Análisis de sistemas de control, Matemática aplicada - Appd Math

Linealización de sistemas no lineales.

Introducción

Muchos componentes y actuadores poseen características no lineales y la eficacia de su acción requiere mucho de que se mantengan en el punto de operación donde actúan aproximadamente de manera lineal, el cuál puede ser un intervalo muy limitado. Por ejemplo, la música que todos escuchamos debe ser amplificada por un circuito compuesto por dispositivos electrónicos que sólo amplifican cuando están actuando en el punto de operación en el que se diseña el sistema para que actúe linealmente; muestra de ello es que la salida del sistema en su totalidad es proporcional a la entrada, es decir, un sistema lineal.

¿En qué consiste linealizar? En expresar una función o ecuación diferencial no lineal con una versión lineal aproximada, sólo válida en un intervalo muy pequeño de valores de la variable independiente. Algo así como expresar una función cuadrática mediante la fórmula matemática de una línea recta. ¿Con qué fin? Pues, poder aplicarle al sistema representado por dicha función o ecuación diferencial, todas las técnicas de control para sistemas lineales estudiadas hasta ahora. Nuestro objetivo es diseñar una estrategia para generar una ecuación lineal que represente a un sistema no lineal en una región muy limitada, estrategia que configuramos a continuación.

Para obtener un modelo matemático lineal de un sistema no lineal es necesario suponer que la variable a controlar sólo se desvía muy ligeramente de un punto de operación A de coordenadas (xo, f(xo)), donde xo es la entrada al sistema y f(xo) es la salida. En el punto A podemos colocar una recta con cierta pendiente (slope) y suponer que para pequeños cambios δx alrededor de xo la salida f(xo+δx) se mueve a lo largo de esta recta, tal como se muestra en la Figura 2-47:null

Podemos utilizar el punto A como un nuevo centro de coordenadas donde la variable independiente δx se corresponde con la entrada al sistema, mientras que la variable dependiente δf(x) representa la salida del sistema. Hacemos este conveniente cambio de coordenadas para utilizar la ecuación de la pendiente ma de la recta de la siguiente manera:null

ÓnullY así:null

Al igual que:null

Esta última es una aproximación matemática lineal para f(x) , una función que a grandes rasgos no es lineal, como se puede constatar en la Figura 2-47.

Esta técnica nos permite entonces obtener una expresión lineal para f(x), alrededor del punto de operación A. Ahora, vamos a combinar las expresiones obtenidas para f(x) y δf(x). Otra forma de razonar es pensar que, alrededor del punto de operación A,  f(x) tiene el valor de f(xo) más un pequeño componente de valor maδx a lo largo de una línea recta de pendiente ma:null

Donde (x-xo) es tan pequeño que se aproxima a δx. Misión cumplida, haremos que:
null

¿Qué teoría nos permite hacer esto? Las series de Taylor son como guante a la mano.

Series de Taylor

Las series de Taylor son la expansión de una función  f(x) en términos del valor de esa función en un punto xo en particular, alrededor de ese punto y en términos de las derivadas de la función evaluadas en ese punto:null

Cuando la excursión alrededor del punto xo es pequeña, como el caso que nos interesa, las derivadas de orden mayor se pueden ignorar, por lo que:null

Sabiendo que la pendiente mx de una recta en el punto xo es la derivada de la recta evaluada en xo, podemos adaptar esta última ecuación a nuestra estrategia y obtenemos la fórmula que nos interesa:nullDonde mx=df/dx evaluado en x=xo. Note que δx es ahora la variable independiente, para la cual utilizamos sólo un rango válido de valores alrededor de xo, por lo que a δx le llamamos excursión. Volviendo a la Figura 2.47, ésta es la táctica clave del proceso de linealización, hemos creado un sistema de coordenadas centrado en el punto A, para sustituir la variable independiente x por δx. Podemos seguir utilizando la notación δx o cualquier otra más práctica como:nullVeamos cómo funciona esto mediante ejemplos.

Linealizar una función

Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función:  nullNuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:nullHallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:nullEntonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:null

El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:

null

null

Linealizar una ecuación diferencial

Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:nullLa presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.

Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:nullAsí:nullProcedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:nullAplicamos ahora las reglas de derivación:nullY para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir,  linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:

Observar que en la anterior ecuación la excursión vale cero cuando la función se evalúa exactamente en el punto xo. Lo mismo pasa cuando se evalúa la pendiente en xo:Así:

Por tanto, podemos reescribir la ecuación diferencial de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:

O lo que es lo mismo:

Linealización de un sistema con dos variables independientes

Las series de Taylor nos habilitan para trabajar con funciones o ecuaciones diferenciales que tienen dos variables independientes. Al respecto, la serie de Taylor aplica la siguiente fórmula:

null

Donde el punto de operación tiene las coordenadas ¯x1 y ¯x2. Para excursiones pequeñas alrededor del punto de equilibrio, podemos obviar las derivadas de mayor orden. El modelo matemático lineal para este sistema no lineal alrededor del punto de operación se obtiene mediante:

Donde:

Ejemplo. Linealización de un sistema con dos variables independientes.

Linealización de Sistema de levitación magnética de una esfera.

El sistema de suspensión magnética de una esfera se muestra en la Figura 1.

El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada e(t). La dinámica del sistema está representada por las siguientes ecuaciones diferenciales:

Donde:

Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.

Para ver la solución de este problema ver: Ejemplo 2 – Linealización de un Sistema de levitación magnética de una esfera.

 

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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4 comentarios en “Linealización de sistemas no lineales.”

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