Dynamik eines Masse-Feder-Dämpfer-Systems

Die Grundelemente eines jeden mechanischen Systems sind die Masse, die Feder und der Stoßdämpfer. Das Studium der Bewegung in mechanischen Systemen entspricht der Analyse dynamischer Systeme. In der Robotik zum Beispiel bezieht sich das Wort Vorwärtsdynamik darauf, was mit Aktuatoren passiert, wenn wir bestimmte Kräfte und Drehmomente auf sie anwenden.

Die Masse, die Feder, der Stoßdämpfer sind elementare Aktuatoren eines mechanischen Systems.

Um den Roboter zu steuern, ist es folglich notwendig, die Art der Bewegung eines Masse-Feder-Dämpfer-Systems sehr gut zu kennen.

Darüber hinaus wird dieses elementare System in vielen Anwendungsbereichen vorgestellt, daher die Wichtigkeit seiner Analyse. Wenn wir in der Robotik über Inverse Dynamic sprechen, sprechen wir darüber, wie man den Roboter auf eine gewünschte Art und Weise bewegt, welche Kräfte und Drehmomente wir auf die Aktoren anwenden müssen, damit sich unser Roboter auf eine bestimmte Art bewegt.

Bevor wir die dynamische Analyse unseres Masse-Feder-Dämpfer-Systems durchführen, müssen wir sein mathematisches Modell erhalten. Dies ist der erste Schritt für jeden, der die Dynamik eines Systems, insbesondere das Verhalten seiner mechanischen Komponenten, genau kennenlernen möchte.

Wir werden unsere Studie mit dem Modell eines Masse-Feder-Systems beginnen.

Dies ist aus folgendem Grund praktisch. Alle mechanischen Systeme haben eine Art in ihrer Bewegung, die sie zum Schwingen bringt, etwa wenn ein Gegenstand an einem Faden an der Decke hängt und mit der Hand, die wir drücken. Oder ein Schuh auf einer Plattform mit Federn. Es ist gut zu wissen, welche mathematische Funktion diese Bewegung am besten beschreibt.

Masse-Feder-System.

Die Dynamik eines Systems wird in erster Linie durch ein mathematisches Modell dargestellt, das aus Differentialgleichungen besteht. Im Falle des Masse-Feder-Systems ist diese Gleichung wie folgt:

Diese Gleichung ist als Bewegungsgleichung eines einfachen harmonischen Oszillators bekannt. Mal sehen, woher es stammt.

Wenn wir eine Formel erhalten wollen, die die Kraft beschreibt, die eine Feder gegen die Verschiebung ausübt, die sie dehnt oder schrumpft, ist es am besten, die potentielle Energie zu visualisieren, die in die Feder injiziert wird, wenn wir sie dehnen oder schrumpfen. Die folgende Grafik beschreibt, wie sich diese Energie als Funktion der horizontalen Verschiebung verhält:

Wenn sich die Masse m der vorhergehenden Figur, die an dem Ende der Feder angebracht ist, wie in Abbildung 5 gezeigt, von dem Federrelaxationspunkt x = 0 weg in die positive oder negative Richtung bewegt, sammelt sich die potentielle Energie U (x) an und steigt in parabolischer Form an und erreicht einen höheren Energiewert, wobei       U(x) = E, Wert, der der maximalen Dehnung oder Kompression der Feder entspricht. Die mathematische Gleichung, die in der Praxis diese Kurvenform am besten beschreibt und eine Konstante k für die physikalische Eigenschaft des Materials enthält, die die Steigung der Kurve erhöht oder verringert, ist die folgende:

Die Kraft ist auf folgende Weise mit der potentiellen Energie verbunden:

Deshalb:

Es ist sinnvoll zu sehen, dass F (x) umgekehrt proportional zur Verschiebung der Masse m ist. Denn es ist klar, dass, wenn wir die Feder dehnen oder schrumpfen, diese Kraft dieser Aktion entgegenwirkt und versucht, die Feder in ihre entspannte oder natürliche Position zurückzubringen. Aus diesem Grund heißt es Restitutionskraft. Die obige Gleichung ist in der Akademie als Hookes Gesetz oder Kraftgesetz für Federn bekannt. Das Folgende ist ein repräsentatives Diagramm dieser Kraft in Bezug auf die Energie, wie sie erwähnt wurde, ohne den Eingriff von Reibungskräften (Dämpfung), weshalb sie als der einfache harmonische Oszillator bekannt ist. Es ist wichtig, die proportionale Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft zu betonen, aber mit einer negativen Steigung, und das ist in der Praxis komplexer, nicht linear.

Siehe: AMPLITUDE AND PHASE: SECOND ORDER II (Mathlets)

Nach Newtons zweitem Gesetz:

Diese Gleichung sagt uns, dass die vektorielle Summe aller Kräfte, die auf den Körper der Masse m einwirken, gleich dem Produkt des Wertes der Masse aufgrund ihrer Beschleunigung ist, die aufgrund der Kräfte erhalten wird. Mit Newtons zweitem Gesetz erhalten wir die folgende Gleichung:

Das ist:

Diese Gleichung repräsentiert die Dynamik eines idealen Masse-Feder-Systems.

System Masse-Feder-Stoßdämpfer

Wenn keine Reibungskraft vorhanden ist, oszilliert der einfache harmonische Oszillator unendlich. In Wirklichkeit nimmt die Amplitude der Oszillation allmählich ab, ein Prozess, der als Dämpfung bekannt ist und im folgenden graphisch beschrieben wird:

Die Verschiebung einer oszillierenden Bewegung ist gegen die Zeit aufgetragen, und ihre Amplitude wird durch eine sinusförmige Funktion dargestellt, die durch einen abnehmenden Exponentialfaktor gedämpft wird, der in dem Graphen als eine Hüllkurve erscheint. Die Reibungskraft Fv, die auf die amortisierte harmonische Bewegung einwirkt, ist in den meisten Fällen von wissenschaftlichem Interesse proportional zur Geschwindigkeit V. Diese Kraft hat die Form Fv = bV, wobei b eine positive Konstante ist, die unter anderem von den Eigenschaften des Fluids abhängt, das Reibung verursacht. Diese Reibung, auch bekannt als Viskosereibung, wird durch ein Diagramm dargestellt, das aus einem Kolben und einem mit Öl gefüllten Zylinder besteht:

Die gängigste Art, ein Masse-Feder-Dämpfer-System darzustellen, ist eine Reihenschaltung wie folgt:

Sowie die folgenden:

In beiden Fällen wird das gleiche Ergebnis bei Anwendung unserer Analysemethode erhalten. Wenn man Fig. 6 betrachtet, kann man sehen, dass dieselbe Konfiguration wie in Fig. 5 gezeigt ist, jedoch die Wirkung des Stoßdämpfers hinzugefügt wird. Indem wir Newtons zweites Gesetz auf dieses neue System anwenden, erhalten wir die folgende Beziehung:

Diese Gleichung repräsentiert die Dynamik eines Massen-Feder-Schock-Systems.

Das könnte dich interessieren:

1. Beispiel 1 – System Transfer-Funktion Masse-Feder-Dämpfer
2. Beispiel 1 – Elektromechanische Systemübertragungsfunktion

Geschrieben von:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer –

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Jaén– Telf. +34633129287

WhatsApp: +34633129287

email: dademuchconnection@gmail.com