Análisis de sistemas de control, Variables de estado

Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

1er paso. Una vez más, la clave para seleccionar las variables de estado es centrar la atención sobre aquellos parámetros que son necesarios derivar para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del sistema.

Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de superposición:

Donde:

Vemos claramente que debemos seleccionar x1, x2 y x3 como nuestras variables de estado, pero además vemos que cada una de estas tres ecuaciones genera dos variables de estado, por lo tanto requerimos al menos seis variables de estado para representar este sistema.

Para evitar confusión, utilizaremos la letra Z para representar nuestras variables de estado. Y para facilitarnos la vida seleccionamos a la derivada de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:

con esta artimaña obtenemos directamente la siguiente relación:

que cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X, es decir:

De manera análoga, aplicamos el mismo procedimiento para el resto de las masas, y así obtenemos las otras variables de estado:

2do paso.Vemos que este método nos brinda ciertas relaciones de manera directa, es decir, ya sabemos cuáles son nuestras variables de estado, suficientes para poder representar al sistema en toda su complejidad, además ya tenemos tres miembros del vector X en función de las variables de estado. Es decir, sólo para aclarar de que estamos hablando:

Necesitamos ahora el resto de los términos del vector X‘ en función de las variables de estado ya seleccionadas, es decir:

Para hallar estas  segundas derivadas, utilizamos la segunda ley de Newton y el criterio de superposición:

Masa 1:

Sustituyendo las variables y sus derivadas por las variables de estado ya seleccionadas, cumplimos con nuestro propósito:

Sustituyendo el valor de las variables por los datos aportados en el problema, obtenemos:

Masa 2

Es decir:

Masa 3:

Es decir:

Por último, si seleccionamos x1 y x3 como nuestras salidas, nuestra representación del sistema en espacio de estados, en términos generales, queda así:

Y en términos específicos:

Atención:

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INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales
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9 comentarios en “Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador”

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