Para el estudio de la acción proporcional integral se considera el sistema de la Figura 3:
- Simule la respuesta del sistema utilizando rltool() y observe su respuesta fijando Ti en 1s y para 3 diversos valores de Kp evitando la saturación. Observe en cada caso el sobrepico porcentual, el tiempo de establecimiento y el error en régimen estacionario. Comente y analice lo observado.
Analizamos el sistema antes de añadir el controlador PI:
>> s=tf(‘s’)
>> s1=(1)/(0.2*s+1)
>> s2=(2)/(0.1*s+1)
>> s3=(1)/(s+1)
>> G=s1*s2*s3
Como resultado de la ejecución de este comando en Matlab obtenemos que la función de transferencia directa G(s) es:
Es decir:
Veamos cómo es la respuesta a la entrada escalón unitario de este sistema antes de añadir un controlador PI:
>> Gce=feedback(G,1)
>> step(Gce)
Lo más notable es que el error en estado estable es ess=1-0.667=0.333, y que se trata de un sistema que no alcanza el valor de la señal de referencia en ningún momento.
Añadir un controlador PI significa juntar las ventajas de los controladores antes estudiados (PID – Estudio de la acción proporcional, PID – Estudio de la acción integral), es decir, un amplio margen para cambiar la ubicación de las raíces de la ecuación característica, lo que incide en el amortiguamiento y el tiempo de respuesta de la respuesta transitoria, y un aumento de la tipología del sistema, lo que significa un mejoramiento en el error en estado estable
Si añadimos un controlador proporcional-integral de ganancia Kp, la función de transferencia directa G1(s) es:
Es decir:
Se puede constatar que los efectos inmediatos de aplicar el controlador PI es agregar un cero simple en s=-1 y agregar un polo simple en s=0 en la función de transferencia directa.
Mediante la herramienta de diseño rltool vamos a variar el valor de la ganancia Kp y analizar como varían el sobrepaso (Mp), el tiempo de establecimiento (Ts) y el error en régimen estacionario (ess).
Kp=1
>> G1=G*(s+1)/s
>> rltool(G1)
La gráfica de El Lugar de las Raíces obtenida anteriormente se corresponde con un valor de Kp=1, para el cual obtenemos los siguientes valores de importancia:
ess=0
El error en estado estable es cero, ya que el valor final de la salida es uno. Representa una mejoría fundamental para justificar el uso de un PI.
Mp=8.49%; Ts=2.11 seg
Este valor del sobrepaso se corresponde con el siguiente para el factor de amortiguamiento relativo :
Kp>1
Para valores de la ganancia mayores que uno, se genera una tendencia al incremento de los parámetros estudiados. Por ejemplo, para Kp=1.5 obtenemos:
Mp=20.1%; Ts=2.43 seg; ζ=0.455
Si aumentamos el Kp a 2.5, obtenemos lo siguiente:
Un sistema cada vez más oscilante, con un sobrepaso cerca de 40% y un tiempo de establecimiento de 3.2 s.
K<1
Si lo que se desea es aumentar el factor de amortiguamiento relativo, podemos fijarlo mediante la ventana del lugar geométrico de las raíces, haciendo click derecho y seleccionando design requirement. Supongamos que deseamos un ζ=0.7, entonces con design requirement>new>damping ratio, obtenemos:
Arrastrando las raíces al límite sugerido por las líneas negras, modificamos el sistema. Para conocer el valor de Kp correspondiente a esa situación nos referimos a la ventana de control, donde vemos que Kp=0.8789. En la ventana de la respuesta al escalón, observamos el cambio:
Mp=5.61%; Ts=2.24 s; ζ≅ 0.7
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Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
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2 comentarios sobre “Control Proporcional-Integral de un Sistema de Control – PID”