Matemática aplicada - Appd Math, Matemática Financiera

Solución de problemas financieros mediante ecuaciones lineales – método.

Introducción - Definición de ecuación lineal

Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad. Un valor de la variable que haga que la ecuación sea una proposición cierta se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. Así, por ejemplo, 5 es una raíz de la ecuación 2x 3 = x + 2. De manera similar, -2 es solución de la ecuación:

Porque cuando 2 sustituye a y en la ecuación, obtenemos:

La cual es una proposición verdadera.

Una clase importante de ecuaciones consta de aquellas denominadas ecuaciones polinomiales. En una ecuación polinomial, los dos lados pueden constar de uno o varios términos sumados algebraicamente; cada término incluye una potencia entera no negativa de la variable multiplicada por un coeficiente constante. El grado de la ecuación polinomial es la máxima potencia de la variable que aparece en la ecuación. Así, por ejemplo:

Una ecuación polinomial de grado 1 se denomina ecuación lineal; en tanto que una ecuación polinomial de grado 2 se llama ecuación cuadrática. La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:

donde a y b son constantes. Esta la ecuación lineal tiene una y sólo una solución, es decir, x=-b/a. Para graficar una ecuación lineal, es necesario fabricar una función lineal, generalmente mediante la estructura función afín:

Donde a es la pendiente de una recta (representa el aumento del valor de la función si x aumenta en 1) y b es el punto donde la recta intersecta el eje y. Para repasar esta materia ver: The graph of a polynomial function, de donde extraemos la siguiente figura:

Ejemplo: Solución de problemas financieros mediante ecuaciones lineales

Los métodos algebraicos y la teoría vista sobre función afín, a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en finanzas y administración. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes.

EJEMPLO 1. (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma una  hora y media realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?

Paso 1 Representar la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo una de ellas con x.

En este ejemplo, x: horas de trabajo de la vendedora.

Paso 2 Expresar todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x.

La otra cantidad relevante en este problema es  V: ventas en dólares.

El enunciado sugiere que la relación entre las ventas (V) y las horas de trabajo (x) es lineal y se puede expresar como V en función de x de la siguiente manera:

Donde a es la pendiente de una recta y b el punto de su intersección (offset) con el eje vertical.

Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x.

Según el enunciado, la vendedora requiere de hora y media para realizar una venta de 100 dólares. Como la unidad de medida de x es la hora, debemos reacomodar este enunciado y expresarlo en horas. Lo podemos hacer de la siguiente forma, siempre buscando facilidad de comprensión. Si la vendedora en hora y media vende 100 dólares, en tres horas venderá 200 dólares, o sea, en una hora vende 200/3. Hay que recordar que este dato nos indica la pendiente de la recta que representa la relación entre x y V, siendo x la abscisa y V  la ordenada (representa el aumento del valor de la función si x aumenta en 1). Es decir, a=200/3. Luego, sabemos también que en cero horas de trabajo la vendedora obtiene cero dólares en venta, es decir, b=0. Por tanto:

Por otra parte, el salario S será de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas. Es decir, en un mes:

Sustituyendo:

Paso 4 Resolver la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos.

Este problema nos exige responder la pregunta siguiente: ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000? Es decir, para que S=2000. Entonces:

Es decir:

De donde despejamos x aplicando operaciones algebraicas:

Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal.

La vendedora necesitará trabajar 210 horas por mes, en promedio, para poder obtener ingresos por un valor de 2000$.

EJEMPLO 2 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo debe ser del 30%?

En construcción…

 

Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Definición de campo eléctrico e intensidad del campo eléctrico

Un campo eléctrico es un campo vectorial o campo de fuerzas generado por un cuerpo o un conjunto de cuerpos con carga eléctrica. Toda carga Q crea un campo eléctrico E en todo el espacio y este campo ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga ubicada en dicho espacio.

