Investigaremos los efectos de las acciones de control proporcional, integral y derivativo en el rendimiento del sistema. Aquí consideraremos sólo los sistemas simples para que se puedan ver claramente los efectos de las acciones de control en el rendimiento del sistema.
Acción de control proporcional
En este momento vamos a mostrar que con un control puramente proporcional, siempre habrá un error en estado estable, denominado offset, para una entrada escalón unitario. Luego, demostraremos que añadiendo un integrador en la Función de Transferencia directa del sistema, podremos eliminar dicho error. Esta es la misión fundamental de un control PI.
Considere el sistema que se muestra en la Figura 5-40.
La Función de Transferencia directa de este sistema es:
Vamos a obtener el error de estado estable de este sistema para una entrada escalón unitario. Ya que:
El error E(s) está dado por:
Para una entrada escalón unitario R(s) = 1/s, obtenemos:
El error en estado estable es:
Este resultado demuestra que tal sistema, sin un integrador en la ruta de alimentación directa, siempre presentará un error en estado estacionario, denominado Offset, en respuesta a la entrada escalón unitario.
La Figura 5-41 muestra la respuesta del sistema con control proporcional sin integrador en la Función de Transferencia directa, a una entrada escalón unitario:
Para un análisis detallado en Matlab, ver:
Acción de control integral.
Como se señalaba antes, en el control de una planta cuya función de transferencia no posee un integrador 1 / s, se presenta un error en estado estable (offset) en respuesta a una entrada escalón unitario. Tal error se puede eliminar si la acción de control integral está incluida en el controlador. La función principal de la acción integral es asegurarse que la salida del proceso coincide con la señal de referencia en estado estacionario, cosa que se demuestra a continuación.
Considere el sistema que se muestra en la Figura 5-42.
La función de transferencia directa del sistema anterior es:
Utilizando el mismo razonamiento utilizado para analizar el error del sistema con control proporcional, el error E(s) es:
Suponiendo una entrada escalón unitario:
Aplicando nuevamente el teorema del valor final, determinamos el error en estado estable para una entrada escalón unitario:
Este resultado demuestra que el control integral del sistema elimina así el error de estado estacionario en la respuesta a la entrada escalón unitario. Esta es una mejora importante que se puede sumar al control proporcional para evitar el Offset.
La señal de control u(t) generada por un controlador integral, puede tener un valor distinto de cero cuando la señal de error actuante e(t) es cero, como se muestra en la Figura 5-39 (a). Esto es imposible en el caso del controlador proporcional, como se muestra en la Figura 5-39 (b). Con acción integral, un pequeño error positivo conducirá siempre a una señal de control creciente, y un error negativo dará una señal de control decreciente sin tener en cuenta lo pequeño que sea el error.
Hay que tener en cuenta que la acción de control integral, al eliminar el Offset o el error de estado estable, puede conducir a una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente o incluso a una amplitud creciente, ambas de las cuales son por lo general indeseables. Por ello se acostumbra combinarlo con los otros tipos de control.
Para un análisis detallado en Matlab, ver:
Control Integral de un Sistema de Control – PID
Control Proporcional-Integral de un Sistema de Control – PID
Controlador PI – Proporcional Integral – Sistemas de Control
PID – Diseño con el controlador PI (Proporcional-Integral)
Acción de control derivativo.
La acción de control derivativo, cuando se agrega a un controlador proporcional, concede un medio para obtener un controlador con alta sensibilidad que responde a la velocidad de cambio del error y puede producir una corrección significativa antes de que la magnitud del error sea demasiado grande. En otras palabras, mejora el amortiguamiento, reduce el sobrepaso en estado estacionario. El control derivado anticipa, pues, el error de accionamiento, inicia una acción correctiva temprana y tiende a aumentar la estabilidad del sistema.
Para ver los efectos de un controlador PD, recomiendo ver: Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PD (Proporcional-Diferencial)
Aunque el control derivado no afecta directamente al error de estado estacionario, agrega amortiguación al sistema y, por lo tanto, permite el uso de un valor mayor de la ganancia K del controlador proporcional, lo que dará como resultado una mejora indirecta en la precisión del estado estable.
Debido a que el control derivativo opera en la tasa de cambio del error de actuación y no en el error de actuación en sí, este modo nunca se usa solo. Siempre se usa en combinación con una acción de control proporcional o proporcional más integral
Control proporcional de sistemas con carga de inercia.
Antes de discutir el efecto de la acción de control derivativo sobre el rendimiento del sistema, consideraremos el control proporcional de una carga inercial (carga con momento de inercia J).
Considere el sistema que se muestra en la figura 5-46 (a).
La función de transferencia directa es:
La función de transferencia de lazo cerrado se obtiene mediante:
La ecuación característica es:
Como las raíces de la ecuación característica son imaginarias, la respuesta a una entrada escalón unitario continúa oscilando indefinidamente, como muestra la Figura 5-46(b). Los sistemas de control que exhiben tales características de respuesta no son deseables. Veremos que la adición de control derivado estabilizará el sistema.
Control Proporcional-Derivativo de un Sistema con Carga Inercial.
Modifiquemos el controlador proporcional añadiendo un controlador derivativo, cuya función de transferencia es Kp (1 + Tds). El control derivativo es esencialmente anticipatorio, mide la velocidad de error instantánea y predice un sobrepaso con anticipación. Produce una neutralización adecuada antes de que ocurra un sobrepaso demasiado grande.
Considere el sistema que se muestra en la figura 5-47 (a).
La función de transferencia a lazo cerrado de este sistema es:
La ecuación característica es:
Ahora la ecuación característica tiene dos raíces con partes reales negativas para valores positivos de J, Kp y Td. Así, el control derivativo introduce un efecto de amortiguación. Una curva de respuesta típica c(t) a un escalón unitario en la la entrada, se muestra en la Figura 5-47 (b). Claramente, la curva de respuesta en este caso muestra una marcada mejora con respecto a la curva de respuesta original que se muestra en la Figura 5-46 (b).
Para ver los efectos de un controlador PD, recomiendo ver: Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PD (Proporcional-Diferencial)
SIGUIENTE: PID – Diseño y configuración del controlador
ANTERIOR: PID -Acciones básicas de sistemas de control.
Fuentes:
- Control PID Avanzado
- Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
Escrito por Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
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