## Example 1 – PD Controller Design (Proportional-Diferential) – Matlab

To better appreciate the effect of the PD controller, let’s look at the following example. Suppose we have the system of Figure 7-23.

The direct transfer function G(s) for this system is as follows:

Where K is the pre-amplifier constant.

Teh design specifications for this system are:

Where:

• ess: steady-state error for a ramp input
• Mp: Maximum Overshoot
• Tr: Rise time
• Ts: settling time
1. Selection of K

The first thing we are going to do is to find out K to meet the first design requirement,  ess:

1.a Find the speed constant Kv:

1.b Determine ess as a function of K:

1.c Get K:

With the value of K, the direct transfer function G(s) is:

2. Overshoot

2.a The closed-loop transfer function Gce(s) is:

2.b From here we find the damping ζ and the natural frequency ωn.

2.c Determine Mp:This value exceeds the requirement of the specification, so it is considered to insert a PD controller in the direct path of the system in order to improve the damping and adjust the maximum overshoot to the required design specification, maintaining however the error in state stable at 0.000433.

3. Design of the PD controller in time domain

From Figure 10-3

and K=185.4503,  the direct transfer function G(s) is:

While, the closed-loop transfer function Gce(s) is:

This last equation shows the effects of the PD controller on the closed loop transfer function of the system to which it is applied:

1. Add a zero in s=-Kp/Kd
2. Increase the “term associated with damping”, from 361.2 to 361.2 + 834526.56Kd

3.a Selection of Kp

To ensure that the error is maintained in steady-state for a ramp input according to the specifications, we evaluate that error and select a value for Kp:

When choosing Kp equal to one, we keep the same value for Kv that we had before adding the controller. That is, we keep the error value in steady-state for a ramp input as required by the design specification. So:
3.b Selection of Kd

According to the equation for maximum overshoot:the maximum overshoot depends on the damping ζ. The characteristic equation of the system is:Where:We deduce the expression for the damping factor ζ:

This result clearly shows the positive effect of Kd on the damping. However, it should be noted that the direct transfer function G (s) no longer represents a second-order prototype system, so the transient response will also be affected by zero in s=-Kp/Kd.

We will now apply the root locus method to the characteristic equation to examine the effect of varying Kd, while keeping the value of Kp = 1.

If we want to obtain an Mp = 5% as requested in the design specifications, that means obtaining a damping factor equal to the following:

The characteristic equation and its form 1+G(s)H(s) are:

Using the following command in Matlab we obtain the locus of the roots for G(s)H(s):

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(834526.56*s)/(s^2+361.2*s+834526.56)

>> rlocus(sys)

The following graph shows how the damping factor ζ improves as the gain Kd increases:

Meanwhile, the following graph shows that to achieve a damping factor ζ = 0.69 or better than that, which means an overshoot of less than 5% as specified, it is necessary to have a minimum value for the gain Kd= 0.00108:

However, before selecting a final value for Kd, we must observe compliance with the other design requirements.

3.c Evaluation 0f Tr and Ts according to the calculated values for Kd and Kp.

We then analyze the value of the rise time Tr for the value of ζ = 0.69, Kd = 0.00108 and Kp = 1, using the closed-loop transfer function and the graph generated by a step input  in Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>>sys=(834526.56*(1+0.00108*s))/(s^2+(361.2+834526.56*0.00108)*s+834526.56)

sys =     (901.3 s + 8.345e05) / (s^2 + 1262 s + 8.345e05)

> step(sys)

To find Tr, we subtract the times for which C(t)=0.9 C(t)=0.1:

The previous graph allows us to determine the value of Tr for a value of ζ = 0.69 in the following way:

We can see that this value complies with the requirement of Tr≤0.005 s. Let’s see what happens with Ts. Using 2% criteria:

We can see that the value of the damping ζ = 0.69 does not meet the condition of a Ts less than or equal to 0.005 s, but we can get it by increasing Kd. To be more specific, we clear ζ from the maximum accepted value for Ts:

We use again the locus of the roots to determine what value of Kd corresponds to that of ζ = 0.8757:

If the value of Kd=0.00148 and we keep Kp=1, the direct transfer funcion of the flight system is:

Meanwhile, the closed-loop transfer function of the system under study is the following:

For this transfer function we review the values of maximum overshoot Mp and rise time Tr to ensure that they meet the design specifications:

So, the value for Kd is at minimum:

And the PD controller can has the following transfer funtion:

Using the following Matlab command, we now proceed to graph the system response before and after adding the PD controller:

>> s=tf(‘s’)

>> G1=(834526.56)/(s*(s+361.2))

>>sys1=feedback(G1,1)

>> G2=(834526.56*(1+0.00148*s))/(s*(s+361.2))

>> sys2=feedback(G2,1)

>> step(sys1,sys2)

In the previous graph the response to the step before placing the PD controller is represented by the blue curve, while the same response after placing the controller is in red. The improvement of the damping is seen since the maximum overshoot is markedly reduced and the rise time is improved.

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Análisis de sistemas de control

## Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PD (Proporcional-Diferencial)

Para apreciar mejor el efecto del controlador PD, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 7-23.

La función de transferencia directa G(s) de este sistema viene dada por la siguiente expresión:

Donde K es la constante del preamplificador.

