Análisis de sistemas de control, Dinámica de sistemas, Ingeniería Mecánica

Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguador

Determinar las ecuaciones de la dinámica del sistema mostrado en la siguiente figura:
Vehículo jala remolque mediante acoplamiento resorte-amortiguador.
Se definen los siguientes parámetros: es la masa del remolque, bh es el coeficiente de fricción de amortiguación del acoplamiento, kh es la constante del resorte del acoplamiento, bt es el coeficiente de fricción viscosa del remolque,  x1(t) es el desplazamiento del vehículo remolcador, x2(t) es el desplazamiento del remolque, y f(t)  es la fuerza del vehículo remolcador.
  1. Ecuaciones del sistema
Dónde m1 es la masa del punto 1 donde se concentra la fuerza del remolque, por ello se considera de masa=0. De allí obtenemos la ecuación (1) del sistema: Por otra parte: Dónde es la masa del remolque. De aquí obtenemos la ecuación (2) del sistema: Se han formulado las ecuaciones en este orden con el fin facilitar la determinación de la transformada de Laplace y el arreglo matricial que permita encontrar rápidamente la función de transferencia del sistema. Para mayor información teórica sobre este tema ver: Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador 2. Transformada de Laplace Utilizando las ecuaciones (1) y (2), podemos dibujar el diagrama de cuerpo libre para cada elemento de movimiento X1 y Xrespectivamente: El punto 1 es el punto de unión entre el vehículo y el acoplamiento. Luego: Así obtenemos las ecuaciones siguientes: Aplicando propiedad asociativa: Para revisar la teoría sobre Transformada de Laplace ver: La Transformada de Laplace 3. Función de Transferencia En forma de matriz, las ecuaciones anteriores se expresan como: Que tiene la forma: Si el objetivo fuera encontrar la función de transferencia G(s):Entonces al aplicar álgebra lineal a la matriz anterior obtenemos que: Dónde: Mientras que: Por tanto: De donde: Factorizando: Simplificando, obtenemos: Para revisar la teoría sobre Función de Transferencia ver: La Función de Transferencia Para ejecutar el mismo ejercicio utilizando Variables de Estado, ver: Ejercicio de dinámica y variables de estado Fuente: Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo

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