Cuantitativamente un campo eléctrico puede ser definido como la fuerza por unidad de carga que actúa sobre un determinado punto en el espacio o en la materia. Supongamos que en el campo eléctrico E generado por la carga Q1 colocamos una carga de prueba Qt. Entonces, dicho campo puede ser definido como:

null

Dónde Ft, la fuerza que ejerce Q1 sobre Qt, es:

null

En la ecuación (2), R1t es la distancia entre las cargas Q1 y Qt, mientras que a1t es el vector unitario que define la dirección de la fuerza como la misma dirección de la línea recta que une las cargas Q1 y Qt, (Para determinar la fuerza entre dos cargas puntuales, ver: Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial)

Vemos así que, experimentalmente, el proceso mediante el cual se mide el campo eléctrico debido a un cuerpo (o varios cuerpos) cargado eléctricamente, consiste en colocar una carga de prueba Qt en un punto cercano a dicho cuerpo (o conjunto de cuerpos) y medir la fuerza Ft que siente la carga de prueba Qt, haciendo dicha carga de prueba cada vez más pequeña. Estos valores límites, a medida que la carga de prueba se hace más y más pequeña, llegan a ser constantes en dirección y magnitud.

Intensidad de campo eléctrico

“Se define la intensidad de campo eléctrico como el vector fuerza sobre cada unidad de carga positiva de prueba”. Si sustituimos la ecuación (2) en (1), podemos ver que la intensidad de campo eléctrico debido a una carga puntual Q1 en el espacio libre se define como:

null 

Dónde:

null

La ecuación (3) es un campo vectorial denominado intensidad del campo eléctrico y es función únicamente de Q1, de su posición R1t y del vector unitario a1t, el cual a su vez define la dirección del segmento de línea que une Q1 y Qt. Esta última afirmación debe ser resaltada porque conduce a una conclusión importante:”La ecuación (3) representa el valor del campo eléctrico generado por una carga cualquiera Q1  en cualquier parte del espacio, independientemente de la carga de prueba Qt que se utilice para medirlo“. Debemos considerar además que en la naturaleza, este fenómeno se manifiesta en tres dimensiones, como en el ejemplo que se presenta más adelante. Para mayor explicación recomiendo ver el video: The Electric Field of point charges

null

La ecuación (3) está expresada en términos de la constante de permitividad del espacio libre εo, pero también se puede expresar en términos de una sola constante k de la manera siguiente:

null

Dónde:

null

Tomando en cuenta el sistema MKS, la intensidad de campo eléctrico debe medirse en unidades de newtons por coulomb (fuerza por unidad de carga). Si se introduce por adelantado una nueva cantidad dimensional, el volt (V), cuyas unidades son joules por coulomb (J/C) o newton-metros por coulomb (N · m/C); la intensidad de campo eléctrico se medirá de una vez en las unidades prácticas de volts por metro (V/m).

Evidentemente se obtendrán expresiones más complicadas para la intensidad de campo eléctrico debido a configuraciones de carga más complicadas, como líneas de carga o planos de carga.

El procedimiento para determinar el vector unitario a1t es el mismo que se discutió en el artículo anterior: Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial. Se resume dicho procedimiento aquí brevemente.

Para una carga Q1 situada como fuente puntual en el punto r’ (x,y’,z’) como se ilustra en la figura 2.2:

null
Figura 2.2

La intensidad de campo eléctrico sobre una carga Qt ubicada en un punto r(x,y,z)  cualquiera del campo eléctrico, se encuentra expresando al vector R que une Q1 y Qt  como r r, y construir el vector unitario mediante la siguiente fórmula:

null

Dónde:

null

Y luego hallar el módulo del campo eléctrico mediante:

null

Intensidad de campo eléctrico debido a dos o más cargas puntuales

Dado que las fuerzas de coulomb son lineales, la intensidad de campo eléctrico en un punto r debido a dos cargas puntuales, Q1 en r1 y Q2 en r2, es la suma de las fuerzas sobre Q ubicada en r, causadas por Q1 y Q2 cuando actúan individualmente, o sea:

 

Donde a1 y a2 son vectores unitarios en la dirección de (r r1) y (r r2), respectivamente.

Si se agregan más cargas en otras posiciones el campo debido a n cargas puntuales será:

Esta expresión ocupa menos espacio cuando se usa el signo de Σ y un índice de suma m que toma todos los valores enteros sucesivos entre 1 y n:

Como ingenieros eléctricos, en raras ocasiones es necesario conocer una corriente electrón por electrón. Casi siempre nuestros resultados finales están en términos de la corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico, o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún fenómeno macroscópico a gran escala. Es por eso que ahora el siguiente paso es centrar nuestra atención en el campo eléctrico debido a una distribución continua de carga volumétrica.