Las especificaciones de diseño para este sistema son las siguientes:

Donde:

• ess: Error en estado estable debido a una entrada de rampa unitaria
• Mp: Sobrepaso máximo
• Tr: Tiempo de levantamiento
• Ts: Tiempo de asentamiento
1. Selección del valor de K

Lo primero que vamos a hacer es hallar K para cumplir con el primer requerimiento de diseño, error en estado estable ess debido a una entrada rampa:

(Para repasar el concepto de error en estado estable ver Error en estado estable de un sistema de control)

1.a Hallar la constante de velocidad Kv porque es la relacionada a una entrada rampa:

1.b Hallar ess en función de K:

1.c Hallar para ess=0.000433:

Con este valor de K, la función de transferencia directa G(s) es:

2. Cálculo de sobrepaso

Veamos ahora como queda el sobrepaso para el valor de K obtenido.

(Para un repaso del concepto de sobrepaso y la respuesta transitoria ver Respuesta Transitoria de un Sistema de Control)

2.a La función de transferencia de lazo cerrado Gce(s) es:

2.b Hallamos a partir de aquí el factor de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural del sistema ωn.

2.c Con estos valores, hallamos el sobrepaso máximo Mp:En porcentaje:Este valor supera la exigencia de la especificación, por lo que se considera insertar un controlador PD en la trayectoria directa del sistema con el fin de mejorar el amortiguamiento y ajustar el sobrepaso máximo a la especificación de diseño exigida, manteniendo sin embargo el error en estado estable en 0.000433.

`3. Diseño en el dominio del tiempo del controlador PD`

Añadiendo al sistema de posición de la aeronave en su trayectoria directa, el controlador Gc(s) de la Figura 10-3, cuya función de transferencia es:

y asignando K=185.4503, la función de transferencia directa G(s) del sistema aeronáutico es:

Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) es:

Esta última ecuación muestra los efectos del controlador PD sobre la función de transferencia de lazo cerrado del sistema al cual se aplica:

1. Añadir un cero en s=-Kp/Kd
2. Incrementar el “término asociado al amortiguamiento”, el cual es el coeficiente de s en el denominador de Gce(s). Es decir, de 361.2 hasta 361.2 + 834526.56Kd

3.a Selección de Kp

Para asegurarnos de que se mantenga el error en estado estable para una entrada rampa de acuerdo con las especificaciones, evaluamos dicho error y seleccionamos un valor para Kp:

Al elegir Kp igual a uno, mantenemos el mismo valor para Kv que se tenía antes de añadir el controlador. Es decir, mantenemos el valor del error en estado estable para entrada rampa tal como lo exige la especificación de diseño. Entonces:3.b Selección de Kd

De acuerdo con la ecuación de sobrepaso máximo:El sobrepaso máximo depende del factor de amortiguamiento relativo ζ. La ecuación característica del sistema es:Donde:Deducimos la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ:

Este resultado muestra claramente el efecto positivo de Kd sobre el amortiguamiento. Sin embargo, se debe resaltar el hecho de que la función de transferencia directa G(s) ya no representa un sistema prototipo de segundo orden, por lo que la respuesta transitoria también se verá afectada por el cero en s=-Kp/Kd.

Aplicaremos ahora el método del lugar geométrico de la raíces a la ecuación característica para examinar el efecto de variar Kd, mientras se mantiene constante el valor de Kp=1.

Si deseamos obtener un Mp=5% tal y como se pide en las especificaciones de diseño, eso significa obtener un factor de amortiguamiento relativo igual a lo siguiente:

La ecuación característica del sistema y su forma 1+G(s)H(s) son:

Utilizando el siguiente comando en Matlab obtenemos el lugar geométrico de las raíces para G(s)H(s):

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(834526.56*s)/(s^2+361.2*s+834526.56)

>> rlocus(sys)

La gráfica siguiente muestra como mejora el factor de amortiguamiento relativo ζ a medida que aumenta la ganancia Kd:

Mientras, en la gráfica siguiente se muestra que para lograr un factor de amortiguamiento relativo ζ=0.69 o mejor que ese, lo cual significa un sobrepaso menor de 5% como se especifica, es necesario tener una ganancia mínima Kd= 0.00108:

Sin embargo, antes de seleccionar un valor definitivo para Kd debemos observar el cumplimiento de los otros requerimientos de diseño.

3.c Evaluación de Tr y Ts según Kd y Kp calculados.

Analizamos a continuación el valor del tiempo de levantamiento Tr para el valor de ζ=0.69 , Kd= 0.00108 y Kp= 1,  utilizando la función de transferencia a lazo cerrado del sistema Gce(s)  y el gráfico de respuesta a la entrada escalón generado por el siguiente comando en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>>sys=(834526.56*(1+0.00108*s))/(s^2+(361.2+834526.56*0.00108)*s+834526.56)

sys =     (901.3 s + 8.345e05) / (s^2 + 1262 s + 8.345e05)

> step(sys)

Utilizamos la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo (ζ=0.69). Para hallar Tr, restamos los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 C(t)=0.1:

La gráfica anterior nos permite determinar el valor de Tr para un valor de ζ=0.69 de la siguiente manera:

Podemos ver que este valor cumple con el requerimiento de que Tr≤0.005 s. Veamos ahora que pasa con Ts. Utilizando el criterio del 2% podemos calcular Ts mediante la siguiente fórmula:

Así vemos que el factor de amortiguamiento ζ=0.69 genera un Ts que no cumple con la condición de un Ts menor o igual a 0.005 s. Sin embargo, aumentando Kd mejoramos ζ logrando satisfacer dicha condición. Para ser más específicos, despejamos ζ a partir del valor máximo aceptado para Ts:

Utilizamos nuevamente el lugar geométrico de las raíces para determinar el valor de Kd que se corresponde con el de ζ=0.8757:

