Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Gauss y el concepto de Densidad de Flujo Eléctrico

Ley de Gauss: “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”. La formulación matemática de la ley de Gauss es:Esta ecuación significa que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, la cual podría estar constituida por un conjunto de cargas puntuales, una línea de carga, una carga superficial o una carga volumétrica. Esta última, que utiliza el concepto de Densidad de Carga Volumétrica  es la que se utiliza por convención científica (ecuación 1), pero podría ser cualquiera de las mencionadas.

Densidad de flujo eléctrico

La dirección de la densidad de flujo D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie”. Podemos definir a D en el espacio libre como:

Alrededor de 1837 Michael Faraday realizó su famoso experimento para analizar la transmisión de cargas entre dos esferas metálicas, una pequeña y cargada dentro de otra más grande y descargada, con un material dieléctrico (que no conduce, aislante) entre ellas. Pudo comprobar que la carga de la pequeña se transmitía a la más grande independientemente del dieléctrico. A ese “desplazamiento” de carga se le denominó Flujo Eléctrico . Faraday también descubrió que una carga positiva mayor en el interior de la esfera inducía una correspondiente carga negativa mayor en la esfera exterior. Esto condujo a establecer la existencia de una proporcionalidad directa entre el flujo eléctrico y la carga Q de la esfera interior. En el sistema SI esa constante de proporcionalidad es igual a uno, por lo que del experimento de Faraday se obtiene que:De manera que el flujo eléctrico se mide en Coulombs.

Considerando una esfera interior de radio a y una exterior de radio b, con cargas Q y Q, respectivamente (Figura 3.1), las trayectorias del flujo eléctrico  se extienden desde la esfera interior a la exterior. Las líneas de flujo tienen forma radial y simétrica desde una esfera a otra. En la superficie de la esfera interior ψ coulombs de flujo eléctrico los produce la carga de Q coulombs distribuidos uniformemente sobre una superficie que tiene un área de 4πaˆ2  m2. La densidad de flujo en esta superficie es  entonces  ψ/4πaˆ2 , ó Q/4πaˆ2  C/m2.  

A la densidad de flujo eléctrico D, medida en coulombs por metro cuadrado, es un campo vectorial que pertenece a la clase de campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta de la clase “campos de fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico E. La dirección de D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie.

Para la esfera interior:

Para la esfera exterior: 

Para una distancia r, donde ar≤b:

Esta será la densidad de flujo inclusive llevando al límite el radio de la esfera interior hasta reducirla a una carga puntual. Si ahora comparamos este resultado con el obtenido para la intensidad del campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre (Definición de Campo Eléctrico):Llegamos a la conclusión de que:

De manera similar, si una distribución de carga volumétrica en el vacío (Densidad de Carga Volumétrica) produce una intensidad de campo eléctrico E:

La densidad de flujo eléctrico D debido a dicha distribución de carga volumétrica en el vacío es:Podemos considerar a la ecuación (2) como la definición de densidad de flujo eléctrico D en el vacío.

Ley de Gauss

La generalización del experimento realizado por Faraday conduce al siguiente enunciado conocido como Ley de Gauss:

 “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”.

La gran contribución de Gauss no consiste en haber descubierto el fenómeno del flujo eléctrico sino en expresarlo en forma matemática. Supóngase una distribución de carga Q, que se muestra como una nube de cargas puntuales en la figura 3.2, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma:

Considérese, en cualquier punto P, un pequeño elemento de superficie ΔS y que la densidad de flujo eléctrico Ds en ese punto de la superficie forma un ángulo θ con ΔS como lo muestra la figura 3.2. El flujo eléctrico a través de ΔS es, entonces, el producto de la componente normal de Ds y ΔS:

El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada producido por una carga Q “dentro de la superficie encerrada”, se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie S:

Como dS implica el producto de dos coordenadas, la integral de la ecuación (3) es una integral triple. El círculo sobre la integral indica que la integración debe hacerse sobre una superficie cerrada. La formulación matemática de la Ley de Gauss es:

Por otra parte, sabemos que el flujo eléctrico ψ=Q. Esta carga Q puede ser una carga puntual, en cuyo caso:Q también puede ser una línea de carga:O también una carga superficial:O también una distribución de carga volumétrica:

 Por convención los científicos siempre hacen referencia a este último caso. Por tanto, podemos reescribir la ecuación (4) como:Esta ecuación matemática es una de las más básicas de la electrostática y significa simplemente que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, carga total que puede mostrar cualquiera de las propiedades señaladas.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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