Alternativamente, algunos países utilizan el sistema cgs en vez del MKS, donde k=1, por tanto también se puede expresar el campo eléctrico E como:

Ejemplo

Con la finalidad de mostrar la aplicación de la ecuación (11), encontrar E en el punto  P(1, 1, 1) causado por cuatro cargas idénticas de 3-nC (nanocoulombs) localizadas en los puntos P1(1, 1, 0), P2(−1, 1, 0), P3(−1, −1, 0) y P4(1, −1, 0), como lo muestra la figura 2.4.

Solución:

 Mediante algebra vectorial podemos determinar cada una de las siguientes magnitudes:

Como:

Obtenemos: 

Es decir:

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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SIGUIENTE: Densidad de Carga Volumétrica y Campo Eléctrico

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial

La Ley de Coulomb establece que: “La fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”:

En la ecuación (1) Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o negativa, R es la separación y k es una constante de proporcionalidad. Si se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI), Q se mide en culombios (coulombs) (C), R en metros (m) y la fuerza en newtons (N). Esto se cumple si la constante k se escribe como:

Donde la constante εo se denomina permitividad del espacio libre y tiene una magnitud medida en faradios por metro (F/m):

 

Una vez fijado los conceptos elementales del análisis vectorial en Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular, estudiamos su aplicación en la Ley experimental de Coulomb.

Escribir la forma vectorial de la ecuación (1) requiere el hecho adicional (también proporcionado por el coronel Coulomb) de que la fuerza actúa a lo largo de la línea que une a las dos cargas y es repulsiva si las cargas son similares en signo, y atractiva si son de signos opuestos. Sea r1 el vector que localiza a Q1 y r2 el que localiza a Q2. Entonces, el vector R12= r− r1 representa el segmento de recta dirigido de Q1 a Q2, como lo muestra la figura 2.1:

En la Figura 2.1 el vector F2 , o lo que es lo mismo, F12 , es la fuerza que ejerce Q1 sobre Q2 y se muestra para el caso en el que Q1 y Q2 tienen el mismo signo. La ley de Coulomb en forma vectorial es:

null

donde a12 es un vector unitario en la dirección de R12, o sea:

 

y donde el módulo de F12 es:

null

Superposición

La fuerza resultante sobre una carga de prueba Q0 es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Q0, tal como se puede apreciar en la siguiente Figura:

null

Resumen

Para determinar la Fuerza entre cargas puntuales sugerimos entonces seguir los siguientes pasos:

  • Construir los vectores r1 y r2 como está descrito en la Figura 2.1. Estos son los vectores de posición de las cargas Q1 y Q2. Si son más de dos, aplicar superposición, es decir, calcular cada fuerza por separado y después sumar vectorialmente las fuerzas individuales ejercidas sobre la carga de prueba, que en el caso de la Figura 2.1 es Q2.
  • Obtener el vector R12= r− r1, que representa el segmento de recta  entre Qy Q2.
  • Obtener el vector unitario a12, según la ecuación (3) que determina la dirección de la fuerza F12 entre Q1Q2.
  • Obtener el módulo de F12, según la ecuación (4).
  • Expresar F12 en términos de su módulo y el vector unitario a12, según la ecuación (2).

null

Ejemplo 1

1) Ubiquemos una carga Q1= 3 × 10−4 C en M(1, 2, 3) y otra carga Q2 =−10−4 C localizada en N(2, 0, 5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza F12 que ejerce Qen Q2.

Solución: aplicamos los pasos sugeridos anteriormente:

a. Lo primero que debemos hacer es encontrar el vector unitario a12 que determina la dirección de la fuerza F12 que ejerce Q1 sobre Q2 Para ello construimos el vector M y el vector N, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

b. Luego, utilizamos la ecuación 4 para hallar el módulo del vector F12:

c. La fuerza F12 en forma vectorial queda como:

null

Es decir:

  

La fuerza F12 ejercida por la carga Q1 sobre Q2 también puede ser representada como la suma de tres componentes vectoriales:

Ejemplo 2

2) Consideremos ahora el caso de la fuerza ejercida por dos o más cargas.