Si el valor de Kd=0.00148 y mantenemos el valor de Kp=1, la función de transferencia directa es:

Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado del sistema en estudio es la siguiente:

Para esta función de transferencia revisamos los valores de sobrepaso Mp y tiempo de levantamiento Tr para asegurarnos que cumplen con las especificaciones de diseño:

Por tanto, el valor de Kd debe tener un valor mínimo de:

Y nuestro controlador PD puede tener entonces la siguiente función de transferencia:

Mediante el siguiente comando de Matlab procedemos ahora a graficar la respuesta del sistema antes y después de añadir el controlador PD:

>> s=tf(‘s’)

>> G1=(834526.56)/(s*(s+361.2)) %función de transferencia directa antes de colocar                                                               %controlador PD

>>sys1=feedback(G1,1) %generación de la función de transferencia a lazo                                                                 %cerrado antes de colocar controlador PD

>> G2=(834526.56*(1+0.00148*s))/(s*(s+361.2)) %función de transferencia                                                                                                        %directa después  colocar el PD                 >> sys2=feedback(G2,1) %generación de la función de transferencia a lazo después                                                %de colocar controlador PD

>> step(sys1,sys2)

En la gráfica anterior la respuesta al escalón antes de colocar el controlador PD está representada por la curva azul, mientras que la misma repuesta después de colocar el controlador está en rojo. Se ve el mejoramiento del amortiguamiento ya que se reduce notablemente el sobrepaso máximo y se mejora el tiempo de levantamiento.

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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## Sistema de control de posición – Servomotores

Se denomina Servomotor a los motores DC utilizados en los sistemas de control de posición, también llamados sistemas de seguimiento. En la industria, un Servomotor es aquel que lleva incorporado un sensor de rotación, un amplificador de error y está diseñado específicamente para ser usado en un sistema de control.

Gracias a los avances de la electrónica de potencia, los servomotores están siendo sustituidos por el Motor paso a paso (Stepper), versión “digital” de un motor eléctrico, debido a que estos últimos son más económicos cuando se trata de lograr alto desempeño (alta precisión) en el control del movimiento de cargas livianas a velocidad moderada.

A continuación, vamos a deducir la Función de Transferencia θL(s)/ θr(s) para el Servosistema de la Figura 1, a partir del análisis detallado de cada uno de los componentes de dicho sistema electromecánico.

`Dinámica del sistema - Amplificador diferencial`

El objetivo de un Servosistema es controlar la posición de la carga mecánica de acuerdo con la posición de referencia.

Un par de potenciómetros funcionan como un dispositivo de medición de error. Convierten las posiciones de entrada y salida en señales eléctricas proporcionales. En la Figura 1, un operador manipula el potenciómetro de entrada y determina la posición angular θr(t) del cursor. La posición angular θr(t) genera a su vez un potencial eléctrico que es proporcional a dicha posición angular. Este voltaje, que podemos denominar er(t), alimenta la terminal positiva del amplificador, que puede ser un amplificador diferencial, es decir, que resta la entrada positiva de la negativa (compara la entrada con la salida) y luego amplifica esta diferencia.

El amplificador diferencial tiene una impedancia de entrada muy alta y una impedancia de salida baja, muy conveniente debido a que los potenciómetros son esencialmente circuitos de alta impedancia y no toleran una variación de corriente mientras que al alimentar el circuito de la armadura del motor, la salida del amplificador no influye significativamente en el valor de la resistencia de dicha armadura.

Por su parte, la posición del eje de salida del motor, que es un desplazamiento angular, determina la posición angular θc(t) del cursor del potenciómetro de salida, el cual genera un potencial eléctrico ec(t), que luego alimenta el terminal negativo del amplificador diferencial, tal como se muestra en la Figura 1.

La diferencia entre er(t) y ec(t) es la señal de error e(t), o bien:

El objetivo del sistema de control de posición es actuar hasta reducir la señal de error e(t) a cero, lo que implica que la posición de la carga tendría el mismo valor que la señal de referencia (la entrada). Si existe un error (er(t) y ec(t) no son iguales), el motor DC desarrolla un par para rotar la carga de salida de tal forma que el error se reduzca a cero.

A la salida del amplificador se presenta el voltaje ea(t) que se aplica a la armadura del motor DC, tal como se muestra en la Figura 2.

Si Ka es la ganancia constante del amplificador diferencial, entonces:

Necesitaremos la transformada de Laplace de las ecuaciones relevantes del sistema para poder desarrollar el diagrama de bloques del mismo. Luego de aplicar la transformada de Laplace a la ecuación anterior, obtenemos:

Para obtener el resto de las ecuaciones del sistema, analizamos cada etapa del mismo por separado, iniciando por su parte más importante, el Motor DC.

`Análisis del Motor DC a lazo abierto`

La Figura 3 muestra el modelo esquemático del motor DC a lazo abierto (aislado del resto del sistema), y su representación en diagrama de bloques:

Figura 3. Motor DC a lazo abierto. a) Esquema general; b) Diagrama de bloques.

Las ecuaciones del Motor DC cuando está a lazo abierto, son las siguientes:

dónde:

El modelo matemático de un motor DC y su diagrama de bloques fueron desarrollados en el siguiente link: Dinámica de un Motor DC,

Cuando el motor DC está incorporado a un sistema electromecánico como el de la Figura 1, se dice que está a lazo cerrado. Para obtener la función de transferencia Gm(s) del motor a lazo cerrado, se debe obtener el momento de inercia equivalente que actúa sobre el eje de salida del motor, el cual incluye el momento de inercia del motor Jm y el momento de inercia de la carga JL. Por tanto las ecuaciones del motor presentadas con anterioridad, varían. Es necesario calcular esta variación, cosa que haremos al estudiar el tren de engranajes.

