Linealizar una función
Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función: 
Nuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:
Es decir, vamos a cambiar f(x)=5cosx, que es la representación de una curva con variable independiente x, por f(x)=f(x0)+mxXˆ, que es la representación de una recta con pendiente mx y una nueva variable independiente xˆ, que se supone intercepta al eje y en f(x0) (recordar cómo se interpreta la ecuación de una recta. Para un repaso completo ver: Linealización de sistemas no lineales) Esta nueva representación sólo es válida si la variable independiente xˆ se aleja muy poco de x0, por eso se le llama excursión.
Hallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:
Entonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:
El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:
Linealizar una ecuación diferencial
Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:
La presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.
Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:
Así:
Alguien podría preguntar que significa lo anterior. Significa que x-xo es una pequeña distancia que indica lo que nos podemos alejar de xo=π/4, que es el punto “alrededor” del cual debemos hacer la linealización. A esa pequeña distancia se le llama excursión δx. Ya que el símbolo δx debe ser utilizado muchas veces, porque se convierte en la nueva variable independiente, preferimos llamarla xˆ. En el procedimiento anterior despejamos a la variable x para sustituir este resultado en la ecuación original para que dicha ecuación nos quede expresada en función de la nueva variable xˆ.
Ok. Procedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:
Aplicamos ahora las reglas de derivación:
Y para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir, linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:
Entonces de acuerdo con la ecuación (1):
Pero, ya que:
Podemos afirmar que:
Por tanto, con estos resultados, podemos reescribir la ecuación diferencial:
de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:
O lo que es lo mismo:
Esta es la nueva representación de nuestra ecuación diferencial original, sólo válida si no nos alejamos mucho de xo=π/2. Note que esta nueva representación es una ecuación diferencial lineal, que es el objetivo del procedimiento.
Ejemplo - Linealización de Sistema de levitación magnética de una esfera.
El sistema de suspensión magnética de una esfera se muestra en la Figura 1.
El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada e(t). La dinámica del sistema está representada por las siguientes ecuaciones diferenciales:
Donde:
Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.
Solución
La Figura 1 muestra que la bola metálica está sujeta a dos fuerzas: Fem y G; es decir, la fuerza electromagnética y la gravedad. De la dinámica del sistemas nos enfocamos en la ecuación que relaciona ambas fuerzas mediante la ley de Newton:
Esta ecuación es no lineal y es donde será necesario aplicar del proceso de linealización. Escribiendo esta ecuación de otra forma podemos ver que las fuerzas que actúan sobre la esfera tienen signo contrario, lo que indica que se oponen:
Donde:
Resulta lógico pensar que ambas fuerzas se igualan en el punto de equilibrio, de coordenada xo, cuando la bola levita y permanece inmóvil (Observación: equilibrio no significa reposo, se trata más bien de un equilibrio dinámico, no estático). Como el desplazamiento de la bola en este punto permanece constante, la velocidad y la aceleración de la bola son iguales a cero, así sabemos que:
Por tanto, en el punto de equilibrio:
Donde:
Volviendo a la dinámica del sistema, sólo una de las ecuaciones es no lineal:
Para linealizar esta ecuación diferencial, procedemos como hemos visto en: Linealización de sistemas no lineales.
La excursión alrededor del punto de equilibrio se representa mediante:
De donde:
Escribimos de nuevo la ecuación 1 sustituyendo sus términos por aquellos encontrados para el punto de equilibrio:
Aplicando ley de derivadas, tomando en cuenta que xo es una constante:
Para linealizar la fuerza electromagnética en el punto de equilibrio, aplicamos la siguiente serie de Taylor:
Entonces:
Donde
Sustituyendo estos últimos resultados en la ecuación 3 obtenemos:
Sustituimos ahora este resultado en la ecuación 2:
Y así logramos cumplir con el objetivo de representar el sistema no lineal mediante las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:
Nota: La segunda ecuación (e(t)=…) puede mantener su forma original porque es lineal, sólo se cambió la variable independiente i por aquella que representa la excursión.
Fuente: Modelling and simulation of a magnetic levitation system, Valer Dolga, Lia Dolga, 2007.
Linealización de un sistema con tres o más variables independientes
Un modelo muy simplificado de la dinámica de un cohete, se observa en la Figura 1. Una barra uniforme de masa m y longitud 2L, sometida a la fuerza de la gravedad en G (centro de gravedad de la barra) y a dos fuerzas exteriores aplicadas en su extremo inferior: una vertical V(t) y otra horizontal H(t). Se pide: i) Dibujar el diagrama de variables de entrada y salida. Caracterizar el punto de equilibrio determinado por x(0)=0, y(0)=0, .ii) Obtener el sistema de ecuaciones linealizado alrededor del punto de equilibrio. iii) Dibujar el diagrama de bloques del sistema. iV)Obtener a partir de él las funciones de transferencia:
Para ver la solución de este problema ver: Diagrama de bloques – Catálogo 8
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2 comentarios en “Ejercicio de Linealización de sistemas no lineales”