Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Controlador PD – Proporcional Diferencial – Sistemas de control

Analizamos el funcionamiento, diseño e implementación del controlador PD, Proporcional-plus-Diferencial. El controlador PD se utiliza principalmente para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control.

Acción de control proporcional-derivativa.

La acción de control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante:

null

La función de transferencia de un controlador PD es:

nullLa acción proporcional-derivativa es un caso particular del controlador PID. Las acciones P, I y D están en paralelo (sumas), con una ganancia diferente, tal como se muestra en la Figura 1:

null

Figura 1

¿Qué efecto tiene la subida de la ganancia individual de cada una de las acciones de control en la respuesta temporal del sistema de control a una entrada escalón? Un resumen para responder esta pregunta se expone en la Figura 2:

null

Figura 2

En la práctica, en vez de definir tres ganancias individuales Kp, Ki y Kd, se suele usar una única ganancia Kp junto con dos nuevas constantes Ti y Td, denominadas constantes de tiempo integral y derivativo, respectivamente. Para el controlador PID, la función de transferencia Gc(s) es:

null

Como se había señalado al principio, en el caso de un controlador PD, la función de transferencia se reduce a:

null

Es decir, nuestro controlador PD tiene un cero en s=-1/Td. Podemos ver entonces, como ya se estudió en: Efecto de añadir un cero, que un controlador PD  al añadir un cero hace más estable el sistema. Además añade una nueva ganancia Kp. Por otra parte, mejora el amortiguamiento, y produce sistemas más rápidos (reduce el rise-time tr y el settlement-time ts) e incrementa el ancho de banda. La Figura 3 ilustra el efecto sobre la salida de un sistema de control el incorporar un controlador PD:

null

Figura 3

La acción del controlador PD también es conocida como control de velocidad, y su efecto inmediato es que la magnitud de la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de velocidad hace avanzar el efecto de la acción de control proporcional, lo que se ilustra en la Figura 4 cuando la señal de error e(t) es una rampa unitaria:

null

Figura 4

La acción de control derivativa D tiene un carácter de previsión. Por sí sola,  D responde a la velocidad de cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. Debido a que D opera sobre la velocidad de cambio del error y no sobre el error en sí mismo, el controlador D nunca se utiliza solo. Siempre se emplea junto con una acción de control proporcional (PD) o proporcional-integral (PID).

Ejemplo 1:

Considere un Sistema con una planta inestable con función de transferencia Gp(s):

null

Usando el enfoque del LGR diseñar un control proporcional-derivativo (determinar los valores de Kp y Td) tal que el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema en lazo cerrado sea 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada ωn sea 0.5 rad/seg.

Respuesta:

  1. Para describir cualitativamente el comportamiento de la planta, la incorporamos a un sistema de control elemental (realimentación unitaria) como el que se muestra en el siguiente diagrama de bloques, Figura 5:

null

Figura 5

Luego, observamos el Lugar Geométrico de sus Raíces (LGR) mediante el siguiente comando en Matlab (para un repaso de LGR ver: El LGR con Matlab):

>> G=tf([1],[10000 0 -11772])

>> rlocus(G)

>> grid

null

Figura 6

Podemos ver en la Figura 6 que para ganancias cercanas a 1, el sistema tiene raíces ubicadas en el lado derecho del plano s, por lo tanto se trata de un sistema inestable (para un repaso de estabilidad ver:Estabilidad ). Podemos además solicitar a Matlab las raíces de nuestra planta para la ganancia exactamente igual a 1 mediante:

>> pole(G)

ans =    1.0850     -1.0850

  1. Para alcanzar las especificaciones solicitadas (factor de amortiguamiento ζ=0.7 y frecuencia natural no amortiguada ωn =0.5 rad/seg.), introducimos en la función de transferencia directa un controlador PD, Figura 7:

null

Figura 7

La justificación de aplicar un controlador PD es que las especificaciones involucran a la respuesta transitoria, etapa en la cual la aplicación del controlador PD es ideal, según se concluye en la teoría.