`Análisis de los Potenciómetros`

Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de desplazamiento mecánico que puede ser traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida er(t), que se mide entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada θr(t), multiplicada por la constante de ganancia del potenciómetro Kr. La Figura 4 muestra el esquema para el potenciómetro rotacional que forma parte de la Figura 1. De inmediato se presenta la expresión matemática para la ganancia del potenciómetro de entrada:

Figura 4. Potenciómetro rotacional de entrada del sistema.

Procediendo de igual forma podemos obtener la ganancia para el potenciómetro de salida del sistema de la Figura 1:

Tomar en cuenta que, en la Figura 1:

Entonces:

Recordando que:

Sustituyendo obtenemos que:

Aplicando transformada de Laplace:

`Análisis del tren de engranaje`

Los trenes de engranajes se utilizan con mucha frecuencia en los sistemas electromecánicos con el fin de reducir la velocidad, amplificar el par o para obtener la transferencia de potencia más eficiente apareando el miembro impulsor con una carga dada. El tren de engranajes de la Figura 1 y su carga, se amplifican en la Figura 5:

Figura 5. Tren de engranajes de la Figura 1

En el tren de engranajes de la Figura 5, se puede demostrar que:

Y que:

Haciendo igualaciones convenientes obtenemos que:

Es decir, si lo que nos interesa es determinar el torque en el eje del motor, o sea Tm, entonces podemos utilizar el hecho de que:

En definitiva, en base a lo anterior se puede comprobar que la manera más práctica de reflejar la carga JL hacia el eje de entrada del tren de engranaje en la Figura 1 para determinar la masa inercial equivalente Jeq vista por el motor en su eje de salida (flecha del motor), es mediante la siguiente fórmula:

Igual sucede con el coeficiente de fricción equivalente vista por por la flecha del motor:

`Análisis del Motor DC y su carga`

Con esta nueva información, podemos hallar las ecuaciones del motor y su carga. Luego, hallar la ecuación de transferencia Gm(s) para representar al motor, y al servosistema en su totalidad, mediante un diagrama de boques.

Considere la Figura 6, que representa la etapa del servosistema donde se localiza el motor DC y la conexión con su carga JL a través del tren de engranajes:

Considerando que:

La dinámica del motor y su carga mostrados en la Figura 6 es la siguiente:

La función de transferencia directa del motor Gm(s), donde:

Es:

Esta función fue deducida en el siguiente link: Función de transferencia del Motor DC y su carga

Utilizando la función de transferencia directa del motor y la transformada de Laplace de la ecuación (5), podemos representar el sistema de la Figura 6 mediante el siguiente diagrama de bloques:

`Diagrama de bloques y función de transferencia del sistema de control de posición. `

Haciendo uso del diagrama de la Figura 7, y de todos los resultados anteriores, podemos representar el sistema de seguimiento de la Figura 1 mediante el siguiente diagrama de bloques:

La función de transferencia θL(s)/ θr(s) del sistema de seguimiento se puede deducir a partir del diagrama de bloques anterior donde es importante acotar que se trata de una realimentación unitaria negativa donde podemos aplicar la siguiente fórmula:

Dónde:

Aplicando la fórmula, obtenemos que:

En definitiva, la función de transferencia θL(s)/ θr(s)  del sistema de seguimiento:

Logramos así una representación muy práctica del servosistema, que nos permite analizar con comodidad su estabilidad, su respuesta transitoria y su error en estado estable. Con frecuencia se considera el valor de la inductancia Lmuy por debajo del valor de la resistencia Ra. Si se considera que La=0 en la ecuación anterior, obtenemos un sistema de segundo orden, equivalente al sistema prototipo que se utiliza en sistemas de control para calcular los parámetros ωn y ζ (frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento relativo) de la respuesta transitoria, o para calcular las constantes de error Kp, Kv o Ka en la evaluación del error en estado estable. Al respecto, ver Respuesta Transitoria de un Sistema de ControlError en estado estable de un sistema de control

`Respuesta transitoria de un sistema de control de posición`

La respuesta transitoria a una entrada escalón unitario para el sistema de seguimiento de la Figura 1, será desarrollado en el siguiente link: Servomotores – Respuesta transitoria de un sistema de control de posición. Lo recomiendo.

Excepto en aquellos casos donde las oscilaciones no son toleradas, es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento ζ entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de ζ (ζ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto ζ (ζ>0.8) responde de manera muy lenta. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

SIGUIENTE:

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
4. Control de motores eléctricos
5. QUBE-Servo 2 First Principles Modeling Workbook
6. Feedback & Control System

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## Example 1 – Transient response of an electromechanical system.

The mechanical system shown in Figure P5.52(a) is used as part of the unity feedback system shown in Figure P5.52(b). Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.

`1. System Dynamic`

where:

`2. Laplace Transform`

`3. Motor&Load Transfer Function (θm(s)/Ea(s))`

`4. Direct Transfer Function`

For the system:

The open-loop transfer function Ga(s) is:

`5. Closed-loop transfer function`

The closed-loop transfer function Gc(s) is:

That is to say:

`6. Calculation of M and D`

According to:

Besides:

In this way:

Meanwhile:

`7. Matlab verification`

We use Matlab to corroborate replacing all the values calculated in the original transfer function:

Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.

