Una vez visto como elaborar y utilizar el Lugar Geométrico de las Raíces para el análisis y diseño de sistemas de control – El lugar geométrico de las raíces con Matlab – nos enfocamos en la Acción de Control Proporcional.
Para hacer el estudio de la acción proporcional, considere el siguiente sistema:
1. Realizar el lugar geométrico de las raíces indicando los puntos de interés. Ejecutamos los siguientes comandos en Matlab:
>> s=tf(‘s’)
>> s1=(1)/(0.2*s+1)
>> s2=(2)/(0.1*s+1)
>> s3=(1)/(s+1)
>> G=s1*s2*s3
La función de transferencia directa G(s) es:
Arreglando:
Si añadimos un controlador proporcional de ganancia Kp, la función de transferencia directa G(s) es:
La función de transferencia Gce(s) a lazo cerrado es:
La ecuación característica del sistema es:
La ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s) es:
Para obtener en Matlab el lugar geométrico de las raíces, ejecutamos el siguiente comando:
>> rlocus(G)
Así obtenemos:
Para un repaso del tema, ver: El lugar geométrico de las raíces con Matlab
Mediante este primer ejercicio que nos proporciona el lugar geométrico de las raíces del sistema en estudio, podemos observar el efecto más inmediato de aplicar un controlador proporcional: el desplazamiento de las raíces.
El cambio en la ganancia Kp nos permite cambiar el valor de las raíces de la ecuación característica (al viajar a través de las líneas de color azul, verde y rojo del lugar geométrico en la gráfica anterior, vemos cómo cambia la ganancia Kp), lo que es lo mismo que cambiar los polos de la función de transferencia a lazo cerrado. Al cambiar dichos polos, cambiamos el valor del coeficiente de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural ωn para una entrada escalón unitario, adaptando así la respuesta transitoria del sistema a los requerimientos de diseño que se puedan solicitar.
Notar que las raíces de la ecuación característica están en s=-10, s=-5 y s=-1, cuando Kp=0.
Pero en términos reales Kp no puede valer cero, porque en la práctica significa que anulamos la entrada al sistema y así, la salida es cero también. Para representar al sistema funcionando sin el controlador proporcional, hacemos Kp=1. Bajo esta condición, veamos cuál es el valor de ζ , así como el valor de tres cantidades de extrema importancia para los diseñadores: el sobrepaso Mp, el tiempo de levantamiento Tr y el error en estado estable ess. Luego, supongamos que queremos modificar este desempeño en términos de ζ y variamos Kp (desplazamos las raíces) hasta lograr un ζ=0.5.
Para un repaso del tema, ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control
Kp=1
Si Kp=1, entonces:
La función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) es:
Utilizamos los siguientes comandos en Matlab para conocer los valores de ζ, el sobrepaso y el tiempo de establecimiento:
> >Gce=feedback(G,1)
> >damp(Gce)
Obtenemos:
| Pole | Damping | Frequency |
| -2.26e+00 + 2.82e+00i | 6.26e-01 | 3.62e+00 |
| -2.26e+00 – 2.82e+00i | 6.26e-01 | 3.62e+00 |
| -1.15e+01 | 1.00e+00 | 1.15e+01 |
Notar que en la gráfica anterior, Kp=Gain=1. Las raíces complejas dominantes son s1=-2.26+j2.82 y s2=-2.26-j2.82, de tal modo que, según la gráfica, podemos considerar a ζ=0.626 cuando Kp=1. Con respecto al sobrepaso, el tiempo de levantamiento y el error en estado estable utilizamos el siguiente comando:
>> stepinfo(Gce)
RiseTime: 0.5626
Overshoot: 7.5449
Peak: 0.7170
>> step(Gce)
Si la entrada es el escalón unitario y la salida alcanza el valor final de c=0.663, el error en estado estable es ess=1-0.663=0.337. Vamos a ver que a pesar de variar el valor de Kp y desplazar las raíces, el controlador proporcional no anula por completo el error en estado estable, siempre tendrá un valor diferente de cero por lo que se requiere una acción integral para anular dicho error. Por otra parte, el valor del sobrepaso es Mp=7.17%, tomando en cuenta que el valor final del sistema es c=0.663 y el máximo valor alcanzado es de c=0.7170.
Hallar Kp para lograr un ζ=0.5.
