Ingeniería Eléctrica

Representación Fasorial de corrientes y voltajes – Fasores

Un fasor es un número complejo que representa la magnitud y la fase de una senoide. Los fasores tienen la forma siguiente:El método más corto para sumar voltajes y corrientes alternos, es el que utiliza el vector radial en rotación. A este vector radial se le llama fasor en ingeniería eléctrica, y tiene magnitud constante con un extremo fijo en el origen.

Los circuitos de voltaje y corriente alterna son excitados por fuentes senoidales. Una senoide es una señal que tiene la forma de la función seno o coseno. La senoide representa la forma más frecuente en la naturaleza, de allí su importancia.

Voltaje

Una tensión senoidal tiene la forma siguiente en el dominio temporal:

Donde Vm es la amplitud máxima de V(t) medida en voltios, ω es la frecuencia angular medida en radianes por segundo, t es el tiempo medido en segundos, y Ø es el ángulo de fase de la tensión senoidal medido en grados con respecto a la tensión o corriente de referencia, tal como se muestra en la Figura (1):

Figura 1

Para ver un fasor en operación, supongamos que queremos sumar dos voltajes que varían en el tiempo, V1(t) y V2(t), los cuáles están representados matemáticamente por las siguientes expresiones:

Podemos apreciar que ambas señales son sinusoidales. Que V1(t)  tiene una amplitud máxima de 2 V, mientras que V2(t) tiene una amplitud máxima de 1 V. Además, entre ambas señales hay un desfase de 90 grados. La trigonometría nos permite saber que la suma de ambos voltajes da como resultado:

La ventaja que ofrece el uso de fasores es que la operación anterior la podemos realizar como suma de vectores, como se muestra a continuación.

Para poder graficar estas señales debemos tomar una “fotografía instantánea” en algún momento específico. Supongamos que ese momento es el tiempo t=0 s. En ese instante, ambas señales cruzan el eje vertical. Las magnitudes de ambas señales son V1(0) =2 V, mientras que V2(0)=0 V. La curva de cada uno de los voltajes, así como la curva de su suma,  pueden ser representadas mediante tres fasores detenidos en el instante t=0 segundos, en un diagrama denominado diagrama fasorialcomo se muestra a la izquierda en la Figura 2:

Figura 2. A la izquierda se observa el diagrama fasorial de la operación en un instante t=0 s. A la derecha se observa la forma de curva de cada señal, y su suma, en función de ωt.

Es necesario recalcar que en una simulación en tiempo real, los fasores rotan. Para que la suma, la resta, la multiplicación o división de dos fasores tenga sentido, ambos deben rotar a la misma frecuencia. Es decir, todas las señales implicadas en la operación fasorial deben tener la misma frecuencia.

Algebra de números complejos (fasores)

El marco teórico del álgebra de fasores es el álgebra de los números complejos. En la Figura (2) los fasores tienen la forma siguiente, conocida como forma exponencial:Donde la letra A en negrita indica que se trata de un vector (un fasor), mientras que A sin negritas, representa la magnitud del vector, y Ø es el ángulo que forma el vector con el eje de la abscisa, tal como se muestra en la Figura (3):

Figura 3

En ingeniería eléctrica se acostumbra utilizar la siguiente notación fasorial, conocida como forma polar:

En el caso del voltaje (o la corriente), la transformación fasorial se manifiesta de la siguiente manera:

Utilizando la forma polar y regresando a nuestro ejemplo, los voltajes V1(t) y V2(t), y su suma Vl(t),  se representan de la siguiente manera en el dominio fasorial:

Notar que hemos retirado la t del subíndice de la variable Vl  ya que hemos pasado del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Será más evidente esto cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito.

La forma polar es ideal para realizar multiplicación y división, pero no lo es para suma y resta. Otra manera de representar el fasor es mediante la forma rectangular:

Dónde a=Acos(Ø) se conoce como la parte real, mientras que b=Asen(Ø)  se conoce como la parte imaginaria, como se muestra en la Figura (4):

Figura 4

Al transformar de su forma polar a su forma rectangular los voltajes V1(t) y V2(t), obtenemos los siguiente:

Ahora la suma de V1(t) y V2(t) se ejecuta fácilmente, según la regla que indica sumar las partes reales e imaginarias por separado:

Para obtener la forma polar de Vl(t),  a partir de su forma rectangular, consideramos la siguiente regla:

Por tanto:

Corrientes

Como segundo ejemplo se calculará el valor para i(t) de la red de la Figura (5):

Figura 5

Sabiendo que:

Respuesta:

Cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, veremos que la corriente que atraviesa una impedancia inductiva se atrasa con respecto al voltaje en los extremos de la impedancia. En el caso de una impedancia capacitiva, la corriente se adelanta al voltaje sobre la impedancia. Y en el caso de una impedancia puramente resistiva, la corriente y el voltaje están en fase. Esto explica los signos de los ángulos de fase de las corrientes en nuestro ejercicio considerando que el voltaje v(t) es el voltaje de referencia. En notación polar:

Para ejecutar la suma, transformamos la forma polar a la forma rectangular:

Luego:

En conclusión, en coordenadas rectangulares:

Y en coordenadas polares:

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de Sistemas Lineales asisitido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas
  5. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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3 comentarios en “Representación Fasorial de corrientes y voltajes – Fasores”

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