>> stepinfo (sys)

RiseTime: 0.3554

SettlingTime: 1.8989

SettlingMin: 0.9331

SettlingMax: 1.1999

Overshoot: 19.9890

Undershoot: 0

Peak: 1.1999

PeakTime: 0.8059

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## Solved Example 2 – Electromechanical system transfer function.

Find in generic terms, the transfer function of the unit feedback system shown in Figure P5.52 (b) of which the electromechanical system of Figure P5.52 (a) is a part.

`1. System Dynamic`

where:

`2. Laplace Transform`

`3. Motor&Load Transfer Function (θm(s)/Ea(s))`

`4. Direct Transfer Function`

For the system:

The open-loop transfer function Ga(s) is:

`5. Closed-loop transfer function`

The closed-loop transfer function Gc(s) is:

That is to say:

This problem is the first part of one where the transient response is requested so that the overshoot is 20% and the settling time is 2 seconds, see the complete problem in the following link: Example 1 – Transient response of an electromechanical system

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## Solved Example 1- Electromechanical System Transfer Function

Obtain the mathematical model of the position control system of the figure. Get the block diagram and the ansfer function between the angle of the load and the reference angle θc(s)/θc(s).

Data:

`1. System dynamic`

`2. Laplace Transform`

`3. Block Diagram`

Simplifying conveniently to obtain a model whose transfer function is known:

`4. Transfer function of each block of the previous diagram.`

Starting from:

We obtain the following:Then, using:

and substituting, we obtain:

Substituting the value of the data in the previous equation, we obtain:

Simplifying:

On the other hand, the gain of the amplifier is obtained using:

From where:

Finally, the gear constant is given by the data and is n = 1/10. We then obtain a block diagram with the following transfer functions:

`5. System Transfer function.`

The open-loop transfer function Ga(s) of the system shown in the previous diagram is:

From where we can easily obtain the closed-loop transfer function Gc (s), which is what the statement asked, using the unit feedback:

NEXT: Example 2 – Electromechanical system transfer function (English)

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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## El lugar geométrico de las raíces con Matlab

El Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) expone gráficamente información relacionada con la Respuesta Transitoria y La Estabilidad de un sistema de control.

Para obtener la gráfica del lugar geométrico de las raíces es de gran utilidad contar con una aplicación computarizada, entre las cuáles resalta rlocus de Matlab. Sin embargo, no deja de ser importante aprender las bases y propiedades del LGR, así como la forma de interpretar los datos proporcionados por el lugar geométrico para fines de análisis y diseño (El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. ).

El lugar geométrico de las raíces consiste en una representación gráfica de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía uno o varios parámetros del sistema.

1) Como primer ejemplo, vamos a confirmar la gráfica del LGR para un sistema ya estudiado en la 2da parte (El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.). Suponga un sistema con la siguiente ecuación característica:

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

Es decir:

Donde G(s)H(s) es la función de transferencia directa a lazo abierto de un sistema representado mediante la siguiente configuración:

Para el ejemplo en consideración, el lugar geométrico de las raíces presenta la forma que aparece en la Figura 8-8:

Podemos obtener el lugar geométrico de G(s)H(s) en Matlab mediante la siguiente línea de comandos:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(1)/(s*(s+3)*(s^2+2*s+2))

>> rlocus(sys)

Obtenemos la siguiente gráfica:

Podemos observar la similitud con la Figura 8-8. Colocando el cursor en el punto de intersección superior con el eje imaginario, podemos constatar que en dicho punto el valor de la ganancia K=8.1 a la altura de s=0+j1.09, mientras que haciendo lo mismo, colocando el cursor en el punto de intersección inferior con el eje imaginario, podremos ver el mismo valor para K en s=0-j1.09.

En el lugar geométrico de las raíces de Matlab el valor de K varía entre 0 e infinito (0≤K≤∞), por lo que cada lugar geométrico va desde K=0 hasta K=∞, a diferencia de lo que se observa en la Figura 8-8, en la cual el lugar geométrico se presenta de k=-∞ hasta k=+∞.

Podemos observar además en el lugar geométrico de las raíces provisto por  Matlab para este sistema, lo siguiente:

1. Los lugares geométricos son simétricos con respecto al eje real.
2. Los cuatro puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 (los polos, donde inician los lugares geométricos) son s=0, -3, -1+j, -1-j. Aquellos donde K=∞ (los ceros, donde finalizan los lugares geométricosson s=∞, ∞ , ∞ , e .
3. El máximo entre n y m es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas, señaladas en Matlab por las ramas de color verde (inicia en -3), azul (inicia en 0), celeste (inicia en -1-j) y rojo (inicia en -1+j). Utilizando el cursor podemos recorrer cada rama y verificar lo dicho.
4. El número de asíntotas es 4, (n-m=4). Como el número de polos finitos excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas.
5. Los ángulos y el centroide de las asíntotas se dan a continuación:

Una vez que esbozamos el LGR de un sistema de control en particular, es posible que queramos ubicar con precisión algunos puntos de importancia, así como encontrar su ganancia asociada. Por ejemplo, podríamos querer saber las coordenadas exactas del lugar de la raíz que cruza la línea radial que representa un 20% de sobrepaso, así como el valor de la ganancia en ese punto. Vamos a ilustrar este caso con el siguiente ejemplo:

2) Dada la siguiente función de transferencia directa para un sistema de control con realimentación unitaria:

a. Dibujar el lugar geométrico de las raíces.
b. Encontrar el punto de cruce con el eje imaginario.
c. Encontrar la ganancia en el punto de cruce con el eje imaginario.
d. Encontrar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico.
e. Encontrar el lugar donde el lugar geométrico se cruza con la línea de coeficiente de amortiguamiento (damping ratio line) de tal forma que dicho coeficiente sea igual a 0.5 (ξ= 0.5).
f. Determine la ganancia K en el punto anterior.
g. Encuentre el rango de ganancia K para el cual el sistema es estable.

a. Dibujar el lugar geométrico de las raíces.

