Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Controlador PD – Proporcional Diferencial – Sistemas de control

Analizamos el funcionamiento, diseño e implementación del controlador PD, Proporcional-plus-Diferencial. El controlador PD se utiliza principalmente para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control.

Compensación en Cascada - Controlador PD 

Ante la inconveniencia de cambiar la estructura física de la planta, y con el fin de cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control en su etapa transitoria, frecuentemente es necesario agregar polos y zeros a la función de transferencia directa de dicho sistema con el fin de obtener un Lugar Geométrico de las Raíces donde podamos seleccionar una ganancia que permita al sistema cumplir con las exigencias de diseño. Una manera de acelerar el sistema, que generalmente funciona de manera aceptable, es agregar un Zero en el camino de transferencia directa, justo antes de la planta y su controlador original.

Este Zero está representado por un compensador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:


Esta función, la suma de un diferenciador s y una ganancia pura Zc, es llamada compensación derivativa ideal  (ideal derivative compensation), o controlador PD (Proportional-Derivative). En resumen, una respuesta transitoria que no puede ser alcanzada con un simple ajuste de ganancia (controlador proporcional) puede ser obtenida aumentando la cantidad de zeros del sistema mediante un Controlador PD.

Vamos a utilizar el LGR de la Figura 3 para descubrir como trabaja un Controlador PD. En dicha figura tenemos un LGR para un sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) con realimentación unitaria, está dada por:

Si consideramos a K=1, los comandos para trabajar en Matlab serían:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G);

Figura 3. Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) para G(s)

Suponga que queremos operar el sistema de la Figura 3 con un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. La Figura 4 muestra que podemos lograr ese coeficiente de amortiguamiento con un simple ajuste de ganancia, para lo cual podemos utilizar un compensador proporcional que establezca una ganancia K=23.7:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado:

Figura 4. Localización en el LGR de ξ=0.4 a una ganancia K=23.7 

La Figura 5 nos muestra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado utilizando un controlador proporcional con una ganancia Kp=23.7, con lo que alcanzamos un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4 en el LGR del sistemaSe muestra además el valor de los parámetros más importantes de una respuesta transitoria:

>> G1=23.7/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys1=feedback(G1,1);
>> step(sys1);
>> stepinfo(sys1)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación.

Suponga ahora que queremos mantener el factor de amortiguamiento en el valor ξ=0.4, pero debemos mejorar el tiempo de alzamiento (rise time) y el tiempo de establecimiento (settling time). Es decir, queremos que el sistema sea más rápido. Esa tarea sería imposible utilizando sólo un controlador proporcional porque estamos limitados por el LGR del sistema según consta en las Figuras 3 y 4.

El sistema sin compensar, de la Figura 3, podría transformarse en un sistema compensado mediante la suma de un zero en s= -2. En la Figura 6 vemos como se transforma el LGR, utilizando un compensador en cascada (cascade compensator) cuya función de transferencia Gc(s) es:

>> G2=((s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G2);

Figura 6. LGR para el sistema compensado.

La Figura 7 nos muestra una vez más que podemos obtener un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. estableciendo una ganancia de K=51.2:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado::

Figura 7. Localización en el LGR de ξ=0.4

La Figura 8 ilustra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado que utiliza el controlador PD de función de transferencia Gc(s), en cascada con un controlador proporcional de ganancia Kp=51.2, con el fin de lograr un ξ=0.4. Se muestra además los parámetros de la respuesta transitoria obtenida:

>> G3=(51.2*(s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys2=feedback(G3,1);
>> step(sys2);
>> stepinfo(sys2)

Figur8 8. Respuesta al escalón unitario del sistema compensado a lazo cerrado. 

Manteniendo un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4, hemos mejorado el Tiempo de Levantamiento  (de 0.6841 s a 0.1955 s) y el Tiempo de Establecimiento  (de 3.7471 s a 1.1218 s). Sin embargo, lo hemos logrado a costa de un mayor Sobrepaso (de 23.3070 a 25.3568) y a costa de un pico más alto (de 0.8672 a 1.1420).

La Figura 9 compara las respuestas antes y después de la compensación PD:

>>step(sys1, sys2)

Figura 9. Respuesta al escalón unitario del sistema antes y después de la compensación.

La Figura 9 muestra también que el valor final del sistema compensado está más cerca del valor de referencia (1), por lo tanto el error en estado estable también ha mejorado después de la compensación PD (de 0.297 a 0.088). Sin embargo, los lectores no deben asumir que, en general, la mejora en la respuesta transitoria siempre produce una mejora en el error de estado estable.

Ahora que hemos visto lo que la compensación PD puede hacer, estamos preparados para diseñar nuestro propio compensador PD para cumplir con especificaciones específicas de diseño para la respuesta transitoria.

1) Dado el sistema de la Figura 10, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y una reducción considerable del tiempo de establecimiento.

Figure 10.

Ejercicio completo en el siguiente link: Diseño de un compensador PD para alcanzar un sobrepaso de 16%

Pero, cómo implementamos una compensación PD?

La compensación PD utilizada hasta ahora para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control, es implementada por un controlador PD (proportional-plus-derivative controller). En la Figura 11 se muestra una manera de implementar la compensación PD. La función de transferencia del controlador PD de la Figura 11 es:

Figure 11. Implementación del controlador PD.

En construcción…

Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

Escrito por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Twitter: @dademuch

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

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