La carga Q1= 25 × 10−9 C está en el origen, punto O, mientras que otra carga denominada Q2 = -15 × 10−9 C está sobre el eje x en x=2 m, punto M. Luego tenemos una tercera carga Qo = 20 × 10−9 C ubicada en x=2 m, y=2 m, punto P, tal como muestra la siguiente Figura:

null

 Determinar el vector de la fuerza total Ft sobre Qo.

Solución: La fuerza resultante Ft es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Qo. Calculamos entonces esas fuerzas aplicando la ley de Coulomb y el método descrito anteriormente, luego las sumamos utilizando coordenadas rectangulares.

a. Lo primero es encontrar el vector unitario a1o que determina la dirección de la fuerza F1o que ejerce Q1 sobre Qo. Para ello construimos el vector O y el vector P, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

nullNotar que el vector unitario a1o tiene componentes que igualan el valor de seno y coseno de 45 grados. Esto es debido a que el punto P forma con el punto O y la proyección en x y en y, un triángulo de lados iguales, lados de valor 2 m. Es decir, el vector unitario a1o y, por lo tanto, la fuerza F1o, forman un ángulo de 45 grados con los ejes x y y. Por tanto, podríamos utilizar este hecho para encontrar las componentes de la fuerza F1o, una vez determinado su módulo. 

b. Ahora hallamos el módulo del vector F1o:

null

 c. La fuerza F1o en forma vectorial queda como:

null

Es decir:

null

d. Procedemos a determinar el vector unitario a2o que señala la dirección de la fuerza F2o que ejerce Q2 sobre Qo. Como Q2 está localizado en x=2, está alineada con la posición x=2 de Qo, por lo que se prevé una contribución pura en el eje y: 

null 

e. Ahora hallamos el módulo del vector F2o:

null

 f. La fuerza F2o en forma vectorial queda como:

null

Es decir:

null

g. La fuerza resultante Ft es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las cargas sobre Qo. Es decir:

null

La fuerza resultante se representa en la siguiente gráfica:

null

Dónde:

null

Extraído de: 

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Análisis Vectorial, Matemática aplicada - Appd Math

Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular

Introducción

Los conceptos fundamentales y las operaciones del análisis vectorial son imprescindibles para la ingeniería. En este paper, estos conceptos y operaciones se bosquejan en vez de exponerse rigurosamente, lo cual es bastante práctico para el ingeniero. Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección en el espacio. Sólo serán de interés los espacios de dos y tres dimensiones, aunque en aplicaciones más avanzadas los vectores pueden definirse en espacios de n dimensiones. La fuerza, la velocidad, la aceleración y una línea recta que van de la terminal positiva a la negativa de un acumulador son ejemplos de vectores. A cada cantidad la caracterizan tanto una magnitud como una dirección.

Para describir con precisión un vector, debemos hacer uso de un sistema de coordenadas que permita determinar la longitud, dirección, proyección o componentes de un vector. Los tres sistemas más sencillos para lograr esto son el de coordenadas cartesianas o rectangulares, el de coordenadas cilíndricas y el de coordenadas esféricas. En esta oportunidad trataremos el primer caso.

Sistema de coordenadas rectangular

Utiliza tres ejes coordenados perpendiculares entre sí, llamados eje x, y y z. Se acostumbra elegir un sistema de coordenadas de mano derecha en el cual una rotación (que describe un pequeño ángulo) del eje x hacia el eje y causaría que un tornillo derecho avanzara en la dirección del eje z. Los dedos de la mano derecha, pulgar, índice y medio, pueden entonces identificar los ejes y, z y x, respectivamente. La figura 1.2a muestra un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha:

La localización de un punto se hace por medio de sus coordenadas x, y y z. Éstas son, respectivamente, las distancias desde el origen a cada una de las intersecciones de una proyección perpendicular desde el punto de los ejes x, y y z. Un método opcional para interpretar los valores de las coordenadas, y que corresponde al que debe usarse en todos los demás sistemas de coordenadas, es considerar el punto como la intersección de tres superficies, los planos x = constante, y = constante y z = constante, siendo las constantes los valores de las coordenadas del punto. La figura 1.2b muestra los puntos P y Q, cuyas coordenadas son (1, 2, 3) y (2, −2, 1), respectivamente. Por consiguiente, el punto P se localiza en la intersección de los planos x = 1, y = 2 y z = 3, mientras que el punto Q se localiza en la intersección de los planos x = 2y = −2, z = 1.