Coloco en la consola de Matlab los siguientes comandos:

>> numg=poly([2 4]);
>> deng=[1 6 25];
>> G=tf(numg,deng)

G

s^2 – 6 s + 8
————–
s^2 + 6 s + 25

>> rlocus(G);

b. Encontrar el punto de cruce con el eje imaginario.

Podemos ver en la gráfica anterior que, cuando el lugar geométrico de las raíces cruza el eje imaginario, los polos del sistema están ubicado en:

c. Encontrar la ganancia K en el punto de cruce con el eje imaginario.

De acuerdo con la gráfica anterior:

En la misma gráfica podemos ver que el sistema es inestable (damping negativo) cuando:

d. Encontrar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico.

e. Encontrar el lugar donde el lugar geométrico se cruza con la línea de coeficiente de amortiguamiento (damping ratio line) de tal forma que dicho coeficiente sea igual a 0.5 (ξ= 0.5).
>> z=0.5;
>> sgrid(z,0)

f. Determine la ganancia K en el punto anterior.

De acuerdo con la gráfica anterior:

g. Encuentre el rango de ganancia K para el cual el sistema es estable.

Previamente, hemos visto que el sistema es estable cuando la ganancia K:

`Control Proporcional`

3. Hallar la ganancia  para lograr un coeficiente de amortiguamiento ξ= 0.5, dada la siguiente función de transferencia directa para un sistema de control con realimentación unitaria:

Ya sabemos que el enunciado del problema se refiere a la siguiente configuración:

Al agregar a este sistema original un controlador para manipular la ganancia K de su LGR hasta obtener el factor de amortiguamiento deseado, estaremos ejecutando una Acción de Control Proporcional. Se acostumbra agregar dicho controlador en la región de baja potencia, en serie y justo antes de la planta, o justo antes de la función de transferencia directa, tal como se ilustra en la siguiente figura:

Entonces, si añadimos un controlador proporcional de ganancia Kp, la función de transferencia directa G(s) es ahora:

Note que al hacer KP=1, obtenemos el sistema original. Este hecho lo utilizaremos más adelante para comparar las respuesta del sistema antes y después de la compensación.

Para responder a esta pregunta, utilizaremos el comando de Matlab rltool:

>> numg=100;
>> deng=[1 16 65 50];
>> G=tf(numg,deng)

G =

100
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> rltool(G)

Obtenemos el Lugar Geométrico de Las Raíces en un IDE interactivo:

Nos desplazamos sobre el LGR  haciendo un click sobre la línea de los polos dominantes y arrastrando el punto hasta que se alcance al damping solicitado:

La gráfica anterior nos muestra que podemos obtener un ζ=0.5 cuando la ganancia KP tiene un valor aproximado de 1.46. Es decir, KP=1.46

Podemos comparar la respuesta a una entrada escalón del sistema antes y después de la compensación mediante:

>> numcompensado=100*1.46;
>> Gcompensado=tf(numcompensado,deng)

Gcompensado =

146
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> sys_antes=feedback(G,1);
>> sys_despues=feedback(Gcompensado,1);
>> step(sys_antes,sys_despues)

En color azul se muestra la respuesta del sistema a una entrada escalón antes de la compensación, cuando KP=1. Luego, se muestra,en color rojo, la respuesta del sistema después de la compensación, cuando KP=1.46. Se observa claramente en la gráfica anterior, que el tiempo de levantamiento es menor, mejora después de la compensación (de 0.5626 s a 0.4356 s), pero a costa de un sobrepaso mayor debido a que el factor de amortiguamiento ζ es menor (de 0.626 a 0.502). También después de la compensación se reduce el error en estado estable ya que el resultado final está más cerca del valor de la señal de referencia, es decir, 1.

Estos datos los podemos saber utilizando los comandos:

>> stepinfo(sys_antes)

RiseTime: 0.5626
SettlingTime: 1.7487
Overshoot: 7.5449

>> stepinfo(sys_despues)

RiseTime: 0.4356
SettlingTime: 2.0551
Overshoot: 15.0397

>> damp (sys_antes)

Damping= 6.26e-01

>> damp (sys_despues)

Damping=5.02e-01

O también, colocando el cursor  sobre el lugar geométrico aportado por rltool, hacemos click derecho y seleccionamos design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. Obtenemos el gráfico siguiente, colocando el cursor sobre la región rosada:

`Conclusión`

Se confirma mediante estos ejemplos que el lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema de control (Evans, 1948, 1950).

Los sistemas de control realimentados son difíciles de comprender desde el punto de vista cualitativo, por lo que dicha comprensión depende en gran medida de las matemáticas. El lugar geométrico de las raíces es la técnica gráfica que nos da esa descripción cualitativa sobre el rendimiento del sistema de control que estamos diseñando.

Al establecer la ganancia en un valor particular en el LGR, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces.

De eso trata el siguiente tema, de gran importancia para el diseño de sistemas de control:

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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## El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.

