se deben sumar todos los ángulos aportados al diseño: el de los polos y zeros a lazo abierto antes de la compensación y el del punto de prueba p. El resultado es -275.6. La diferencia entre este resultado y 180 será la contribución requerida para el zero zc. Por lo tanto, la contribución angular requerida para el compensador zc es:
La geometría se muestra en la Figura 6, de donde podemos obtener la parte real zc para el compensador PD requerido mediante la siguiente fórmula:
Figura 6.
De donde:
Analizamos el LGR del sistema compensado en la Figura 7, tomando en cuenta que ahora la función de transferencia directa es G2:
>> G2=(s+3.006)/(s*(s+4)*(s+6));
>> rlocus(G2)
Figura 7.
De acuerdo con la Figura 8, ajustando la ganancia a k=47.4 (arrastrando el ratón con click derecho sobre el LGR) mantenemos ξ=0.504, un sobrepaso de 16% , el polo dominante de segundo orden deseado en s=-3.6137+j6.1940, a una frecuencia natural ω=7.17 rad/s.
>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);
Figura 8.
Con estos datos, analizamos el valor del tiempo de establecimiento Ts2 después de la compensación:
Lo que muestra que se ha cumplido con el objetivo. Mediante la Figura 9 podemos comparar la respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado antes y después de la compensación:
>> G=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> G3=(47.4*(s+3.006))/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G,1);
>> sys_despues=feedback(G3,1);
>> step(sys_antes,sys_despues)
Figura 9.
La respuesta mostrada en la Figura 9 permite evidenciar una considerable mejora en el tiempo de establecimiento y en general, la compensación permite contar con un sistema más rápido con un sobresalto que no varía mucho. Antes de la compensación, el tiempo de establecimiento a lazo cerrado es de Ts=3.4712 s. Luego de la compensación, a lazo cerrado obtenemos un Ts=1.1527 s.
Un proceso de diseño alternativo en Matlab
Utilice MATLAB y su “Control System Toobox“, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:
- Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
- Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
- En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
- En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
- Right-click en el espacio en blanco del LGR y seleccione Design Requirements/New . . .
- Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
- Right-click en el espacio en blanco del LGR y seleccione Design Requirements/New . . .
- Elija Settling time y click OK.
- Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
- Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
- Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
- Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
- Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
- Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
- Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.
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Fuente:
- Control Systems Engineering, Nise
Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
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