Para apreciar mejor el efecto del controlador PD, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 7-23.
La función de transferencia directa G(s) de este sistema viene dada por la siguiente expresión:
Donde K es la constante del preamplificador.
Las especificaciones de diseño para este sistema son las siguientes:
Donde:
- ess: Error en estado estable debido a una entrada de rampa unitaria
- Mp: Sobrepaso máximo
- Tr: Tiempo de levantamiento
- Ts: Tiempo de asentamiento
- Selección del valor de K
Lo primero que vamos a hacer es hallar K para cumplir con el primer requerimiento de diseño, error en estado estable ess debido a una entrada rampa:
(Para repasar el concepto de error en estado estable ver Error en estado estable de un sistema de control)
1.a Hallar la constante de velocidad Kv porque es la relacionada a una entrada rampa:
1.b Hallar ess en función de K:
1.c Hallar K para ess=0.000433:
Con este valor de K, la función de transferencia directa G(s) es:
2. Cálculo de sobrepaso
Veamos ahora como queda el sobrepaso para el valor de K obtenido.
(Para un repaso del concepto de sobrepaso y la respuesta transitoria ver Respuesta Transitoria de un Sistema de Control)
2.a La función de transferencia de lazo cerrado Gce(s) es:
2.b Hallamos a partir de aquí el factor de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural del sistema ωn.
2.c Con estos valores, hallamos el sobrepaso máximo Mp:
En porcentaje:
Este valor supera la exigencia de la especificación, por lo que se considera insertar un controlador PD en la trayectoria directa del sistema con el fin de mejorar el amortiguamiento y ajustar el sobrepaso máximo a la especificación de diseño exigida, manteniendo sin embargo el error en estado estable en 0.000433.
3. Diseño en el dominio del tiempo del controlador PD
Añadiendo al sistema de posición de la aeronave en su trayectoria directa, el controlador Gc(s) de la Figura 10-3, cuya función de transferencia es:
y asignando K=185.4503, la función de transferencia directa G(s) del sistema aeronáutico es:
Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) es:
Esta última ecuación muestra los efectos del controlador PD sobre la función de transferencia de lazo cerrado del sistema al cual se aplica:
- Añadir un cero en s=-Kp/Kd
- Incrementar el “término asociado al amortiguamiento”, el cual es el coeficiente de s en el denominador de Gce(s). Es decir, de 361.2 hasta 361.2 + 834526.56Kd
3.a Selección de Kp
Para asegurarnos de que se mantenga el error en estado estable para una entrada rampa de acuerdo con las especificaciones, evaluamos dicho error y seleccionamos un valor para Kp:
Al elegir Kp igual a uno, mantenemos el mismo valor para Kv que se tenía antes de añadir el controlador. Es decir, mantenemos el valor del error en estado estable para entrada rampa tal como lo exige la especificación de diseño. Entonces:
3.b Selección de Kd
De acuerdo con la ecuación de sobrepaso máximo:
El sobrepaso máximo depende del factor de amortiguamiento relativo ζ. La ecuación característica del sistema es:
Donde:
Deducimos la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ:
Este resultado muestra claramente el efecto positivo de Kd sobre el amortiguamiento. Sin embargo, se debe resaltar el hecho de que la función de transferencia directa G(s) ya no representa un sistema prototipo de segundo orden, por lo que la respuesta transitoria también se verá afectada por el cero en s=-Kp/Kd.
Aplicaremos ahora el método del lugar geométrico de la raíces a la ecuación característica para examinar el efecto de variar Kd, mientras se mantiene constante el valor de Kp=1.
