Un buen ejemplo de un amplificador proporcional es un Amplificador Operacional con realimentación negativa resistiva pura y configuración de inversor tal como se muestra en la Figura 2.7a.
Los Amplificadores Operacionales, con frecuencia llamados Op Amps, son ampliamente utilizados para amplificar señales en circuitos que funcionan como sensores. La Función de Transferencia del Amplificador Operacional se muestra en la Figura 2.7b con el nombre de G2:
Otra configuración de esta clase se muestra en la Tabla 3-1 con su función de transferencia:
Table 3-1
Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
Hallar la función de transferencia del sistema formado por un Motor DC y su carga, como se muestra en la Figura 1:
Figura 1. Motor DC con su carga.
Dinámica del sistema
Considerando que:
La dinámica de este sistema es la siguiente:
Transformada de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a este sistema de ecuaciones obtenemos:
Función de transferencia
La función de transferencia directa del motor Gm(s), donde:
la obtenemos mediante el siguiente procedimiento. Sustituimos la ecuación (6) en (9) y luego despejamos Ia(s):
Luego, sustituimos este resultado y la ecuación (8) en la ecuación (7):
Es decir:
De donde obtenemos Gm(s), la función de transferencia directa del motor:
Utilizando las ecuaciones (10) y (11), podemos representar el sistema de la Figura 1 mediante el siguiente diagrama de bloques:
Para ilustrar el caso de un lazo cerrado, presentamos ahora el siguiente ejemplo, donde el motor DC y su carga se incorporan a un sistema de control de posición.
Hallar la función de transferencia del sistema de seguimiento de la la Figura 2:
Con estas últimas y las ecuaciones del sistema motor-carga, podemos asegurar que la función de transferencia θL(s)/ θr(s) del sistema de seguimiento de la Figura 2, y su diagrama de bloques, son:
Figura 3. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 2.
La dinámica de un Motor DC es determinada por un conjunto de ecuaciones que gobiernan su comportamiento. Obtener estas ecuaciones requiere la aplicación de leyes de mecánica, principios de electricidad y conocimiento de campo magnético. Especialmente, implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio. Para echar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.
Las ecuaciones de un Motor DC a lazo abierto son:
Deducción a partir de principios físicos
Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. El caso más frecuente es el control por corriente (o voltaje) de armadura. Haciendo referencia a la Figura 1, un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Este flujo Φ es generado a su vez por una corriente de campo if que se supone constante (de allí deriva el nombre de Motor DC o motor de corriente continua).
Figura 1. Motor DC a lazo abierto. a) Esquema general; b) Diagrama de bloques.
El motor es controlado por un voltaje ea(t)aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando el método de análisis de circuitos eléctricos de Kirchhoff al circuito de la Figura 1.a , deducimos la primera ecuación importante del sistema:
Donde Lay Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.
La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente ia(t). Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia(t)donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm(t) que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia(t). De esta suposición obtenemos la siguiente ecuación del sistema:
Donde Km es constante. Como hemos dicho que Φ también es constante, el factor Km*Φde la ecuación anterior se reduce a una constante denominada Ki. De esta manera, dicha ecuación se reduce a:
DondeKies La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki,con frecuencia denominada también Kt, viene en N-m/A.
Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde ifes la corriente de campo.
Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando el conductor (o bobina) de la armadura se mueve en ángulos rectos a través del campo magnético Φ,se genera un voltaje vb(t) en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en su bobina es proporcional a la velocidad ωm(t) de rotación de la armadura. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:
Dónde:
Denominamos a vb(t) la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kb es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf.
Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotrizvb(t), provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.
Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:
Donde Jm es el momento inercial (inercia) del rotor, y bm es el coeficiente de fricción viscosa del motor.
Es importante recalcar que estamos definiendo las ecuaciones del motor “a lazo abierto”, es decir, sin realimentación. Por tanto, hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:
dónde:
Obtención del diagrama de bloques del sistema
Para representar la dinámica del Motor DC en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace al sistema de ecuaciones obtenidas anteriormente.
Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:
Para elaborar el diagrama de bloques del motor DC a lazo abierto a partir de este sistema de ecuaciones, empezamos dibujando el diagrama de bloques para la salida θm(s), luego mediante un integrador obtenemos Ωm(s):
Paso siguiente, despejamos Ωm(s) de la ecuación (1) y agregamos este resultado de manera conveniente al diagrama de bloques:
Ahora, podemos obtener Tm(s) directamente de la ecuación (4), y seguimos agregando bloques al diagrama de bloques del sistema:
Por último, utilizamos las ecuaciones (2) y (3) para despejar y obtener la expresión para Ia(s):
De esta manera, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s)como la salida, se representa el sistema a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:
Figura 2. Diagrama de bloques de un Motor DC a lazo abierto.
Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a KbΩm(s), genera un lazo realimentado negativo que tiende a estabilizar el sistema.
Función de Transferencia del motor DC a lazo abierto
A continuación, vamos a deducir La Función de Transferencia Gm(s)a lazo abierto de un Motor DC. Dicha función la podemos obtener reduciendo el diagrama de bloques del sistema, Figura 2.
En primer lugar, reducimos los bloques que están en cascada a uno solo:
Luego, reducimos la realimentación negativa, aplicando la siguiente regla:
Dónde:
Entonces:
Es decir:
Al reducir el diagrama de bloques, obtenemos:
De donde podemos deducir fácilmente la Función de Transferencia Gm(s)para un Motor DC a lazo abierto, la cual es:
El cociente θm(s)/Ea(s) es conocido como Función de Transferencia Directa Gm(s).
El Motor DC a lazo cerrado
El Servomotor DC controlado por armadura es ampliamente utilizado en sistemas electromecánicos. La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la Figura 2.15 mediante un diagrama de bloques, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. Mientras, en la Figura 4-38 se muestra el motor DC funcionando en lazo cerrado, es decir, con realimentación, formando parte de un sistema de control de posición. Cuando el motor DC forma parte de un mecanismo de control de posición, como este último caso, se denomina “Servomotor”.
A continuación analizamos el caso frecuente donde el Motor DC funciona como parte de un sistema a lazo cerrado denominado Sistema de Control de Posición:
Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
Control Systems Engineering, Nise
Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
dinamica_de_sistemas
Atención:
Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.
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INDICE
Capítulo 1———————————————————- 1
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
Capítulo 2———————————————————- 51
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
Capítulo 3———————————————————- 76
Sistema Mecánico con engranajes
Capítulo 4———————————————————- 89
Sistema eléctrico, electrónico
Capítulo 5———————————————————-114
Sistema Electromecánico – Motor DC
Capítulo 6——————————————————— 144
Sistema del nivel de líquido
Capítulo 7——————————————————— 154
Linealización de sistemas no lineales
Revisión literaria hecha por:
Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
La derivada del desplazamiento angular de salida del motor dθm(s)/dt, se realimenta negativamente a la entrada del sistema para mejorar el desempeño. En este caso se utiliza un tacómetro en lugar de diferenciar físicamente θm(s).
El sistema de seguimiento de la Figura 1 con realimentación tacométrica tendrá entonces el siguiente diagrama de bloques:
Figura 3. Diagrama de bloques del Sistema de seguimiento con realimentación de velocidad.
Dónde kt es la constante de ganancia del tacómetro. Reduciendo la realimentación negativa interna obtenemos el diagrama de la Figura 4:
Figura 4.
De esta manera obtenemos la Función de Transferencia Directa Gm(s) del sistema de control de posición con realimentación de velocidad:
Figura 5.
Comparación de la respuesta transitoria del sistema antes y después de la realimentación de velocidad.
En construcción…
Breve reseña sobre El Tacómetro.
Al igual que los potenciómetros, los tacómetros son dispositivos electromecánicos que convierten energía mecánica en energía eléctrica. Trabaja esencialmente como un generador de voltaje, con la salida de voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular del eje de entrada. La Figura 4-33 refleja el uso común de un tacómetro en un sistema de control de velocidad:
La dinámica del tacómetro se puede representar como:
Donde et(t) es el voltaje de salida, θ(t)es el desplazamiento del motor en radianes, ω(t)es la velocidad del rotor en rad/s, y Kt es la constante del tacómetro. Luego, términos del desplazamiento del motor:
Para el estudio de la respuesta transitoria de un sistema de control, lo más conveniente es contar con la representación prototipo. Es decir, si tenemos el modelo matemático de un sistema, debemos representar dicho sistema mediante un diagrama de bloques donde esté claramente expresada la función de transferencia directa G(s) y una realimentación negativa unitaria como se ilustra en la Figura 1:
Figura 1. Sistema de control con realimentación unitaria
Ya sabemos que la función de transferencia a lazo cerrado C(s)/R(s) del sistema de control de la Figura 1 se determina mediante la siguiente fórmula:
Denominamos a C(s)/R(s) “modelo prototipo” (o configuración prototipo), cuando tiene la siguiente forma:
Dónde:
Otra forma de verlo es:
Para el análisis de la respuesta transitoria es conveniente escribir:
Donde σes denominado atenuación; el factor actual de amortiguamiento B y el factor de amortiguamiento crítico Bc que es igual a dos veces la raíz cuadrada de JK:
Respuesta transitoria de un sistema de control de posición
Aplicaremos esta teoría al modelo para el sistema de control de posición deducido anteriormente, cuyo esquema se ilustra en la Figura 2:
Figura 2. Sistema de Control de posición.
