Sistema de control de posición – Servomotores

Se denomina Servomotor a los motores DC utilizados en los sistemas de control de posición, también llamados sistemas de seguimiento. En la industria, un Servomotor es aquel que lleva incorporado un sensor de rotación, un amplificador de error y está diseñado específicamente para ser usado en un sistema de control.

Gracias a los avances de la electrónica de potencia, los servomotores están siendo sustituidos por el Motor paso a paso (Stepper), versión “digital” de un motor eléctrico, debido a que estos últimos son más económicos cuando se trata de lograr alto desempeño (alta precisión) en el control del movimiento de cargas livianas a velocidad moderada.

A continuación, vamos a deducir la Función de Transferencia θ_L(s)/ θ_r(s) para el Servosistema de la Figura 1, a partir del análisis detallado de cada uno de los componentes de dicho sistema electromecánico.

Dinámica del sistema - Amplificador diferencial

El objetivo de un Servosistema es controlar la posición de la carga mecánica de acuerdo con la posición de referencia.

Un par de potenciómetros funcionan como un dispositivo de medición de error. Convierten las posiciones de entrada y salida en señales eléctricas proporcionales. En la Figura 1, un operador manipula el potenciómetro de entrada y determina la posición angular θ_r(t) del cursor. La posición angular θ_r(t) genera a su vez un potencial eléctrico que es proporcional a dicha posición angular. Este voltaje, que podemos denominar e_r(t), alimenta la terminal positiva del amplificador, que puede ser un amplificador diferencial, es decir, que resta la entrada positiva de la negativa (compara la entrada con la salida) y luego amplifica esta diferencia.

El amplificador diferencial tiene una impedancia de entrada muy alta y una impedancia de salida baja, muy conveniente debido a que los potenciómetros son esencialmente circuitos de alta impedancia y no toleran una variación de corriente mientras que al alimentar el circuito de la armadura del motor, la salida del amplificador no influye significativamente en el valor de la resistencia de dicha armadura.

Por su parte, la posición del eje de salida del motor, que es un desplazamiento angular, determina la posición angular θ_c(t) del cursor del potenciómetro de salida, el cual genera un potencial eléctrico e_c(t), que luego alimenta el terminal negativo del amplificador diferencial, tal como se muestra en la Figura 1.

La diferencia entre e_r(t) y e_c(t) es la señal de error e_(t), o bien:

El objetivo del sistema de control de posición es actuar hasta reducir la señal de error e_(t) a cero, lo que implica que la posición de la carga tendría el mismo valor que la señal de referencia (la entrada). Si existe un error (e_r(t) y e_c(t) no son iguales), el motor DC desarrolla un par para rotar la carga de salida de tal forma que el error se reduzca a cero.

A la salida del amplificador se presenta el voltaje e_a(t) que se aplica a la armadura del motor DC, tal como se muestra en la Figura 2.

Si K_a es la ganancia constante del amplificador diferencial, entonces:

Necesitaremos la transformada de Laplace de las ecuaciones relevantes del sistema para poder desarrollar el diagrama de bloques del mismo. Luego de aplicar la transformada de Laplace a la ecuación anterior, obtenemos:

Para obtener el resto de las ecuaciones del sistema, analizamos cada etapa del mismo por separado, iniciando por su parte más importante, el Motor DC.

Análisis del Motor DC a lazo abierto

La Figura 3 muestra el modelo esquemático del motor DC a lazo abierto (aislado del resto del sistema), y su representación en diagrama de bloques:

Figura 3. Motor DC a lazo abierto. a) Esquema general; b) Diagrama de bloques.

Las ecuaciones del Motor DC cuando está a lazo abierto, son las siguientes:

dónde:

El modelo matemático de un motor DC y su diagrama de bloques fueron desarrollados en el siguiente link: Dinámica de un Motor DC,

Cuando el motor DC está incorporado a un sistema electromecánico como el de la Figura 1, se dice que está a lazo cerrado. Para obtener la función de transferencia G_m(s) del motor a lazo cerrado, se debe obtener el momento de inercia equivalente que actúa sobre el eje de salida del motor, el cual incluye el momento de inercia del motor J_m y el momento de inercia de la carga J_L. Por tanto las ecuaciones del motor presentadas con anterioridad, varían. Es necesario calcular esta variación, cosa que haremos al estudiar el tren de engranajes.

