Respuesta transitoria de un sistema de control de posición – Servomotores – Simulación en Matlab

Para el estudio de la respuesta transitoria de un sistema de control, lo más conveniente es contar con la representación prototipo. Es decir, si tenemos el modelo matemático de un sistema, debemos representar dicho sistema mediante un diagrama de bloques donde esté claramente expresada la función de transferencia directa G_(s) y una realimentación negativa unitaria como se ilustra en la Figura 1:

Ya sabemos que la función de transferencia a lazo cerrado C_(s)/R_(s)  del sistema de control de la Figura 1 se determina mediante la siguiente fórmula:

Denominamos a C_(s)/R_(s) “modelo prototipo” (o configuración prototipo), cuando tiene la siguiente forma:

 

Dónde:

Otra forma de verlo es:

Para el análisis de la respuesta transitoria es conveniente escribir:

Donde  σ es denominado atenuación; el factor actual de amortiguamiento B y el factor de amortiguamiento crítico Bc que es igual a dos veces la raíz cuadrada de JK:

Para más teoría sobre respuesta transitoria ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Respuesta transitoria de un sistema de control de posición

Aplicaremos esta teoría al modelo para el sistema de control de posición deducido anteriormente, cuyo esquema se ilustra en la Figura 2:

Figura 2. Sistema de Control de posición. 

Para el sistema de la Figura 2 hemos desarrollado el siguiente diagrama de bloques:

Como podemos ver en la Figura 3, la función de transferencia directa G_(s)  que utilizaremos para determinar el modelo prototipo y a partir de allí analizar la respuesta transitoria, es:

Dónde:

Mientras que:

Dónde:

Estas funciones han sido deducidas en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

Antes de determinar la ecuación prototipo (representación prototipo) para el sistema de seguimiento de la Figura 2, equivalente a la ecuación (1), considere los siguientes valores para los parámetros de la función G_(s):

Sustituimos estos valores en la ecuación (2), despejamos convenientemente y obtenemos la función de transferencia directa G_(s) evaluada en el punto de operación de interés en el cual funciona el sistema de seguimiento de la Figura 2:

 

Con este resultado actualizamos el diagrama de bloques de la Figura 3:

El diagrama de bloques de la Figura 4 ya nos permite utilizar Matlab para evaluar la respuesta transitoria del sistema a una entrada escalón unitario. Sin embargo, podemos calcular dicha respuesta de forma analítica utilizando las ecuaciones (3) y (4), y el modelo prototipo de la ecuación (1):

La ecuación (5) es el equivalente de la ecuación (1) para el sistema de seguimiento de la Figura 2. Entonces, podemos asegurar que la frecuencia natural ω_n y el factor de amortiguamiento relativo ζ de dicho sistema son:

Este resultado para el valor del factor de amortiguamiento relativo ζ indica que estamos en presencia de un sistema subamortiguado.

En base a los resultados obtenidos para la frecuencia natural ω_n y el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema de control de la Figura 2, podemos evaluar los parámetros de la respuesta transitoria del sistema para una entrada escalón unitario

Para ver la teoría relacionada ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control. De acuerdo con este documento, se presentan ahora los parámetros de importancia en la respuesta transitoria de un sistema a una entrada escalón unitario, y de inmediato se evalúa cada parámetro para el sistema de interés:

• Sobrepaso máximo (Mp)

• Tiempo de asentamiento (Ts)

• Tiempo de retardo (Td)

Simulación en Matlab

Podemos corroborar estos resultados mediante la simulación en Matlab. Para obtener la respuesta transitoria al escalón unitario del sistema de la Figura 2, ejecutamos los siguientes comandos:

>> numg=5.5;

>> deng=conv([1 0],[0.13 1]);

>> G=tf(numg,deng)

>> sys=feedback(G,1)

>> step(sys)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema de seguimiento.

La gráfica de la Figura 5 nos una respuesta deseable. Es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento ζ entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de ζ (ζ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto ζ (ζ>0.8) responde de manera muy lenta. En este ejemplo, resulta aceptable el valor de ζ=0.59. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

La respuesta además es bastante rápida (0.22 segundos), y apenas con 10% de sobrepaso. Por último, a medida que pasa el tiempo, la respuesta tiende a uno como valor final, lo que anticipa un error en estado estacionario igual a cero. Esto indica que la salida sigue a la señal de referencia, es decir, la carga estará ubicada en el punto que desea el operador del sistema al indicar él  mismo, mediante el potenciómetro de entrada, dicho valor de referencia.

La información sobre los parámetros de importancia los podemos obtener mediante el siguiente comando:

>> stepinfo(sys)

SettlingTime: 0.9111

Overshoot: 9.9906

En  la Figura 6 podemos observar en la gráfica la ubicación de los valores anteriores:

Se puede ver que los resultados de la simulación son bastante parecidos a los obtenidos analíticamente. Utilizando la función damp(), podremos encontrar los valores del coeficiente de amortiguamiento ζ , la constante de tiempo τ y el de la frecuencia natural ω_n:

>> damp(sys)

Pole                                       Damping           Frequency Time             Constant
(rad/seconds)                    (seconds)
-3.85e+00 + 5.25e+00i         5.91e-01                 6.50e+00                        2.60e-01
-3.85e+00  – 5.25e+00i         5.91e-01                 6.50e+00                        2.60e-01

Por su parte, se puede ver que los resultados de la simulación para la frecuencia natural ω_n y el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema, son exactamente iguales a los obtenidos analíticamente.

Relacionado:

• Sistema de control de posición con realimentación de velocidad
• Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab
• Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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