Para el sistema de la Figura 2 hemos desarrollado el siguiente diagrama de bloques:
Figura 3. Diagrama de bloques de un sistema de control de posición.
Como podemos ver en la Figura 3, la función de transferencia directa G(s) que utilizaremos para determinar el modelo prototipo y a partir de allí analizar la respuesta transitoria, es:
Antes de determinar la ecuación prototipo (representación prototipo) para el sistema de seguimiento de la Figura 2, equivalente a la ecuación (1), considere los siguientes valores para los parámetros de la función G(s):
Tabla 1.
Sustituimos estos valores en la ecuación (2), despejamos convenientemente y obtenemos la función de transferencia directa G(s) evaluada en el punto de operación de interés en el cual funciona el sistema de seguimiento de la Figura 2:
Con este resultado actualizamos el diagrama de bloques de la Figura 3:
Figura 4. Diagrama de bloques del sistema de seguimiento funcionando en el punto de operación determinado por la Tabla 1.
El diagrama de bloques de la Figura 4 ya nos permite utilizar Matlab para evaluar la respuesta transitoria del sistema a una entrada escalón unitario. Sin embargo, podemos calcular dicha respuesta de forma analítica utilizando las ecuaciones (3) y (4), y el modelo prototipo de la ecuación (1):
La ecuación (5) es el equivalente de la ecuación (1) para el sistema de seguimiento de la Figura 2. Entonces, podemos asegurar que la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ de dicho sistema son:
Este resultado para el valor del factor de amortiguamiento relativo ζ indica que estamos en presencia de un sistema subamortiguado.
En base a los resultados obtenidos para la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema de control de la Figura 2, podemos evaluar los parámetros de la respuesta transitoria del sistema para una entrada escalón unitario
Para ver la teoría relacionada ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control. De acuerdo con este documento, se presentan ahora los parámetros de importancia en la respuesta transitoria de un sistema a una entrada escalón unitario, y de inmediato se evalúa cada parámetro para el sistema de interés:
Sobrepaso máximo (Mp)
Tiempo de asentamiento (Ts)
Tiempo de retardo (Td)
Simulación en Matlab
Podemos corroborar estos resultados mediante la simulación en Matlab. Para obtener la respuesta transitoria al escalón unitario del sistema de la Figura 2, ejecutamos los siguientes comandos:
>> numg=5.5;
>> deng=conv([1 0],[0.13 1]);
>> G=tf(numg,deng)
>> sys=feedback(G,1)
>> step(sys)
Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema de seguimiento.
La gráfica de la Figura 5 nos una respuesta deseable. Es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento ζ entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de ζ(ζ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto ζ(ζ>0.8) responde de manera muy lenta. En este ejemplo, resulta aceptable el valor de ζ=0.59. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.
La respuesta además es bastante rápida (0.22 segundos), y apenas con 10% de sobrepaso. Por último, a medida que pasa el tiempo, la respuesta tiende a uno como valor final, lo que anticipa un error en estado estacionario igual a cero. Esto indica que la salida sigue a la señal de referencia, es decir, la carga estará ubicada en el punto que desea el operador del sistema al indicar él mismo, mediante el potenciómetro de entrada, dicho valor de referencia.
La información sobre los parámetros de importancia los podemos obtener mediante el siguiente comando:
>> stepinfo(sys)
SettlingTime: 0.9111
Overshoot: 9.9906
En la Figura 6 podemos observar en la gráfica la ubicación de los valores anteriores:
Figura 6. Valores de los parámetros de respuesta transitoria.