  1. Para determinar analíticamente los valores de las constantes Kp y Td, procedemos con el análisis rutinario de los parámetros de la respuesta transitoria de todo sistema de control (Respuesta Transitoria ):

La Función de Transferencia a Lazo Cerrado Gce(s) de la Figura 7 es:

null

Gracias al análisis del sistema de control prototipo ( Prototipo), sabemos que Gce(s) se corresponde con la siguiente fórmula:

null

Es decir, a partir de la siguiente ordenación:

null

Podemos afirmar que:

null

De donde:

null

  1. Para determinar los valores de las constantes Kp y Td, también podemos utilizar las herramientas que aporta el Matlab Control System Toolbox, en especial el comando sisotool:

>> sisotool(G)

Ver respuesta en: Diseño de un Controlador PD utilizando SISOTOOL de Matlab

Ejemplo 2: otra forma de trabajar

Existen muchas formas de aproximarse al diseño de un controlador PD. Vamos a utilizar el LGR de la Figura 3 para descubrir como trabaja un Controlador PD. En dicha figura tenemos un LGR para un sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) con realimentación unitaria, está dada por:

Si consideramos a K=1, los comandos para trabajar en Matlab serían:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G);

Figura 3. Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) para G(s)

Suponga que queremos operar el sistema de la Figura 3 con un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. La Figura 4 muestra que podemos lograr ese coeficiente de amortiguamiento con un simple ajuste de ganancia, para lo cual podemos utilizar un compensador proporcional que establezca una ganancia K=23.7:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado:

Figura 4. Localización en el LGR de ξ=0.4 a una ganancia K=23.7 

La Figura 5 nos muestra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado utilizando un controlador proporcional con una ganancia Kp=23.7, con lo que alcanzamos un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4 en el LGR del sistemaSe muestra además el valor de los parámetros más importantes de una respuesta transitoria:

>> G1=23.7/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys1=feedback(G1,1);
>> step(sys1);
>> stepinfo(sys1)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación.

Suponga ahora que queremos mantener el factor de amortiguamiento en el valor ξ=0.4, pero debemos mejorar el tiempo de alzamiento (rise time) y el tiempo de establecimiento (settling time). Es decir, queremos que el sistema sea más rápido. Esa tarea sería imposible utilizando sólo un controlador proporcional porque estamos limitados por el LGR del sistema según consta en las Figuras 3 y 4.

El sistema sin compensar, de la Figura 3, podría transformarse en un sistema compensado mediante la suma de un zero en s= -2. En la Figura 6 vemos como se transforma el LGR, utilizando un compensador en cascada (cascade compensator) cuya función de transferencia Gc(s) es:

>> G2=((s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G2);

Figura 6. LGR para el sistema compensado.

La Figura 7 nos muestra una vez más que podemos obtener un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. estableciendo una ganancia de K=51.2:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado::

Figura 7. Localización en el LGR de ξ=0.4

La Figura 8 ilustra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado que utiliza el controlador PD de función de transferencia Gc(s), en cascada con un controlador proporcional de ganancia Kp=51.2, con el fin de lograr un ξ=0.4. Se muestra además los parámetros de la respuesta transitoria obtenida:

>> G3=(51.2*(s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys2=feedback(G3,1);
>> step(sys2);
>> stepinfo(sys2)

Figur8 8. Respuesta al escalón unitario del sistema compensado a lazo cerrado. 

Manteniendo un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4, hemos mejorado el Tiempo de Levantamiento  (de 0.6841 s a 0.1955 s) y el Tiempo de Establecimiento  (de 3.7471 s a 1.1218 s). Sin embargo, lo hemos logrado a costa de un mayor Sobrepaso (de 23.3070 a 25.3568) y a costa de un pico más alto (de 0.8672 a 1.1420).

La Figura 9 compara las respuestas antes y después de la compensación PD:

>>step(sys1, sys2)

Figura 9. Respuesta al escalón unitario del sistema antes y después de la compensación.

La Figura 9 muestra también que el valor final del sistema compensado está más cerca del valor de referencia (1), por lo tanto el error en estado estable también ha mejorado después de la compensación PD (de 0.297 a 0.088). Sin embargo, los lectores no deben asumir que, en general, la mejora en la respuesta transitoria siempre produce una mejora en el error de estado estable.

Ejemplo 3:

1) Dado el sistema de la Figura 10, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y una reducción considerable del tiempo de establecimiento.

Figure 10.

Ejercicio completo en el siguiente link: Diseño de un compensador PD para alcanzar un sobrepaso de 16%

Fuente:

  1. Ingeniería de Control Moderno 3ra. Ed. Katsuhiro Ogata.
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. 4 PD, PI, PID

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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