Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial

La Ley de Coulomb establece que: “La fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”:

En la ecuación (1) Q₁ y Q₂ son las cantidades de carga positiva o negativa, R es la separación y k es una constante de proporcionalidad. Si se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI), Q se mide en culombios (coulombs) (C), R en metros (m) y la fuerza en newtons (N). Esto se cumple si la constante k se escribe como:

Donde la constante ε_o se denomina permitividad del espacio libre y tiene una magnitud medida en faradios por metro (F/m):

 

Una vez fijado los conceptos elementales del análisis vectorial en Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular, estudiamos su aplicación en la Ley experimental de Coulomb.

Escribir la forma vectorial de la ecuación (1) requiere el hecho adicional (también proporcionado por el coronel Coulomb) de que la fuerza actúa a lo largo de la línea que une a las dos cargas y es repulsiva si las cargas son similares en signo, y atractiva si son de signos opuestos. Sea r₁ el vector que localiza a Q₁ y r₂ el que localiza a Q₂. Entonces, el vector R₁₂= r₂ − r₁ representa el segmento de recta dirigido de Q₁ a Q₂, como lo muestra la figura 2.1:

En la Figura 2.1 el vector F₂ , o lo que es lo mismo, F₁₂ , es la fuerza que ejerce Q₁ sobre Q₂ y se muestra para el caso en el que Q₁ y Q₂ tienen el mismo signo. La ley de Coulomb en forma vectorial es:

donde a₁₂ es un vector unitario en la dirección de R₁₂, o sea:

 

y donde el módulo de F₁₂ es:

Superposición

La fuerza resultante sobre una carga de prueba Q₀ es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Q₀, tal como se puede apreciar en la siguiente Figura:

Resumen

Para determinar la Fuerza entre cargas puntuales sugerimos entonces seguir los siguientes pasos:

• Construir los vectores r₁ y r₂ como está descrito en la Figura 2.1. Estos son los vectores de posición de las cargas Q₁ y Q₂. Si son más de dos, aplicar superposición, es decir, calcular cada fuerza por separado y después sumar vectorialmente las fuerzas individuales ejercidas sobre la carga de prueba, que en el caso de la Figura 2.1 es Q₂.
• Obtener el vector R₁₂= r₂ − r₁, que representa el segmento de recta  entre Q₁ y Q₂.
• Obtener el vector unitario a₁₂, según la ecuación (3) que determina la dirección de la fuerza F₁₂ entre Q₁ y Q_2.
• Obtener el módulo de F₁₂, según la ecuación (4).
• Expresar F₁₂ en términos de su módulo y el vector unitario a₁₂, según la ecuación (2).

Ejemplo 1

1) Ubiquemos una carga Q₁= 3 × 10−4 C en M(1, 2, 3) y otra carga Q₂ =−10−4 C localizada en N(2, 0, 5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza F₁₂ que ejerce Q₁ en Q₂.

Solución: aplicamos los pasos sugeridos anteriormente:

a. Lo primero que debemos hacer es encontrar el vector unitario a₁₂ que determina la dirección de la fuerza F₁₂ que ejerce Q₁ sobre Q₂ Para ello construimos el vector M y el vector N, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

b. Luego, utilizamos la ecuación 4 para hallar el módulo del vector F₁₂:

c. La fuerza F₁₂ en forma vectorial queda como:

Es decir:

  

La fuerza F₁₂ ejercida por la carga Q₁ sobre Q₂ también puede ser representada como la suma de tres componentes vectoriales:

Ejemplo 2

2) Consideremos ahora el caso de la fuerza ejercida por dos o más cargas.

La carga Q₁= 25 × 10−9 C está en el origen, punto O, mientras que otra carga denominada Q₂ = -15 × 10−9 C está sobre el eje x en x=2 m, punto M. Luego tenemos una tercera carga Q_o = 20 × 10−9 C ubicada en x=2 m, y=2 m, punto P, tal como muestra la siguiente Figura:

 Determinar el vector de la fuerza total F_t sobre Q_o.

Solución: La fuerza resultante F_t es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Q_o. Calculamos entonces esas fuerzas aplicando la ley de Coulomb y el método descrito anteriormente, luego las sumamos utilizando coordenadas rectangulares.

a. Lo primero es encontrar el vector unitario a_1o que determina la dirección de la fuerza F_1o que ejerce Q₁ sobre Q_o. Para ello construimos el vector O y el vector P, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

Notar que el vector unitario a_1o tiene componentes que igualan el valor de seno y coseno de 45 grados. Esto es debido a que el punto P forma con el punto O y la proyección en x y en y, un triángulo de lados iguales, lados de valor 2 m. Es decir, el vector unitario a_1o y, por lo tanto, la fuerza F_1o, forman un ángulo de 45 grados con los ejes x y y. Por tanto, podríamos utilizar este hecho para encontrar las componentes de la fuerza F_1o, una vez determinado su módulo. 

b. Ahora hallamos el módulo del vector F_1o:

 c. La fuerza F_1o en forma vectorial queda como:

Es decir:

d. Procedemos a determinar el vector unitario a_2o que señala la dirección de la fuerza F_2o que ejerce Q₂ sobre Q_o. Como Q₂ está localizado en x=2, está alineada con la posición x=2 de Q_o, por lo que se prevé una contribución pura en el eje y: 

 

e. Ahora hallamos el módulo del vector F_2o:

 f. La fuerza F_2o en forma vectorial queda como:

Es decir:

g. La fuerza resultante F_t es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Q_o. Es decir:

La fuerza resultante se representa en la siguiente gráfica:

Dónde:

Extraído de: 

• Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed
• Fisica Tipler 6ta Edicion Vol 2
• Campo y potencial eléctrico
• Conductores y condensadores
• Corriente eléctrica y circuitos de CC
• Problemas de campo y potencial eléctrico
• Problemas de conductores y condensadores
• Problemas de corriente eléctrica

SIGUIENTE: Definición de Campo Eléctrico e Intensidad del Campo Eléctrico

Revisión literaria hecha por:

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