Se puede ver que los resultados de la simulación son bastante parecidos a los obtenidos analíticamente. Utilizando la función damp(), podremos encontrar los valores del coeficiente de amortiguamiento ζ , la constante de tiempo τ y el de la frecuencia natural ωn:
>> damp(sys)
Pole Damping Frequency Time Constant
(rad/seconds) (seconds)
-3.85e+00 + 5.25e+00i 5.91e-01 6.50e+00 2.60e-01
-3.85e+00 – 5.25e+00i 5.91e-01 6.50e+00 2.60e-01
Por su parte, se puede ver que los resultados de la simulación para la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema, son exactamente iguales a los obtenidos analíticamente.
Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital … simulación en Matlab opcional.
1er. caso: Sistema inestable- Determinar estabilidad y error en estado estable del sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) para una realimentación unitaria, es:
Analizar la estabilidad del sistema implica determinar la función de transferencia a lazo cerrado Gc(s) y luego evaluar según el siguiente criterio:
Los sistemas de lazo cerrado son estables si su función de transferencia tiene sólo polos ubicados a la izquierda del plano complejo.
Por tanto, como primer paso, debemos hallar Gc(s).
1.1 Función de transferencia a lazo cerrado
La realimentación unitaria tiene la siguiente configuración:
Figura 1.
Luego, la función de transferencia a lazo cerrado Gc(s) se determina mediante la siguiente fórmula:
Es decir:
Corroboramos esto mediante el siguiente código en Matlab:
>>numg=1; %representa el numerador de la función de transferencia directa> >>deng=conv([1 0],[2 3 2 3 2]); ]); %representa el denominador de la función de %transferencia directa, factorizado
>>G=tf(numg,deng); % construye la función de transferencia directa> >>Gc=feedback(G,1) % construye la función de transferencia a lazo cerrado con %realimentación unitaria
Gc =
1
—————————————
2 s^5 + 3 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + 2 s + 1
1.2 Hallar los polos de la función de transferencia a lazo cerrado
Ahora que tenemos la función de transferencia a lazo cerrado G(c), podemos determinar sus polos. Si todos sus polos están en el lado izquierdo del plano complejo, entonces el sistema es estable. Podemos utilizar Matlab para hallar dichos polos mediante el siguiente comando que es continuación del anterior:
Si graficamos este resultado vemos que la función de transferencia a lazo cerrado G(c) tiene dos polos en el lado derecho y tres polos en el lado izquierdo del semiplano complejo.
>> pzplot(Gc)
Figura 2. Ubicación de polos de la función de transferencia Gc.
Con respecto a este resultado, aplicamos un nuevo criterio:
Los sistemas de lazo cerrado son inestables si su función de transferencia posee al menos un polo ubicado en el lado derecho del plano complejo o al menos un polo de multiplicidad mayor a 1 en el eje imaginario
Según este criterio, el sistema de la Figura 1 es inestable. Cabe recordar que los polos de las función de transferencia ubicados en el lado derecho del plano complejo producen exponenciales crecientes puras o sinusoides que crecen exponencialmente.
Este hecho lo podemos visualizar al aplicar una entrada escalón unitario al sistema y observar la respuesta, mediante:
>> step(Gc)
Figura 3. Respuesta del sistema a una entrada escalón unitario.
También podemos evaluar la estabilidad del sistema directamente con el siguiente comando en Matlab:
>> isstable(Gc)
ans = 0
Si la respuesta es “1” el sistema es estable. Si la respuesta es “0”, como en este caso, el sistema es inestable.
1.3 Hallar el error en estado estable.
En este caso podemos prever que el error en estado estable será infinito, porque el sistema es inestable. Para mayor información sobre el error en estado estable ver:
2do. caso: Sistema estable – Considere ahora determinar la estabilidad del sistema y el error en estado estacionario para G2(s), función de transferencia del proceso en lazo abierto, para una realimentación unitaria:
Repetimos los pasos 1.1, 1.2 y 1.3 anteriores:
2.1 Función de transferencia a lazo cerrado
Determinamos la función de transferencia y corroboramos mediante Matlab:
Recordamos el criterio de estabilidad presentado anteriormente:
Los sistemas de lazo cerrado son estables si su función de transferencia tiene sólo polos ubicados a la izquierda del plano complejo.