Si se visualiza la intersección de tres planos en cualquier punto P, cuyas coordenadas sean x, y y z, puede incrementarse el valor de cada coordenada por una cantidad diferencial y obtenerse tres planos ligeramente desplazados que se intersecten en un punto P, cuyas coordenadas serán x + dx, y + dy y z + dz. Los seis planos definen un paralelepípedo rectangular cuyo volumen es dv = dxdydz; las superficies tienen diferenciales de áreas dS de dxdy, dydz y dzdx. Por último, la distancia dL de P a P es la diagonal del paralelepípedo y tiene una longitud:

El elemento diferencial de volumen lo muestra la figura 1.2c; el punto P está indicado, pero el punto P se localiza en la única esquina invisible.

Componentes vectoriales y vector unitario

Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se considera primero un vector r que se extiende alejándose del origen. Una manera lógica de identificar este vector es proporcionar los tres componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres ejes coordenados y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado. Si las componentes vectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x + y + z. Las componentes vectoriales se muestran en la figura 1.3a. En vez de un vector ahora se tienen tres, pero esto significa un paso hacia adelante porque los tres vectores son de naturaleza muy sencilla y cada uno se orienta siempre a lo largo de uno de los ejes coordenados.

En otras palabras, las componentes vectoriales tienen una magnitud que depende del vector dado (tal como el r citado antes), pero cada una tiene una dirección constante conocida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios, los cuales tienen magnitud unitaria por definición y se orientan a lo largo de los ejes coordenados en la dirección en la que crecen los valores de las coordenadas. Se reservará el símbolo a para un vector unitario y se identifica su dirección con un subíndice apropiado. Entonces ax ay y az son los vectores unitarios en el sistema de coordenadas cartesianas.3 Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente, como lo muestra la figura 1.3b.

Si la componente vectorial y tiene una magnitud de dos unidades y se dirige hacia donde aumentan los valores de y, se deberá escribir entonces y = 2ay. Un vector rP que apunta desde el origen a un punto P(1, 2, 3) se escribe como Rp= ax+ 2ay + 3az. El vector desde el punto P a Q se puede obtener aplicando la regla de la suma vectorial. Esta regla muestra que el vector desde el origen a P más el vector desde P a Q es igual al vector desde el origen a Q. El vector deseado desde P(1, 2, 3) a Q(2, 2, 1) es, por lo tanto:

 

Los vectores rP, rQ y RPQ se muestran en la figura 1.3c. Este último vector no empieza en el origen, como lo hacía el vector r considerado al principio. Sin embargo, hemos aprendido que los vectores que tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección son iguales, así que para ayudar al proceso de visualización se tiene la libertad de desplazar cualquier vector hasta el origen, antes de determinar sus componentes vectoriales. Desde luego, el paralelismo se debe mantener durante el proceso de desplazamiento.

Si se considera un vector fuerza F en vez de cualquier otro vector, excepto uno de desplazamiento tal como el vector r, el problema radica en proporcionar letras apropiadas para los tres componentes vectoriales. No sería apropiado llamarlas x, y y z, pues representan desplazamientos o distancias dirigidas, medidas en metros (abreviado m) o alguna otra unidad de longitud. El problema se evita usando componentes escalares, simplemente llamadas componentes Fx, Fy y Fz. Las componentes son las magnitudes, con signo positivo o negativo, de los componentes vectoriales. Se escribe entonces F = Fxax + Fyay + Fzaz.  Los componentes vectoriales son Fxax, Fyay y Fzaz.