`3er paso – Determinar las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. `

Algunos de los lugares geométricos se aproximan al infinito cuando n y m (ver ecuación 1.3 más adelante) no son iguales. Las propiedades del lugar geométrico de las raíces  cerca del infinito en el plano s se describen mediante las asíntotas del lugar geométrico cuando s tiende a infinito.

Los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes, deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos φA (pendientes) se obtienen mediante la siguiente fórmula:

Donde n y m son la orden del denominador y numerador respectivamente de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) expresada en forma racional, como en la ecuación característica 1.3:

En otras palabras:

Conforme K aumenta, el ángulo φA se repite a sí mismo, por lo que la cantidad de asíntotas distintas es igual a n-m:

Todas las asíntotas interceptan el eje real en un punto. Si la abscisa de este punto y el eje real se representa mediante σA (centroide de las asíntotas), entonces:

Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados,  σA siempre es una cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

Es decir:

La Figura 8-5 muestra las asíntotas de este caso:

En la Figura 8-5 vemos que:

1. Los cuatro puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son s=0, -4, -1+j, -1-j. Aquellos donde K=∞ son s=-1, ∞, ∞, e .
2. El máximo entre n y m es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas.
3. Los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real.
4. El número de asíntotas es 3, (n-m=3). Como el número de polos finitos excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas.
5. Los ángulos  y el centroide de las asíntotas se calculan a continuación:

`4to. paso – Determinar el lugar geométrico de las raíces sobre el eje real.`

Debido a la simetría conjugada de los lugares geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.

Para que un punto S1 sobre el eje real del plano s pertenezca al lugar geométrico de las raíces, debe haber un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha del punto. Todos los puntos del plano real que cumplen con esta condición forman una sección. En esta sección, K es mayor o igual a cero.

Ejemplo:

En la Figura 8-7 las secciones etiquetadas con RL (0≤K≤∞) forman parte del lugar geométrico de las raíces  porque existe un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha de dichas secciones:

`5to. paso – Determinar el ángulo de salida y de llegada del lugar geométrico de las raíces.`

Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces, cercanas  a los polos y ceros complejos.

El ángulo de salida de un polo o de llegada a un cero, de un lugar geométrico de las raíces de G(s)H(s), denotan el ángulo de la tangente del lugar geométrico cerca del punto de salida o de llegada.

Para calcular el ángulo de salida desde un polo complejo se utiliza la siguiente fórmula:

El ángulo de salida desde un polo complejo es igual a 180 grados más la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros ceros, menos la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros polos. La Figura 6-11 muestra la aplicación de este método:

Para calcular el ángulo de llegada a un cero complejo se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Suponga la función característica siguiente:

Es decir:

Los polos de esta función a lazo abierto son s=-1, -3, -1+j, -1-j. Tomando en cuenta el punto S1 cercano al punto s=-1+j, de acuerdo con la Figura 8-8, el ángulo de salida del lugar geométrico en S1 es:

`6to. paso – Determinar los puntos de corte con el eje imaginario.`

Los puntos en donde los lugares geométricos de las raíces intersectan el eje jw se encuentran con facilidad por medio de el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz:

Como ejemplo regresemos al lugar geométrico de la Figura 8-8. Allí, los puntos de corte son s1 = -1.095j s2 = 1.095j, donde K=8.16. Para aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz en el cálculo de estos puntos ver Estabilidad de un sistema de control.

`7mo. paso – Determinar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces.`

La 8-10(a) muestra un caso en el que dos ramas del lugar geométrico de las raíces se juntan en un punto de ruptura sobre el eje real y después parten desde el eje en direcciones opuestas. En este caso, el punto de ruptura representa una raíz doble de la ecuación cuando se asigna el valor de K correspondiente al punto. La Figura 8-10(b) muestra otra situación en la que dos lugares geométricos de las raíces de polos complejos conjugados se aproximan al eje real, se encuentran en un punto de ruptura y después parten en direcciones opuestas a lo largo del eje real. En general, un punto de ruptura puede involucrar más de dos lugares geométricos de las raíces. La Figura 8-10(c) ilustra una situación cuando el punto de ruptura representa una raíz de cuarto orden.

Los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces de 1+KG(s)H(s)=0 deben satisfacer lo siguiente:

Todos los puntos de ruptura deben satisfacer la ecuación anterior, pero no todas las soluciones de esta ecuación son puntos de ruptura.

Ejemplo:

Considere la ecuación característica siguiente:

De esta se obtiene que:

Luego:Es decir:

Al resolver esta última ecuación, encontramos que los puntos de ruptura son s= -1.172 y s= -6.828, tal como se muestra en la Figura 8-11:

`8vo. paso – Trazar el lugar geométrico de las raíces.`

La parte más importante de los lugares geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje ω y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión. Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, podemos determinar los lugares geométricos de las raíces en la vecindad amplia del eje ω y el origen.

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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## El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era parte.

El Lugar Geométrico de las Raíces expone gráficamente información relacionada con la Respuesta Transitoria y La Estabilidad de un sistema de control.

“Es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones de los polos en lazo cerrado de un sistema, cuando se hace variar la ganancia K entre los valores 0 e

El método consiste en determinar la posición de los polos en lazo cerrado para cada valor de la ganancia K, a partir de las posiciones de los polos y los ceros de la Función de Transferencia a lazo cerrado.

`Introducción.`

El lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema de control (Evans, 1948, 1950). Consiste en una representación gráfica de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía uno o varios parámetros del sistema.