El lugar geométrico de la raíces nos permite variar el valor de la ganancia Kp hasta alcanzar el damping solicitado, ζ=0.5. Nos desplazamos sobre el lugar geométrico de las raíces en Matlab haciendo un click sobre la línea de los polos dominantes y arrastrando el punto hasta que se alcance al damping solicitado:
La gráfica anterior nos muestra que podemos obtener un ζ=0.5 cuando la ganancia Kp tiene un valor aproximado de 1.46. Si Kp=1.46, la función de transferencia directa y la función de transferencia a lazo cerrado son:
Confirmamos el valor del damping mediante:
>> Gce2=(146)/(s^3+16*s^2+65*s+196)
> >damp(Gce2)
| Pole | Damping | Frequency |
| -2.04e+00 + 3.51e+00i | 5.02e-01 | 4.05e+00 |
| -2.26e+00 – 3.51e+00i | 5.02e-01 | 4.05e+00 |
| -1.19e+01 | 1.00e+00 | 1.19e+01 |
> >stepinfo(Gce2)
RiseTime: 0.4356
Overshoot: 15.0397
Peak: 0.8569
Se observa que el sobrepaso será mayor (de 7.5449 a 15.0397) después de la compensación (cambiar el valor de Kp de 1 a 1.46) debido a que el factor de amortiguamiento relativo ζ es menor (de 0.626 a 5.02), mientras el tiempo de levantamiento Tr mejora ligeramente (de 0.5626 a 0.4356).
Las respuestas a la entrada escalón unitario de ambos sistemas (antes y después de la compensación), pueden observarse mediante el siguiente comando de Matlab:
>> step(Gce,Gce2)
El valor final del sistema después de la compensación (en color rojo) es aproximadamente c=0.748, así que el error en estado estable en este caso es ligeramente más bajo, ess=1-0.748=0.252. Se observa claramente en la gráfica que el tiempo de levantamiento es menor después de la compensación, pero a costa de un sobrepaso mayor debido a un amortiguamiento menor.
Otra herramienta de Matlab más sofisticada para diseñar compensadores es SISO Design Tool. Se puede invocar mediante el comando rltool.
>> rltool
Se abre una interface para el diseño gráfico (GUI).
Una vez allí, podemos importar sistemas desde la consola de Matlab, mediante file>import>G>browse>available models>G>import>close>ok. De manera automática, el diseñador ofrece el lugar geométrico de las raíces del sistema:
Supongamos el requerimiento ζ=0.5. Colocando el cursor sobre el lugar geométrico, hacemos click derecho y seleccionamos design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. Obtenemos el gráfico siguiente:
La leyenda inferior la obtenemos colocando el curso sobre el punto rosado, se forma una mano y hacemos click izquierdo. Podemos variar el gráfico hasta lograr aproximadamente el damping deseado. Si colocamos el curso del lado izquierdo del gráfico (color blanco), aparece la leyenda Loop gain changed to 1.47. Es decir, Kp=1.47.
Aunque, para ser más exactos, el valor de la ganancia es de Kp=1.4663. Este valor lo podemos ver en la otra ventana que se abre simultáneamente con el Editor: Control and estimation tools manager. Allí, al seleccionar la pestaña Compensator Editor, podemos ver que C=1.4663. Por tanto, la herramienta nos permite ser mucho más específicos en cuanto al valor de la ganancia.
Volviendo al editor gráfico (SISO design task), seleccionando analysis>response to step command, obtenemos la respuesta al escalón unitario en una nueva ventana. Una vez allí, haciendo click derecho podemos seleccionar el tipo de gráfica con plot type>step. Podemos comprobar los valores de la respuesta transitoria obtenidos para Kp=1.46 si seleccionamos la característica que nos interesa calcular mediante:
characteristics>rise time
characteristics>peak response
Respuesta transitoria para diferentes valores de Kp.
Para completar el estudio sólo queda adjudicar varios valores a Kp y analizar la respuesta transitoria así como el error en estado estable de los diferentes sistemas que resulten, mediante las herramientas de programación presentadas hasta ahora. Cabe resaltar lo sensible que es el sistema para valores de Kp muy cercanos. Ello se muestra en la siguiente gráfica donde de manera simultánea aparecen las respuestas a la entrada escalón unitario para diferentes valores de Kp:
Kp=0.2, Kp=0.5, Kp=1, Kp=1.5, Kp=1.7, Kp=2.
Veremos mediante el siguiente estudio que, a diferencia de la acción integral, la acción proporcional ofrece un rango muy amplio para seleccionar la ganancia del controlador.
Respuesta al escalón unitario para varios valores de Kp
SIGUIENTE: Control Integral de un Sistema de Control – PID
Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
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