Cualquier vector B, entonces, se puede describir por B = Bxax + Byay + Bzaz. La magnitud de B, denotada por |B| o simplemente B, está dada por:

 

Cada uno de los tres sistemas coordenados tiene tres vectores unitarios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se utilizarán para descomponer cualquier vector en sus componentes vectoriales. Sin embargo, los vectores unitarios no se limitarán a esta aplicación. Es muy necesario saber cómo escribir un vector unitario que tenga una dirección específica. Esto es muy sencillo, pues un vector unitario en una dirección dada es simplemente un vector en esa dirección dividido entre su magnitud. Un vector unitario en la dirección B es:

 

Por ejemplo, si es necesario determinar un vector unitario en la dirección del punto G(2,-2,-1) desde el origen, se construye un vector desde el origen hasta G, calculamos su magnitud y aplicamos la ecuación anterior para hallar el vector unitario en esa dirección:

 Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Análisis de sistemas de control, PID

Control Proporcional-Integral de un Sistema de Control – PID

Para el estudio de la acción proporcional integral se considera el sistema de la Figura 3:

  1. Simule la respuesta del sistema utilizando rltool() y observe su respuesta fijando Ti en 1s y para 3 diversos valores de Kp evitando la saturación. Observe en cada caso el sobrepico porcentual, el tiempo de establecimiento y el error en régimen estacionario. Comente y analice lo observado.

Analizamos el sistema antes de añadir el controlador PI:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

Como resultado de la ejecución de este comando en Matlab obtenemos que la función de transferencia directa G(s) es:

nullEs decir:null

Veamos cómo es la respuesta  a la entrada escalón unitario de este sistema antes de añadir un controlador PI:

>> Gce=feedback(G,1)

>> step(Gce)

Lo más notable es que el error en estado estable es ess=1-0.667=0.333, y que se trata de un sistema que no alcanza el valor de la señal de referencia en ningún momento.

Añadir un controlador PI significa juntar las ventajas de los controladores antes estudiados (PID – Estudio de la acción proporcional, PID – Estudio de la acción integral), es decir, un amplio margen para cambiar la ubicación de las raíces de la ecuación característica, lo que incide en el amortiguamiento y el tiempo de respuesta de la respuesta transitoria, y un aumento de la tipología del sistema, lo que significa un mejoramiento en el error en estado estable

Si añadimos un controlador proporcional-integral de ganancia Kp, la función de transferencia directa G1(s) es:

Es decir:

Se puede constatar que los efectos inmediatos de aplicar el controlador PI es agregar un cero simple en s=-1 y agregar un polo simple en s=0 en la función de transferencia directa.

Mediante la herramienta de diseño rltool vamos a variar el valor de la ganancia Kp y analizar como varían el sobrepaso (Mp), el tiempo de establecimiento (Ts) y el error en régimen estacionario (ess).

Kp=1

>> G1=G*(s+1)/s

>> rltool(G1)

 

La gráfica de El Lugar de las Raíces obtenida anteriormente se corresponde con un valor de Kp=1, para el cual obtenemos los siguientes valores de importancia:

ess=0

El error en estado estable es cero, ya que el valor final de la salida es uno. Representa una mejoría fundamental para justificar el uso de un PI.

Mp=8.49%; Ts=2.11 seg

Este valor del sobrepaso se corresponde con el siguiente para el factor de amortiguamiento relativo :

Kp>1

Para valores de la ganancia mayores que uno, se genera una tendencia al incremento de los parámetros estudiados. Por ejemplo, para Kp=1.5 obtenemos:

Mp=20.1%; Ts=2.43 seg; ζ=0.455

Si aumentamos el Kp a 2.5, obtenemos lo siguiente:

Un sistema cada vez más oscilante, con un sobrepaso cerca de 40% y un tiempo de establecimiento de 3.2 s.

K<1

Si lo que se desea es aumentar el factor de amortiguamiento relativo, podemos fijarlo mediante la ventana del lugar geométrico de las raíces, haciendo click derecho y seleccionando design requirement. Supongamos que deseamos un ζ=0.7, entonces con design requirement>new>damping ratio, obtenemos:

Arrastrando las raíces al límite sugerido por las líneas negras, modificamos el sistema. Para conocer el valor de Kp correspondiente a esa situación nos referimos a la ventana de control, donde vemos que Kp=0.8789. En la ventana de la respuesta al escalón, observamos el cambio:

Mp=5.61%; Ts=2.24 s; ζ≅ 0.7

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