Análisis de los Potenciómetros

Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de desplazamiento mecánico que puede ser traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje E a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida e_r(t), que se mide entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada θ_r(t), multiplicada por la constante de ganancia del potenciómetro K_r. La Figura 4 muestra el esquema para el potenciómetro rotacional que forma parte de la Figura 1. De inmediato se presenta la expresión matemática para la ganancia del potenciómetro de entrada:

Figura 4. Potenciómetro rotacional de entrada del sistema. 

Procediendo de igual forma podemos obtener la ganancia para el potenciómetro de salida del sistema de la Figura 1:

Tomar en cuenta que, en la Figura 1:

Entonces:

Recordando que:

Sustituyendo obtenemos que:

Aplicando transformada de Laplace:

 

Análisis del tren de engranaje

Los trenes de engranajes se utilizan con mucha frecuencia en los sistemas electromecánicos con el fin de reducir la velocidad, amplificar el par o para obtener la transferencia de potencia más eficiente apareando el miembro impulsor con una carga dada. El tren de engranajes de la Figura 1 y su carga, se amplifican en la Figura 5:

Figura 5. Tren de engranajes de la Figura 1

En el tren de engranajes de la Figura 5, se puede demostrar que:

Y que:

 Haciendo igualaciones convenientes obtenemos que:

Es decir, si lo que nos interesa es determinar el torque en el eje del motor, o sea T_m, entonces podemos utilizar el hecho de que:

En definitiva, en base a lo anterior se puede comprobar que la manera más práctica de reflejar la carga J_L hacia el eje de entrada del tren de engranaje en la Figura 1 para determinar la masa inercial equivalente J_eq vista por el motor en su eje de salida (flecha del motor), es mediante la siguiente fórmula:

Igual sucede con el coeficiente de fricción equivalente vista por por la flecha del motor:

Análisis del Motor DC y su carga

Con esta nueva información, podemos hallar las ecuaciones del motor y su carga. Luego, hallar la ecuación de transferencia G_m(s) para representar al motor, y al servosistema en su totalidad, mediante un diagrama de boques.

Considere la Figura 6, que representa la etapa del servosistema donde se localiza el motor DC y la conexión con su carga J_L a través del tren de engranajes:

Considerando que:

La dinámica del motor y su carga mostrados en la Figura 6 es la siguiente:

La función de transferencia directa del motor G_m(s), donde:

Es:

Esta función fue deducida en el siguiente link: Función de transferencia del Motor DC y su carga

Utilizando la función de transferencia directa del motor y la transformada de Laplace de la ecuación (5), podemos representar el sistema de la Figura 6 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Diagrama de bloques y función de transferencia del sistema de control de posición. 

Haciendo uso del diagrama de la Figura 7, y de todos los resultados anteriores, podemos representar el sistema de seguimiento de la Figura 1 mediante el siguiente diagrama de bloques:

La función de transferencia θ_L(s)/ θ_r(s) del sistema de seguimiento se puede deducir a partir del diagrama de bloques anterior donde es importante acotar que se trata de una realimentación unitaria negativa donde podemos aplicar la siguiente fórmula:

Dónde:

 

Aplicando la fórmula, obtenemos que:

 

En definitiva, la función de transferencia θ_L(s)/ θ_r(s)  del sistema de seguimiento:

Logramos así una representación muy práctica del servosistema, que nos permite analizar con comodidad su estabilidad, su respuesta transitoria y su error en estado estable. Con frecuencia se considera el valor de la inductancia L_a muy por debajo del valor de la resistencia R_a. Si se considera que L_a=0 en la ecuación anterior, obtenemos un sistema de segundo orden, equivalente al sistema prototipo que se utiliza en sistemas de control para calcular los parámetros ωn y ζ (frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento relativo) de la respuesta transitoria, o para calcular las constantes de error Kp, Kv o Ka en la evaluación del error en estado estable. Al respecto, ver Respuesta Transitoria de un Sistema de Control, Error en estado estable de un sistema de control

Respuesta transitoria de un sistema de control de posición

La respuesta transitoria a una entrada escalón unitario para el sistema de seguimiento de la Figura 1, será desarrollado en el siguiente link: Servomotores – Respuesta transitoria de un sistema de control de posición. Lo recomiendo.

Excepto en aquellos casos donde las oscilaciones no son toleradas, es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento ζ entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de ζ (ζ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto ζ (ζ>0.8) responde de manera muy lenta. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

SIGUIENTE:

• Servomotores – Respuesta transitoria de un sistema de control de posición.

• Sistema de control de posición con realimentación de velocidad

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
4. Control de motores eléctricos
5. QUBE-Servo 2 First Principles Modeling Workbook
6. Feedback & Control System

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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