El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.

ANTERIOR: El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. 

3er paso – Determinar las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. 

Algunos de los lugares geométricos se aproximan al infinito cuando n y m (ver ecuación 1.3 más adelante) no son iguales. Las propiedades del lugar geométrico de las raíces  cerca del infinito en el plano s se describen mediante las asíntotas del lugar geométrico cuando s tiende a infinito.

Los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes, deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos φA (pendientes) se obtienen mediante la siguiente fórmula:

Donde n y m son la orden del denominador y numerador respectivamente de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) expresada en forma racional, como en la ecuación característica 1.3:

En otras palabras:

Conforme K aumenta, el ángulo φA se repite a sí mismo, por lo que la cantidad de asíntotas distintas es igual a n-m:

Todas las asíntotas interceptan el eje real en un punto. Si la abscisa de este punto y el eje real se representa mediante σA (centroide de las asíntotas), entonces:

Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados,  σA siempre es una cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

Es decir:     

La Figura 8-5 muestra las asíntotas de este caso:

En la Figura 8-5 vemos que:

1. Los cuatro puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son s=0, -4, -1+j, -1-j. Aquellos donde K=∞ son s=-1, ∞, ∞, e ∞.
2. El máximo entre n y m es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas.
3. Los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real.
4. El número de asíntotas es 3, (n-m=3). Como el número de polos finitos excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas.
5. Los ángulos  y el centroide de las asíntotas se calculan a continuación:

4to. paso – Determinar el lugar geométrico de las raíces sobre el eje real.

Debido a la simetría conjugada de los lugares geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.

Para que un punto S1 sobre el eje real del plano s pertenezca al lugar geométrico de las raíces, debe haber un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha del punto. Todos los puntos del plano real que cumplen con esta condición forman una sección. En esta sección, K es mayor o igual a cero.

Ejemplo:

En la Figura 8-7 las secciones etiquetadas con RL (0≤K≤∞) forman parte del lugar geométrico de las raíces  porque existe un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha de dichas secciones:

5to. paso – Determinar el ángulo de salida y de llegada del lugar geométrico de las raíces.

Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces, cercanas  a los polos y ceros complejos.

El ángulo de salida de un polo o de llegada a un cero, de un lugar geométrico de las raíces de G(s)H(s), denotan el ángulo de la tangente del lugar geométrico cerca del punto de salida o de llegada.

Para calcular el ángulo de salida desde un polo complejo se utiliza la siguiente fórmula:

El ángulo de salida desde un polo complejo es igual a 180 grados más la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros ceros, menos la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros polos. La Figura 6-11 muestra la aplicación de este método:

Para calcular el ángulo de llegada a un cero complejo se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Suponga la función característica siguiente:

Es decir:

Los polos de esta función a lazo abierto son s=-1, -3, -1+j, -1-j. Tomando en cuenta el punto S1 cercano al punto s=-1+j, de acuerdo con la Figura 8-8, el ángulo de salida del lugar geométrico en S1 es:

6to. paso – Determinar los puntos de corte con el eje imaginario.

Los puntos en donde los lugares geométricos de las raíces intersectan el eje jw se encuentran con facilidad por medio de el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz:

Como ejemplo regresemos al lugar geométrico de la Figura 8-8. Allí, los puntos de corte son s1 = -1.095j  y s2 = 1.095j, donde K=8.16. Para aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz en el cálculo de estos puntos ver Estabilidad de un sistema de control.

7mo. paso – Determinar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces.

La 8-10(a) muestra un caso en el que dos ramas del lugar geométrico de las raíces se juntan en un punto de ruptura sobre el eje real y después parten desde el eje en direcciones opuestas. En este caso, el punto de ruptura representa una raíz doble de la ecuación cuando se asigna el valor de K correspondiente al punto. La Figura 8-10(b) muestra otra situación en la que dos lugares geométricos de las raíces de polos complejos conjugados se aproximan al eje real, se encuentran en un punto de ruptura y después parten en direcciones opuestas a lo largo del eje real. En general, un punto de ruptura puede involucrar más de dos lugares geométricos de las raíces. La Figura 8-10(c) ilustra una situación cuando el punto de ruptura representa una raíz de cuarto orden.

Los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces de 1+KG(s)H(s)=0 deben satisfacer lo siguiente:

Todos los puntos de ruptura deben satisfacer la ecuación anterior, pero no todas las soluciones de esta ecuación son puntos de ruptura.

Ejemplo:

Considere la ecuación característica siguiente:

De esta se obtiene que:

 Luego:Es decir:

Al resolver esta última ecuación, encontramos que los puntos de ruptura son s= -1.172 y s= -6.828, tal como se muestra en la Figura 8-11:

8vo. paso – Trazar el lugar geométrico de las raíces.

La parte más importante de los lugares geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje ω y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión. Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, podemos determinar los lugares geométricos de las raíces en la vecindad amplia del eje ω y el origen.

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Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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