Introducción - Definición de ecuación lineal
Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad. Un valor de la variable que haga que la ecuación sea una proposición cierta se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. Así, por ejemplo, 5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2. De manera similar, -2 es solución de la ecuación:
Porque cuando –2 sustituye a y en la ecuación, obtenemos:
La cual es una proposición verdadera.
Una clase importante de ecuaciones consta de aquellas denominadas ecuaciones polinomiales. En una ecuación polinomial, los dos lados pueden constar de uno o varios términos sumados algebraicamente; cada término incluye una potencia entera no negativa de la variable multiplicada por un coeficiente constante. El grado de la ecuación polinomial es la máxima potencia de la variable que aparece en la ecuación. Así, por ejemplo:
Una ecuación polinomial de grado 1 se denomina ecuación lineal; en tanto que una ecuación polinomial de grado 2 se llama ecuación cuadrática. La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:
donde a y b son constantes. Esta la ecuación lineal tiene una y sólo una solución, es decir, x=-b/a. Para graficar una ecuación lineal, es necesario fabricar una función lineal, generalmente mediante la estructura función afín:
Donde a es la pendiente de una recta (representa el aumento del valor de la función si x aumenta en 1) y b es el punto donde la recta intersecta el eje y. Para repasar esta materia ver: The graph of a polynomial function, de donde extraemos la siguiente figura:
Ejemplo: Solución de problemas financieros mediante ecuaciones lineales
Los métodos algebraicos y la teoría vista sobre función afín, a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en finanzas y administración. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes.
EJEMPLO 1. (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma una hora y media realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?
Paso 1 Representar la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo una de ellas con x.
En este ejemplo, x: horas de trabajo de la vendedora.
Paso 2 Expresar todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x.
La otra cantidad relevante en este problema es V: ventas en dólares.
El enunciado sugiere que la relación entre las ventas (V) y las horas de trabajo (x) es lineal y se puede expresar como V en función de x de la siguiente manera:
Donde a es la pendiente de una recta y b el punto de su intersección (offset) con el eje vertical.
Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x.
Según el enunciado, la vendedora requiere de hora y media para realizar una venta de 100 dólares. Como la unidad de medida de x es la hora, debemos reacomodar este enunciado y expresarlo en horas. Lo podemos hacer de la siguiente forma, siempre buscando facilidad de comprensión. Si la vendedora en hora y media vende 100 dólares, en tres horas venderá 200 dólares, o sea, en una hora vende 200/3. Hay que recordar que este dato nos indica la pendiente de la recta que representa la relación entre x y V, siendo x la abscisa y V la ordenada (representa el aumento del valor de la función V si x aumenta en 1). Es decir, a=200/3. Luego, sabemos también que en cero horas de trabajo la vendedora obtiene cero dólares en venta, es decir, b=0. Por tanto:
Por otra parte, el salario S será de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas. Es decir, en un mes:
Sustituyendo:
Paso 4 Resolver la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos.
Este problema nos exige responder la pregunta siguiente: ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000? Es decir, para que S=2000. Entonces:
Es decir:
De donde despejamos x aplicando operaciones algebraicas:
Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal.
La vendedora necesitará trabajar 210 horas por mes, en promedio, para poder obtener ingresos por un valor de 2000$.
EJEMPLO 2 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo debe ser del 30%?
En construcción…
Como:
Obtenemos: 
Notar que el vector unitario a1o tiene componentes que igualan el valor de seno y coseno de 45 grados. Esto es debido a que el punto P forma con el punto O y la proyección en x y en y, un triángulo de lados iguales, lados de valor 2 m. Es decir, el vector unitario a1o y, por lo tanto, la fuerza F1o, forman un ángulo de 45 grados con los ejes x y y. Por tanto, podríamos utilizar este hecho para encontrar las componentes de la fuerza F1o, una vez determinado su módulo. 
Es decir:
Es decir:
