Control Integral de un Sistema de Control – PID

Para hacer el estudio de la acción integral, considere el siguiente sistema:

1. Realizar el lugar geométrico de las raíces indicando los puntos de interés. Ejecutamos los siguientes comandos en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

La función de transferencia directa G(s) es:Arreglando:Si añadimos un controlador integral de ganancia Ki y Ti=1 seg, la función de transferencia directa G(s) es:

Notar que de inmediato el controlador aumenta la tipología del sistema de tipo 0 a tipo 1, mejorando así el error en estado estable. La función de transferencia Gce(s) a lazo cerrado es:

La ecuación característica del sistema es:

La ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s) es:

Para obtener en Matlab el lugar geométrico de las raíces, ejecutamos el siguiente comando:

>> sys=(100)/(s*(s^3+16*s^2+65*s+50))

>> rlocus(sys)

Así obtenemos:

Podemos observar que tenemos un polo en el origen, añadido por el controlador, y polos en s=-1, -5 y -10. El valor que podemos darle a la ganancia Ki está bastante restringido porque debemos evitar entrar a la región de inestabilidad (semiplano con valores positivos de la variable independiente s).

Según la gráfica anterior, para Ki=1.02 el factor de amortiguamiento relativo es apenas ζ=0.145, por lo que podemos esperar que el sistema oscile bastante en su estado transitorio, mientras posee un sobrepaso máximo de 63,1%, características poco deseables para un sistema de control. Utilizando los siguientes comandos podemos corroborar esta aseveración mediante la respuesta al escalón unitario (step) para un valor exacto de Ki=1.00 para la ganancia:

>> sys2=feedback(sys,1)

>> step(sys2)

Mediante la siguiente gráfica podemos verificar el valor de las características importantes, haciendo uso del click derecho sobre la gráfica anterior y seleccionar characteristics>peak response/settling time/steady state:

La gráfica anterior señala que el valor final de la salida del sistema para una entrada escalón unitario es 1, por lo tanto el error en estado estable es cero, y es ésta la principal función de la porción integral de un controlador PID, minimizar el error para las entradas escalón, rampa o parábola. Sin embargo vemos que la respuesta transitoria no es muy satisfactoria para un controlador integral puro.

Vamos a observar como varían los valores de máximo sobrepaso (Mp), el tiempo de establecimiento (Ts) y el error en estado estable para entrada escalón (ess) para varios valores de Ki, de manera tal que se haga evidente la necesidad de combinar esta acción con la proporcional ya estudiada para el mismo sistema en PID – Estudio de la acción proporcional. Incluso vamos a intentar igualar las condiciones de diseño requeridas en el mencionado estudio: un factor de amortiguamiento ζ=0.5.

Para agilizar este estudio (no tener que aplicar el comando feedback para cada cambio de ganancia, por ejemplo), utilizaremos la herramienta de Matlab rltool:

>> rltool(sys)

Inmediatamente obtenemos el lugar geométrico de las raíces:

Ya vimos como se comporta el sistema para Ki=1.0. A partir de aquí variamos la ganancia para ver los valores de los parámetros y características de importancia.

Haremos Ki=1.2. Para ello, hacemos click derecho sobre la gráfica del lugar geométrico de las raíces y seleccionamos edit compensator, seleccionamos la casilla de valores de la ganancia c del controlador, y le adjudicamos el valor a analizar.

Apretamos enter y volvemos al lugar geométrico. El punto rosado se ha desplazado al valor actual de las raíces. Aparece una mano al colocar el cursor en dicho punto. Al hacer click izquierdo justo allí, aparece el valor del factor de amortiguamiento relativo al pie de la gráfica.

Para la ganancia Ki=1.2, ζ=0.105. La respuesta al escalón unitario se puede obtener seleccionando analysis>response to step command.

Una vez en repuesta al impulso, hacer click derecho y seleccionar systems>closed-loop r to y (blue) para obtener la siguiente gráfica:

A partir de aquí obtenemos:

Si cambiamos la ganancia en la ventana Control and estimation tool manager, cambian automáticamente el lugar geométrico y la respuesta al escalón unitario, Los resultados para valores de Ki cada vez mayores se muestran en la siguiente tabla:

Ganancia	Ki=1.0	Ki=1.2	Ki=1.4	Ki=1.8
Factor de amortiguamiento	ζ=0.15	ζ =0.105	ζ=0.069	ζ=0.0149
Máximo sobrepaso	Mp=59.9%	Mp=68.9	Mp=76.8	Mp=90.7
Tiempo de levantamiento	Tr=0.921	Tr=0.824	Tr=0.752	Tr=0.653
Tiempo de establecimiento	Ts=19.8	Ts=24.9	Ts=35.4	Ts=151

A medida que Ki crece, aunque mejora el tiempo de respuesta, las condiciones generales empeoran. El factor de amortiguación casi se hace cero y aún para pequeños incrementos la inestabilidad aumenta vertiginosamente. A continuación se observa el desempeño para un Ki=1.8.

Por ello podemos afirmar que la acción integral permite un rango muy limitado de selección de la ganancia Ki. Es por ello que se acostumbra mejorar las capacidades del controlador combinando la acción integral con la proporcional (controlador PI).

Al reducir los valores de Ki podemos esperar el efecto contrario, según se observa en la siguiente tabla:

Ganancia	Ki=0.2	Ki=0.5	Ki=0.8	Ki=1
Factor de amortiguamiento	ζ=0.686	ζ=0.345	ζ=0.208	ζ=0.15
Máximo sobrepaso	Mp=5.1%	Mp=30.9	Mp=49.7	Mp=59.9%
Tiempo de levantamiento	Tr=3.39	Tr=1.48	Tr=0.752	Tr=0.921
Tiempo de establecimiento	Ts=9.94	Ts=11.7	Ts=14.6	Ts=19.8

Los valores anteriores muestran que es posible conseguir un ζ=0.5. Para dar con los valores exactos hacemos click derecho sobre el lugar geométrico, seleccionamos design requirements>new>design requirement type>damping ratio>0.5. Obtenemos el lugar geométrico dividido en dos regiones.

Moviendo el cursor podemos observar que región se corresponde con un damping igual o mayor a 0.5. Arrastrando el punto rosado sobre el lugar geométrico, variamos el damping hasta lograr un 0.5. Una vez allí, podemos ver el valor correspondiente de la ganancia, (Ventana de control, c=0.317). También podemos obrar a la inversa, variando c y viendo cuánto vale el damping en el lugar geométrico. Entonces, para lograr un ζ=0.5, debemos hacer Ki=0.317. A continuación se observa la respuesta al escalón unitario y las características de importancia para esta ganancia:

Ganancia	Ki=0.317
Factor de amortiguamiento	ζ=0.5
Máximo sobrepaso	Mp=16.1%
Tiempo de levantamiento	Tr=2.15
Tiempo de establecimiento	Ts=10.7

Respuesta al impulso para diversos valores de Ki

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Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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