(Para un repaso ver El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. / El lugar geométrico de las raíces con Matlab)
Si deseamos obtener un Mp=5% tal y como se pide en las especificaciones de diseño, eso significa obtener un factor de amortiguamiento relativo igual a lo siguiente:
La ecuación característica del sistema y su forma 1+G(s)H(s) son:
Utilizando el siguiente comando en Matlab obtenemos el lugar geométrico de las raíces para G(s)H(s):
>> s=tf(‘s’)
>> sys=(834526.56*s)/(s^2+361.2*s+834526.56)
>> rlocus(sys)
La gráfica siguiente muestra como mejora el factor de amortiguamiento relativo ζ a medida que aumenta la ganancia Kd:
Mientras, en la gráfica siguiente se muestra que para lograr un factor de amortiguamiento relativo ζ=0.69 o mejor que ese, lo cual significa un sobrepaso menor de 5% como se especifica, es necesario tener una ganancia mínima Kd= 0.00108:
Sin embargo, antes de seleccionar un valor definitivo para Kd debemos observar el cumplimiento de los otros requerimientos de diseño.
3.c Evaluación de Tr y Ts según Kd y Kp calculados.
Analizamos a continuación el valor del tiempo de levantamiento Tr para el valor de ζ=0.69 , Kd= 0.00108 y Kp= 1, utilizando la función de transferencia a lazo cerrado del sistema Gce(s) y el gráfico de respuesta a la entrada escalón generado por el siguiente comando en Matlab:
>> s=tf(‘s’)
>>sys=(834526.56*(1+0.00108*s))/(s^2+(361.2+834526.56*0.00108)*s+834526.56)
sys = (901.3 s + 8.345e05) / (s^2 + 1262 s + 8.345e05)
> step(sys)
Utilizamos la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo (ζ=0.69). Para hallar Tr, restamos los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 y C(t)=0.1:
La gráfica anterior nos permite determinar el valor de Tr para un valor de ζ=0.69 de la siguiente manera:
Podemos ver que este valor cumple con el requerimiento de que Tr≤0.005 s. Veamos ahora que pasa con Ts. Utilizando el criterio del 2% podemos calcular Ts mediante la siguiente fórmula:
Así vemos que el factor de amortiguamiento ζ=0.69 genera un Ts que no cumple con la condición de un Ts menor o igual a 0.005 s. Sin embargo, aumentando Kd mejoramos ζ logrando satisfacer dicha condición. Para ser más específicos, despejamos ζ a partir del valor máximo aceptado para Ts:
Utilizamos nuevamente el lugar geométrico de las raíces para determinar el valor de Kd que se corresponde con el de ζ=0.8757:
Si el valor de Kd=0.00148 y mantenemos el valor de Kp=1, la función de transferencia directa es:
Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado del sistema en estudio es la siguiente:
Para esta función de transferencia revisamos los valores de sobrepaso Mp y tiempo de levantamiento Tr para asegurarnos que cumplen con las especificaciones de diseño:
Por tanto, el valor de Kd debe tener un valor mínimo de:
Y nuestro controlador PD puede tener entonces la siguiente función de transferencia:
Mediante el siguiente comando de Matlab procedemos ahora a graficar la respuesta del sistema antes y después de añadir el controlador PD:
>> s=tf(‘s’)
>> G1=(834526.56)/(s*(s+361.2)) %función de transferencia directa antes de colocar %controlador PD
>>sys1=feedback(G1,1) %generación de la función de transferencia a lazo %cerrado antes de colocar controlador PD
>> G2=(834526.56*(1+0.00148*s))/(s*(s+361.2)) %función de transferencia %directa después colocar el PD >> sys2=feedback(G2,1) %generación de la función de transferencia a lazo después %de colocar controlador PD
>> step(sys1,sys2)
En la gráfica anterior la respuesta al escalón antes de colocar el controlador PD está representada por la curva azul, mientras que la misma repuesta después de colocar el controlador está en rojo. Se ve el mejoramiento del amortiguamiento ya que se reduce notablemente el sobrepaso máximo y se mejora el tiempo de levantamiento.
Fuentes:
- Control Systems Engineering, Nise
- Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
- Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.
Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores
Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.
Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.
Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca, España – Telf. +34633129287
WhatsApp: +34633129287
FACEBOOK: DademuchConnection
email: dademuchconnection@gmail.com
5 comentarios sobre “Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PD (Proporcional-Diferencial)”