En la Figura 5 podemos observar que los tres polos del sistema están ubicados en el lado izquierdo del plano complejo. Por tanto, el sistema de la Figura 4 es estable. Podemos corroborar esta conclusión observando la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario en la Figura 6 y notar como a medida que pasa el tiempo, la entrada sigue a la salida, es decir, tiende a adoptar el valor de la señal de referencia y el sistema se estabiliza:
>> step(Gc)
Figura 6.
2.3 Hallar el error en estado estable.
Para hallar el error en estado estable e(∞) para una entrada escalón unitario, hallaremos la constante de error de posición Kp y luego aplicaremos la siguiente fórmula:
Por tanto, primero hallamos Kp mediante la siguiente ecuación, y luego sustituimos en la anterior:
Observación: en la ecuación anterior considere G(s)=G2(s). Entonces:
Por tanto:
Podemos concluir que el error en estado estable es cero, tal como puede anticiparse observando la Figura 6. Es decir, la entrada vale “uno”, y cuando ha pasado un tiempo considerable, la salida también vale “uno”.
3er. caso: Sistema críticamente inestable – Por último consideramos el caso de G3(s), función de transferencia del proceso en lazo abierto, para una realimentación unitaria:
3.1 Función de transferencia a lazo cerrado
Debemos hallar la función de transferencia G(c) del sistema a lazo cerrado, el cual tendría la siguiente configuración para una realimentación unitaria:
Figura 7.
Podemos corroborar este resultado con Matlab mediante el siguiente código:
>> numg=3;
>> deng=conv([1 0],[1 3 1]);
>> G=tf(numg,deng);
>> Gc=feedback(G,1)
Gc =
3
——————-
s^3 + 3 s^2 + s + 3
3.2 Hallar los polos de la función de transferencia a lazo cerrado
Ahora que tenemos la función de transferencia G(c) a lazo cerrado, podemos determinar sus polos:
>> polosGc=pole(Gc)
polosGc =
-3.0000 + 0.0000i
0.0000 + 1.0000i
0.0000 – 1.0000i
Si graficamos este resultado vemos que la función de transferencia G(c) a lazo cerrado tiene dos polos en el eje imaginario y un polo en el lado izquierdo del semiplano complejo.
>> pzplot(Gc)
Figura 8. Polos de la función de transferencia a lazo cerrado.
Con respecto a este resultado, aplicamos el siguiente criterio:
Los sistemas de lazo cerrado son críticamente o marginalmente inestables si su función de transferencia posee sólo polos de multiplicidad igual a uno en el eje imaginario y polos en el lado izquierdo del plano complejo.
Podemos concluir entonces que el sistema es críticamente inestable. Algunos autores prefieren decir críticamente estable, que es decir lo mismo. Para observar esta respuesta aplicamos una entrada escalón unitario al sistema:
>> step(Gc)
Figura 9. Respuesta al escalón unitario de un sistema críticamente estable.
2.3 Hallar el error en estado estable.
El sistema no converge a un resultado final. Al contrario, oscila alrededor del valor de referencia de manera indefinida.
Fuente: Control Systems Engineering, Nise
Revisión literaria hecha por:
Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
La función sinusoidal y la función exponencial representan muchos procesos de la naturaleza. En especial, son de gran utilidad para representar el caso de movimientos amortiguados en el campo de la mecánica. La Figura (1) muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador simple:
Figura 1. Sistema masa-resorte-amortiguador
La dinámica del sistema de la Figura (1) se describe mediante una sola ecuación diferencial:
En la ecuación (5), x(t) es el desplazamiento horizontal del sistema, que es un desplazamiento sinusoidal amortiguado, conocido como movimiento armónico amortiguado, concepto básico para la física y la ingeniería mecánica clásica.
La siguiente ecuación es una solución para la ecuación diferencial (5). Se trata de una función exponencial multiplicada por una función sinusoidal:
Supongamos el siguiente ejemplo para la ecuación anterior de x(t):
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:
>> t=0:0.01:30;
>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);
>> plot(t,x)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Desplazamiento X(metros)’)
Figura 2. Movimiento armónico amortiguado
Fuentes:
Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
Analisis_de_Sistemas_Lineales
Oppenheim – Señales y Sistemas
Revisión literaria hecha por:
Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.
Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 1 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:
Figura 1. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).
Respuesta:
Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:
La impedancia Z es:
Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:
Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:
De esta manera:
Que en su forma rectangular I es:
Para hallar eo(t) por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:
Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:
Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:
Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.
Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:
Así, tenemos que:
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):
>> t=0:0.01:10;
>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);
>> plot(t,x)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’
Ambas señales:
>> t=0:0.01:10;
>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);
>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);
>> plot(t,x,t,y)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)
Figura 5. Simulación en Matlab de i(t) y eo(t). Para repasar la teoría en esta materia recomiendo ver:
Las señales periódicas, exponenciales, escalón unitario y rampa unitaria, son algunas de las funciones del tiempo continuo más utilizadas para el análisis de sistemas en ingeniería.
Una señal x(t) es una función con valor real o escalar de la variable de tiempo t, si para cualquier valor fijo de la variable t, el valor asumido por la señal en ese tiempo t es un número real. Cuando la variable t toma sus valores del conjunto de los números reales, se dice que t es una variable de tiempo continuo, y que la señal x(t) es una señal de tiempo continuo o una señal analógica.
Señales periódicas
Sea T un número real positivo fijo. Se dice que una señal continua x(t) es periódica con período T si se cumple que:
Si x(t) es periódica con período T, entonces también es periódica con período qT, donde q es cualquier entero positivo. El período fundamental T es el número más pequeño para el cual se cumple la ecuación (1).
La sinusoide es la función periódica por excelencia utilizada en las ciencias y en la ingeniería. Numerosos procesos tienen este comportamiento de manera natural. En la siguiente ecuación sinusoidal, A es la amplitud, ω es la frecuencia en radianes por segundo, y θ es la fase en radianes, aunque también suele expresarse en grados:
La frecuencia f en Hertz, y el período T en rad/s, de la función en la ecuación(2) son:
La sinusoide de la Figura (1) representa el caso en que:
Figura 1.
Ejemplo y simulación de la Señal sinusoidal
La sinusoide es la función periódica por excelencia utilizada en las ciencias y en la ingeniería. Numerosos procesos tienen este comportamiento de manera natural. El caso de un circuito eléctrico es de relevante importancia. Los circuitos de corriente alterna tienen voltajes y corrientes sinusoidales. Suponga que se tiene el circuito de la Figura (2):
Figura 2. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:
El resultado se puede observar en la Figura siguiente:
Señales exponenciales
Las señales exponenciales son extremadamente importantes en el análisis de señales y sistemas, ya que ellas sirven como bloques fundamentales a partir de los cuales podemos construir muchas otras señales.
En la Figura (4) vemos el caso de una función exponencial ascendente y de inmediato se muestra su estructura matemática.
Figura 4. Función exponencial ascendente
En la Figura (5) vemos el caso de una función exponencial descendente y de inmediato se muestra su estructura matemática.
Figura 5. Función exponencial descendente.
Ejemplo y simulación de la Señal exponencial
La función exponencial también representa muchos procesos de la naturaleza, como por ejemplo, el crecimiento de una comunidad de bacterias. Es de gran utilidad la función exponencial para representar el caso de movimientos amortiguados en el campo de la mecánica. La Figura (6) muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador simple:
Figura 6. Sistema masa-resorte-amortiguador
La dinámica del sistema de la Figura (6) se describe mediante una sola ecuación diferencial:
En la ecuación (5), x(t) es el desplazamiento horizontal del sistema, que es un desplazamiento sinusoidal amortiguado, conocido como movimiento armónico amortiguado, concepto básico para la física y la ingeniería mecánica clásica.
La siguiente ecuación es una solución para la ecuación diferencial (5). Se trata de una función exponencial multiplicada por una función sinusoidal:
Con el fin de utilizar el mismo código de Matlab utilizado en el ejemplo de la función sinusoidal, supongamos el siguiente ejemplo para la ecuación anterior de x(t):
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:
>> t=0:0.01:30;
>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);
>> plot(t,x)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Desplazamiento X(metros)’)
Figura 7. Movimiento armónico amortiguado
En la siguiente Figura vemos remarcada la influencia de la función exponencial de color naranja, denominada “envolvente”:
>> t=0:0.01:30;
>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);
>> y=5*exp(-0.1*t);
>> plot(t,x,t,y)
Figura 8. Función exponencial envolvente en color naranja.
Dos señales ampliamente utilizadas en el campo de la ingeniería son el escalón unitario u(t) y la función rampa unitaria r(t), mostradas en la Figura 9:
Figura 9.
