Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial

La Ley de Coulomb establece que: “La fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”:

En la ecuación (1) Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o negativa, R es la separación y k es una constante de proporcionalidad. Si se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI), Q se mide en culombios (coulombs) (C), R en metros (m) y la fuerza en newtons (N). Esto se cumple si la constante k se escribe como:

Donde la constante εo se denomina permitividad del espacio libre y tiene una magnitud medida en faradios por metro (F/m):

 

Una vez fijado los conceptos elementales del análisis vectorial en Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular, estudiamos su aplicación en la Ley experimental de Coulomb.

Escribir la forma vectorial de la ecuación (1) requiere el hecho adicional (también proporcionado por el coronel Coulomb) de que la fuerza actúa a lo largo de la línea que une a las dos cargas y es repulsiva si las cargas son similares en signo, y atractiva si son de signos opuestos. Sea r1 el vector que localiza a Q1 y r2 el que localiza a Q2. Entonces, el vector R12= r− r1 representa el segmento de recta dirigido de Q1 a Q2, como lo muestra la figura 2.1:

En la Figura 2.1 el vector F2 , o lo que es lo mismo, F12 , es la fuerza que ejerce Q1 sobre Q2 y se muestra para el caso en el que Q1 y Q2 tienen el mismo signo. La ley de Coulomb en forma vectorial es:

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donde a12 es un vector unitario en la dirección de R12, o sea:

 

y donde el módulo de F12 es:

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Superposición

La fuerza resultante sobre una carga de prueba Q0 es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Q0, tal como se puede apreciar en la siguiente Figura:

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Resumen

Para determinar la Fuerza entre cargas puntuales sugerimos entonces seguir los siguientes pasos:

  • Construir los vectores r1 y r2 como está descrito en la Figura 2.1. Estos son los vectores de posición de las cargas Q1 y Q2. Si son más de dos, aplicar superposición, es decir, calcular cada fuerza por separado y después sumar vectorialmente las fuerzas individuales ejercidas sobre la carga de prueba, que en el caso de la Figura 2.1 es Q2.
  • Obtener el vector R12= r− r1, que representa el segmento de recta  entre Qy Q2.
  • Obtener el vector unitario a12, según la ecuación (3) que determina la dirección de la fuerza F12 entre Q1Q2.
  • Obtener el módulo de F12, según la ecuación (4).
  • Expresar F12 en términos de su módulo y el vector unitario a12, según la ecuación (2).

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Ejemplo 1

1) Ubiquemos una carga Q1= 3 × 10−4 C en M(1, 2, 3) y otra carga Q2 =−10−4 C localizada en N(2, 0, 5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza F12 que ejerce Qen Q2.

Solución: aplicamos los pasos sugeridos anteriormente:

a. Lo primero que debemos hacer es encontrar el vector unitario a12 que determina la dirección de la fuerza F12 que ejerce Q1 sobre Q2 Para ello construimos el vector M y el vector N, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

b. Luego, utilizamos la ecuación 4 para hallar el módulo del vector F12:

c. La fuerza F12 en forma vectorial queda como:

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Es decir:

  

La fuerza F12 ejercida por la carga Q1 sobre Q2 también puede ser representada como la suma de tres componentes vectoriales:

Ejemplo 2

2) Consideremos ahora el caso de la fuerza ejercida por dos o más cargas.

La carga Q1= 25 × 10−9 C está en el origen, punto O, mientras que otra carga denominada Q2 = -15 × 10−9 C está sobre el eje x en x=2 m, punto M. Luego tenemos una tercera carga Qo = 20 × 10−9 C ubicada en x=2 m, y=2 m, punto P, tal como muestra la siguiente Figura:

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 Determinar el vector de la fuerza total Ft sobre Qo.

Solución: La fuerza resultante Ft es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Qo. Calculamos entonces esas fuerzas aplicando la ley de Coulomb y el método descrito anteriormente, luego las sumamos utilizando coordenadas rectangulares.

a. Lo primero es encontrar el vector unitario a1o que determina la dirección de la fuerza F1o que ejerce Q1 sobre Qo. Para ello construimos el vector O y el vector P, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

nullNotar que el vector unitario a1o tiene componentes que igualan el valor de seno y coseno de 45 grados. Esto es debido a que el punto P forma con el punto O y la proyección en x y en y, un triángulo de lados iguales, lados de valor 2 m. Es decir, el vector unitario a1o y, por lo tanto, la fuerza F1o, forman un ángulo de 45 grados con los ejes x y y. Por tanto, podríamos utilizar este hecho para encontrar las componentes de la fuerza F1o, una vez determinado su módulo. 

b. Ahora hallamos el módulo del vector F1o:

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 c. La fuerza F1o en forma vectorial queda como:

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Es decir:

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d. Procedemos a determinar el vector unitario a2o que señala la dirección de la fuerza F2o que ejerce Q2 sobre Qo. Como Q2 está localizado en x=2, está alineada con la posición x=2 de Qo, por lo que se prevé una contribución pura en el eje y: 

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e. Ahora hallamos el módulo del vector F2o:

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 f. La fuerza F2o en forma vectorial queda como:

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Es decir:

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g. La fuerza resultante Ft es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Qo. Es decir:

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La fuerza resultante se representa en la siguiente gráfica:

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Dónde:

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Extraído de: 

  • Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed
  • Fisica Tipler 6ta Edicion Vol 2
  • Campo y potencial eléctrico
  • Conductores y condensadores
  • Corriente eléctrica y circuitos de CC
  • Problemas de campo y potencial eléctrico
  • Problemas de conductores y condensadores
  • Problemas de corriente eléctrica

SIGUIENTE: Definición de Campo Eléctrico e Intensidad del Campo Eléctrico

Revisión literaria hecha por:

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3 comentarios en “Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial”

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