Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguador

Determinar las ecuaciones de la dinámica del sistema mostrado en la siguiente figura:

Se definen los siguientes parámetros: m es la masa del remolque, b_h es el coeficiente de fricción de amortiguación del acoplamiento, k_h es la constante del resorte del acoplamiento, b_t es el coeficiente de fricción viscosa del remolque,  x_1(t) es el desplazamiento del vehículo remolcador, x_2(t) es el desplazamiento del remolque, y f_(t)  es la fuerza del vehículo remolcador.

1. Ecuaciones del sistema

Dónde m₁ es la masa del punto 1 donde se concentra la fuerza del remolque, por ello se considera de masa=0. De allí obtenemos la ecuación (1) del sistema: Por otra parte: Dónde m es la masa del remolque. De aquí obtenemos la ecuación (2) del sistema: Se han formulado las ecuaciones en este orden con el fin facilitar la determinación de la transformada de Laplace y el arreglo matricial que permita encontrar rápidamente la función de transferencia del sistema. Para mayor información teórica sobre este tema ver: Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador 2. Transformada de Laplace Utilizando las ecuaciones (1) y (2), podemos dibujar el diagrama de cuerpo libre para cada elemento de movimiento X₁ y X₂ respectivamente: El punto 1 es el punto de unión entre el vehículo y el acoplamiento. Luego: Así obtenemos las ecuaciones siguientes: Aplicando propiedad asociativa: Para revisar la teoría sobre Transformada de Laplace ver: La Transformada de Laplace 3. Función de Transferencia En forma de matriz, las ecuaciones anteriores se expresan como: Que tiene la forma: Si el objetivo fuera encontrar la función de transferencia G_(s):Entonces al aplicar álgebra lineal a la matriz anterior obtenemos que: Dónde: Mientras que: Por tanto: De donde: Factorizando: Simplificando, obtenemos: Para revisar la teoría sobre Función de Transferencia ver: La Función de Transferencia Para ejecutar el mismo ejercicio utilizando Variables de Estado, ver: Ejercicio de dinámica y variables de estado Fuente: Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo

Revisión literaria hecha por:

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