En particular, para el análisis de sistemas, estas funciones son ideales. A veces es posible predecir el comportamiento de tales sistemas, o el tipo de entrada que tendrán que procesar con mayor frecuencia. Si se prevé que la entrada a un sistema será un cambio instantáneo, como por ejemplo una entrada al sistema de suspensión de un automóvil, lo más razonable es probar ese sistema con una entrada escalón unitario (step). Si por el contrario, esa entrada cambia proporcionalmente con el tiempo, el sistema debe probarse con una entrada rampa unitaria.
Ejemplo y simulación de la Señal Escalón Unitario
Ambas señales, escalón unitario y rampa unitaria, son ampliamente utilizadas en sistemas de control, porque permiten visualizar la respuesta transitoria del sistema y el error en estado estable.
Suponga que se solicita determinar la respuesta transitoria a una entrada escalón unitario, del siguiente Sistema mecánico rotacional:
Figura 10. Sistema mecánico rotacional..
Dónde:
Se sabe que la función de transferencia del sistema es la siguiente:
Determinar la respuesta transitoria implica determinar el valor de los siguientes parámetros:
Sobrepaso máximo, tiempo de levantamiento, tiempo de asentamiento, entre otros.
En Matlab, podemos responder esta pregunta mediante el siguiente comando:
>> numg=1/J;
>> deng=[1 D/J K/J];
>> G=tf(numg,deng)
G =
3.846
—————–
s^2 + 4 s + 19.23
>> stepinfo(G)
RiseTime (tiempo de levantamiento): 0.3554 s
SettlingTime (tiempo de asentamiento): 1.8989 s
Overshoot (Sobrepaso máximo): 19.9891 %
Peak: 0.2400
El analista obtiene una excelente representación gráfica de esta respuesta mediante:
>> step(G)
Figura 11. Respuesta transitoria a la entrada escalón unitario.
El diagrama siguiente esquema muestra lo que hemos hecho. Hemos colocado una función escalón unitario en la entrada del sistema que tiene la función de transferencia G(s) y hemos obtenido la respuesta mostrada a la salida:
La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial V y la corriente fasorial I, medida en ohms (Ω). Es decir:
La admitancia Y es el inverso de la impedancia, medida en siemens (S):
A veces resulta más conveniente trabajar con la admitancia en vez de trabajar con la impedancia.
La impedancia representa la oposición que ejerce un circuito eléctrico al paso de la corriente senoidal. La admitancia por su parte, representa lo contrario, la falta de oposición al paso de la corriente senoidal.
De lo estudiado en Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, podemos extraer las expresiones para la impedancia en una resistencia R, un inductor L o un capacitor C, particulares, como sigue:
Resumiendo mediante un cuadro:
Figura 1. Impedancia t admitancia para los elementos pasivos de un circuito eléctrico.
Si bien, tanto la impedancia como la admitancia se pueden expresar como cantidades complejas en forma rectangular o polar, es necesario resaltar que la impedancia no es un fasor, porque no varía senoidalmente.
En la Figura (1) resaltan dos casos extremos, cuando ω=0 y cuando ω=∞:
Es decir, cuando ω=0(circuito CD), un inductor es lo mismo que un circuito cerrado, por lo tanto se puede reemplazar por un cable que conduce corriente libremente, mientras que un capacitor representa un circuito abierto que se puede reemplazar por un cable interrumpido (cortado), por el que no puede pasar la corriente. Mientras que, cuando ω=∞(circuito de alta frecuencia), sucede totalmente lo contrario. Estas posibilidades se muestran en la siguiente Figura (2):
Figura 2. Circuitos equivalentes de CD y alta frecuencia para a) el inductor; b) el capacitor.
La impedancia y la admitancia como cantidades complejas
En sus formas rectangular y polar, la impedancia Z se puede expresar como sigue:
Dónde:
Por su parte, la admitancia Y se puede expresar como sigue:
Dónde:
Algebraicamente se podría comprobar que:
Dónde:
Aplicación – ejemplo
Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.
Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 3 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:
Figura 3. Ejercicio de aplicación.
Respuesta:
Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:
La impedancia Z es:
Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:
Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:
De esta manera:
Que en su forma rectangular I es:
Para hallar eo(t) por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:
Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:
Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:
Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.
Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:
Así, tenemos que:
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):
>> t=-5:0.01:5;
>> eo=4.48*cos(4*t-1.10706);
>> plot(t,x)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’
Ambas señales:
>> t=-5:0.01:5;
>> eo=4.48*cos(4*t-1.10706);
>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);
>> plot(t,x,t,y)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)
Figura 5. Simulación en Matlab de i(t) y eo(t). ANTERIOR: Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico
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La resistencia, el inductor y el capacitor en circuitos de corriente alterna, requieren de un método de estudio particular. El siguiente método permite transformar la relación tensión-corriente del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia (dominio fasorial), de los elementos pasivos de una red: resistencia, inductor y capacitor.
Resistor o resistencia
Supongamos que la corriente ir(t) que pasa a través de un resistor r, tiene la siguiente expresión matemática:
De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del resistor está dada por:
La ecuación (1) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:
La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (1) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:
Figura 1. Relación de voltaje-corriente del resistor; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.
La ecuación (2) indica que el voltaje y la corriente en un resistor tienen la misma fase, es decir, están en fase, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (2):
Figura 2. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el resistor r.
Inductor o inductancia
Supongamos que la corriente il(t) que pasa a través de un inductor L, tiene la siguiente expresión matemática y expresión fasorial exponencial:
De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del inductor está dada por:
Debido a que:
La ecuación (3) se transforma en:
La ecuación (4) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:
Debido a que:
Podemos reescribir la ecuación (5):
La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (3) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:
Figura 3. Relación de voltaje-corriente del Inductor L; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.
La ecuación (5) indica que el voltaje se adelanta 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corrientese atrasa con respecto a el voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (4):
Figura 4. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductorl. La corriente se atrasa 90° respecto al voltaje.
Capacitor o capacitancia
Supongamos que la corriente vc(t) que pasa a través de un capacitor c, tiene la siguiente expresión matemáticany expresión fasorial exponencial:
De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del capacitor está dada por:
La ecuación (6) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:
Podemos reescribir la ecuación (7):
Es decir:
La relación entre el voltaje y la corriente en un capacitor se puede apreciar en la Figura (5) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:
Figura 5. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el capacitor C. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.
La ecuación (6) indica que el voltaje se atrasa 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corrientese adelanta con respecto al voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (6):
Figura 6. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductorC. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.
En resumen:
Figura 7. Resumen de relación de voltaje-corriente de los elementos pasivos de un circuito eléctrico: resistencia, inductor y capacitor.
Figura 1. Motor DC a lazo abierto. a) Esquema general; b) Diagrama de bloques.
Figura 2. Diagrama de bloques de un Motor DC a lazo abierto. 
En la ecuación (5), x(t) es el desplazamiento horizontal del sistema, que es un desplazamiento sinusoidal amortiguado, conocido como movimiento armónico amortiguado, concepto básico para la física y la ingeniería mecánica clásica.
La siguiente ecuación es una solución para la ecuación diferencial (5). Se trata de una función exponencial multiplicada por una función sinusoidal:
Supongamos el siguiente ejemplo para la ecuación anterior de x(t):
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:
>> t=0:0.01:30;
>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);
>> plot(t,x)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Desplazamiento X(metros)’)
La admitancia Y es el inverso de la impedancia, medida en siemens (S):
A veces resulta más conveniente trabajar con la admitancia en vez de trabajar con la impedancia.
La impedancia representa la oposición que ejerce un circuito eléctrico al paso de la corriente senoidal. La admitancia por su parte, representa lo contrario, la falta de oposición al paso de la corriente senoidal.
De lo estudiado en 
Resumiendo mediante un cuadro:
Es decir, cuando ω=0 (circuito CD), un inductor es lo mismo que un circuito cerrado, por lo tanto se puede reemplazar por un cable que conduce corriente libremente, mientras que un capacitor representa un circuito abierto que se puede reemplazar por un cable interrumpido (cortado), por el que no puede pasar la corriente. Mientras que, cuando ω=∞ (circuito de alta frecuencia), sucede totalmente lo contrario. Estas posibilidades se muestran en la siguiente Figura (2):
Dónde:
Por su parte, la admitancia Y se puede expresar como sigue:
Dónde:
Algebraicamente se podría comprobar que:
Dónde:
Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):
>> t=-5:0.01:5;
>> eo=4.48*cos(4*t-1.10706);
>> plot(t,x)
>> grid
>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)
>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’
