El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era parte.

El Lugar Geométrico de las Raíces expone gráficamente información relacionada con la Respuesta Transitoria y La Estabilidad de un sistema de control.

“Es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones de los polos en lazo cerrado de un sistema, cuando se hace variar la ganancia K entre los valores 0 e ∞”

El método consiste en determinar la posición de los polos en lazo cerrado para cada valor de la ganancia K, a partir de las posiciones de los polos y los ceros de la Función de Transferencia a lazo cerrado.

Introducción.

El lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema de control (Evans, 1948, 1950). Consiste en una representación gráfica de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía uno o varios parámetros del sistema.

Los sistemas de control realimentados son difíciles de comprender desde el punto de vista cualitativo, por lo que dicha comprensión depende en gran medida de las matemáticas. El lugar geométrico de las raíces es la técnica gráfica que nos da esa descripción cualitativa sobre el rendimiento del sistema de control que estamos diseñando. Además, también sirve como una poderosa herramienta cuantitativa que produce más información que los métodos ya discutidos, debido a que no sólo puede servir para encontrar la solución de sistemas de primero y segundo orden, sino que también es de utilidad para solucionar sistemas de orden mayor a dos.

Mediante el lugar geométrico de las raíces, se puede observar el comportamiento del sistema (relativo a la respuesta transitoria y la estabilidad) a  medida que se varían varios parámetros a la vez, como el sobrepaso, el tiempo de asentamiento y el tiempo pico. Luego, esta información cualitativa puede ser verificada mediante el análisis cuantitativo.

Construcción del lugar geométrico de las raíces. 

A continuación, se hace un resumen de las reglas para construir el lugar geométrico de las raíces. Paralelamente, aplicamos cada paso a un ejemplo concreto, para reforzar la comprensión de la teoría.

Para desarrollar dichas reglas, considere el modelo general de la siguiente Figura para un sistema de control con realimentación:

La función de transferencia a lazo abierto de este sistema es G(s)H(s). Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado es:

Normas

1. El lugar geométrico de las raíces siempre es simétrico respecto al eje real Re del plano s.
2. Tiene tantas ramas como el valor máximo entre n y m, que son el orden de dos polinomios presentados más adelante, en la ecuación 1.3.
3. Cada rama comienza en un polo y termina en un cero de la función de transferencia directa G(s)H(s). Si los ceros no aparecen de manera explícita en el plano s, significa que están en el infinito.

1er paso - Obtener la ecuación característica.

Lo primero que debemos hacer es obtener la ecuación característica:

Ahora, supongamos que G(s)H(s) contiene un parámetro variable K como factor multiplicativo. Modificamos  G(s)H(s) de tal forma que se pueda expresar como una función racional de la forma:

Donde Q(s) y P(s) son polinomios en s de grado m y n respectivamente. Es decir, que luego de sustituir 1.2 en la ecuación 1.1 obtenemos los siguiente:

Ejemplo:

Suponga que la ecuación característica de un sistema de control es la siguiente:

Para expresar esta ecuación de la forma 1.3, se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término que no contiene a K, es decir:

El objetivo es aislar a K como factor multiplicativo de la función Q(s)/P(s).  En este análisis suponemos que la ganancia K es el parámetro de interés. El método es aplicable sin embargo, a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.

Observe también que las propiedades se desarrollan con base en la relación entre los polos y ceros de G(s)H(s) y los ceros de 1 + G(s)H(s), que son las raíces de la ecuación característica.

2do paso – Ubicar los polos y los ceros de G(s)H(s) en el plano s. 

G(s)H(s) es la función de transferencia directa del sistema, es decir, a lazo abierto. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos a lazo abierto y terminan en los ceros finitos o infinitos a lazo abierto. A partir de la forma factorizada de G(s)H(s) mostrada en la ecuación 1.3, ubicamos los polos y los ceros de lazo abierto en el plano s, atendiendo a las siguientes reglas:

• Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s)
• Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s)

Demostración.

Como:

Pero:

Lo que significa que:

Sabemos que los polos de G(s)H(s) son aquellos valores donde el denominador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a infinito. Pero según 1.4 eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a cero:

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s).

De igual modo, los ceros de G(s)H(s) son aquellos valores donde el numerador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a cero. Pero según 1.4 eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a infinito:

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s).

Una gráfica del lugar geométrico tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la ecuación característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de los polos es igual al de las ramificaciones.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

Es decir:

Los tres puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 y aquellos donde K=∞ se muestran en la Figura 8-2:

A cada polo X le corresponde un cero O. Como sólo se observan tres polos y un cero, se sobreentiende que el resto de los ceros están en el infinito y dependiendo de los siguientes pasos (el comportamiento del sistema) se sabrá si se trata de más o menos infinito.

Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre
un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces:

SIGUIENTE: El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.

ANEXOS

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
4. Análisis de sistemas en tiempo continuo

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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