Análisis de sistemas de control, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Ejercicio de dinámica y variables de estado de sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar las ecuaciones de la dinámica del sistema mostrado en la siguiente figura:
Vehículo jala remolque mediante acoplamiento resorte-amortiguador.
Se definen los siguientes parámetros: es la masa del remolque, bh es el coeficiente de fricción de amortiguación del acoplamiento, kh es la constante del resorte del acoplamiento, bt es el coeficiente de fricción viscosa del remolque,  x1(t) es el desplazamiento del vehículo remolcador, x2(t) es el desplazamiento del remolque, y f(t)  es la fuerza del vehículo remolcador.
  1. Ecuaciones del sistema
Dónde m1 es la masa del punto 1 donde se concentra la fuerza del remolque, por ello se considera de masa=0. De allí obtenemos la ecuación (1) del sistema: Por otra parte: Dónde es la masa del remolque. De aquí obtenemos la ecuación (2) del sistema: Se han formulado las ecuaciones en este orden con el fin de facilitar la determinación de las variables de estado y el arreglo matricial que permita encontrar rápidamente la función de transferencia del sistema. Para mayor información teórica sobre este tema ver: Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador 2. Variables de estado Definición de variables de estado : El siguiente paso consiste en encontrar en función de las variables de estado definidas: Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) para sustituir, despejar y completar estas últimas relaciones: Si la salida del sistema es x2(t), la entrada es f(t), y debemos obtener la función de transferencia X2(s)/F(s), lo más práctico es utilizar dx2(t)/dt como salida (ya que la tenemos de una vez despejada en la definición de variables de estado) y luego despejar X2(s). Es decir, calculamos la velocidad y luego integramos para hallar el desplazamiento, aprovechando el hecho de que el resultado que obtendremos estará expresado en el dominio de la frecuencia, y en ese caso la integración es una simple operación algebraica, tal como lo muestra la siguiente figura:Así, utilizando las ecuaciones (3) y (4), la representación matricial del sistema es: null 3. Transformar la Representación Matricial en Función de Transferencia La anterior representación matricial del sistema tiene la forma:Dónde:

Recordando que la transformada de Laplace de la salida es:De la teoría de sistemas de control se extrae que:Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace. Entonces:Buscando ayuda en Matlab: >> s=sym(‘s’) >>Kh=sym(‘Kh’) …… // declarar todas las variables >> sIA= [s+(Kh/Bh) 0;0 s+(Bt/m)] >> C=[0 1] >> B= [1/Bh;1/m] >> V=(sIA)^-1 >> G=C*V*B G = 1/(Bt + m*s) Por tanto:Se confirma que: null Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: Representación de un sistema en variables de estado Para ejecutar este mismo ejercicio utilizando Transformada de Laplace y Función de Transferencia, ver: Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguador Fuente: Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo

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2 comentarios en “Ejercicio de dinámica y variables de estado de sistema masa-resorte-amortiguador”

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