Los sistemas de control realimentados son difíciles de comprender desde el punto de vista cualitativo, por lo que dicha comprensión depende en gran medida de las matemáticas. El lugar geométrico de las raíces es la técnica gráfica que nos da esa descripción cualitativa sobre el rendimiento del sistema de control que estamos diseñando. Además, también sirve como una poderosa herramienta cuantitativa que produce más información que los métodos ya discutidos, debido a que no sólo puede servir para encontrar la solución de sistemas de primero y segundo orden, sino que también es de utilidad para solucionar sistemas de orden mayor a dos.

Mediante el lugar geométrico de las raíces, se puede observar el comportamiento del sistema (relativo a la respuesta transitoria y la estabilidad) a  medida que se varían varios parámetros a la vez, como el sobrepaso, el tiempo de asentamiento y el tiempo pico. Luego, esta información cualitativa puede ser verificada mediante el análisis cuantitativo.

`Construcción del lugar geométrico de las raíces. `

A continuación, se hace un resumen de las reglas para construir el lugar geométrico de las raíces. Paralelamente, aplicamos cada paso a un ejemplo concreto, para reforzar la comprensión de la teoría.

Para desarrollar dichas reglas, considere el modelo general de la siguiente Figura para un sistema de control con realimentación:

La función de transferencia a lazo abierto de este sistema es G(s)H(s). Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado es:

Normas

1. El lugar geométrico de las raíces siempre es simétrico respecto al eje real Re del plano s.
2. Tiene tantas ramas como el valor máximo entre n m, que son el orden de dos polinomios presentados más adelante, en la ecuación 1.3.
3. Cada rama comienza en un polo y termina en un cero de la función de transferencia directa G(s)H(s). Si los ceros no aparecen de manera explícita en el plano s, significa que están en el infinito.
`1er paso - Obtener la ecuación característica.`

Lo primero que debemos hacer es obtener la ecuación característica:

Ahora, supongamos que G(s)H(s) contiene un parámetro variable K como factor multiplicativo. Modificamos  G(s)H(s) de tal forma que se pueda expresar como una función racional de la forma:

Donde Q(s) y P(s) son polinomios en s de grado m y n respectivamente. Es decir, que luego de sustituir 1.2 en la ecuación 1.1 obtenemos los siguiente:

Ejemplo:

Suponga que la ecuación característica de un sistema de control es la siguiente:

Para expresar esta ecuación de la forma 1.3, se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término que no contiene a K, es decir:

El objetivo es aislar a K como factor multiplicativo de la función Q(s)/P(s).  En este análisis suponemos que la ganancia K es el parámetro de interés. El método es aplicable sin embargo, a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.

Observe también que las propiedades se desarrollan con base en la relación entre los polos y ceros de G(s)H(s) y los ceros de 1 + G(s)H(s), que son las raíces de la ecuación característica.

`2do paso – Ubicar los polos y los ceros de G(s)H(s) en el plano s. `

G(s)H(s) es la función de transferencia directa del sistema, es decir, a lazo abierto. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos a lazo abierto y terminan en los ceros finitos o infinitos a lazo abierto. A partir de la forma factorizada de G(s)H(s) mostrada en la ecuación 1.3, ubicamos los polos y los ceros de lazo abierto en el plano s, atendiendo a las siguientes reglas:

• Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s)
• Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s)

Demostración.

Como:

Pero:

Lo que significa que:

Sabemos que los polos de G(s)H(s) son aquellos valores donde el denominador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a infinito. Pero según 1.4 eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a cero:

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s).

De igual modo, los ceros de G(s)H(s) son aquellos valores donde el numerador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a cero. Pero según 1.4 eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a infinito:

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s).

Una gráfica del lugar geométrico tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la ecuación característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de los polos es igual al de las ramificaciones.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

Es decir:

Los tres puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 y aquellos donde K=∞ se muestran en la Figura 8-2:

A cada polo X le corresponde un cero O. Como sólo se observan tres polos y un cero, se sobreentiende que el resto de los ceros están en el infinito y dependiendo de los siguientes pasos (el comportamiento del sistema) se sabrá si se trata de más o menos infinito.

Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre
un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces:

ANEXOS

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
4. Análisis de sistemas en tiempo continuo

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## Respuesta transitoria de un sistema de control Prototipo.

Considere el sistema de la Figura 5-84:

Determinar los valores de K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ωn de 4 rad/s.

RESPUESTA

1. Lo primero que se aconseja hacer es obtener el modelo del sistema de la Figura 5-84 que sea equivalente al sistema de segundo orden prototipo, el cual es el siguiente:

Donde definimos la función de transferencia directa G(s) y la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) como sigue:

2. Determinamos G(s) y Gce(s) en relación al sistema de la Figura 5-84:

Donde G1(s) es la función de transferencia del lazo cerrado interno formado por K/(s+2) y k:

Para una revisión sobre reducción de diagramas de bloques ver: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Luego, sustituimos G1(s) en la ecuación de G(s). Actuando de esta manera, obtenemos las funciones de transferencia del sistema de la Figura 5-84, equivalentes al sistema prototipo:

3. Con estas dos funciones podemos obtener lo parámetros que se solicitan en el enunciado, es decir, K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ωn de 4 rad/s. Para ello comparamos G(s) y Gce(s) obtenidos en el paso 1 con los obtenidos en el paso 2. Así obtenemos que:

Sustituyendo los valores de las variables aportadas en el enunciado, y despejando, obtenemos el siguiente resultado:

Para una revisión de la teoría aplicada en este ejemplo, ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

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